数学好玩 十斤分两半儿

“十斤分两半儿”是一道流传很广的古算题。

有一个装满10斤水的桶，另外有两个可装3斤水和7斤水的空桶。“十斤分两半儿”的意思是利用三个桶把10斤水分为两份5斤水（注：斤是市制重量单位，1斤=500克）。

我们把三个桶按10斤、7斤和3斤的顺序排列，三个桶最初的盛水量为10斤、0斤和0斤，记作（10，0，0）。要使倒数第1次变换后三个桶里分别装着5斤、5斤、0斤水，记作（5，5，0），则倒数第2次变换后为（2，5，3）或（5，2，3）。我们来考虑（2，5，3），它变换前应为（2，7，1），这时出现了1斤的情况，考虑到7-3-3=1，所以，第1次到第6次变换后桶里的水依次为（3，7，0）、（3，4，3）、（6，4，0）、（6，1，3）、（9，1，0）、（9，0，1）。

为了让同学们看得更清楚一些，列表如下。

请同学们再仔细想想，这样是否可行呢？

聪明进阶

1.除了上文中的方法，你还有其他的方法吗？

2.有16两、7两、5两三个容器（注：两也是市制重量单位，旧制，1斤等于16两，所以才有成语“半斤八两”），其中，16两的容器里装满酒。现在你能用这三个容器，分出两份8两的酒来吗？

3.有一个圆柱形水桶，里面盛了一些水。张三说桶里的水比半桶水多，李四说比半桶水少。当时又没有任何测量用具，怎样才能断定他俩谁说得对呢？

参考答案

1.我们仍把三个桶按10斤、7斤和3斤的顺序排列。要使倒数第1次变换后三个桶里是（5，5，0），则倒数第2次变换后为（2，5，3）或（5，2，3）。正文中我们考虑的是（2，5，3）的情况，现在我们来考虑（5，2，3）的情况。如果使倒数第2次变换后是（5，2，3），可见7斤桶中会出现有2斤水的情况。考虑3+3+3-7=2，所以，第1次到第8次变换后桶里的水依次为（7，0，3）、（7，3，0）、（4，3，3）、（4，6，0）、（1，6，3）、（1，7，2）、（8，0，2）、（8，2，0）。

为了让同学们看得更清楚一些，列表如下。

2.为了让同学们看得更清楚一些，列表如下。

3.将水桶倾斜，若水面正好在水桶的对角面上，则桶里的水正好是半桶，否则，就不是半桶。