第三节 多边形的边与角
学习目标
1. 理解多边形的有关概念.
2. 掌握多边形的内角和及其外角和的计算公式，并解决简单的问题.
3. 理解正多边形的概念.
知识精讲
1. 多边形及其有关概念.
（1）多边形的定义：在平面内，由不在同一条直线上的n条线段首尾顺次相接组成的平面图形称为n边形，又称为多边形.
（2）多边形的边：组成多边形的线段叫作多边形的边.
（3）多边形的内角、外角：多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角.
如图11-3-1（a）所示，∠B、∠C、∠D、∠E、∠BAE是五边形的内角，∠1是五边形的外角.
注：多边形每一个顶点处有两个外角，并且同一顶点的外角与内角互为邻补角.
（4）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线.
如图11-3-1（b）所示，AC、AD就是五边形ABCDE中的两条对角线.
图11-3-1
注：一个n边形从一个顶点可以引（n－3）条对角线，把n边形分成（n－2）个三角形. 一个n边形一共有
条对角线.
（5）凸多边形和凹多边形.
① 在图11-3-2（a）中，画出四边形ABCD的任意一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形，这样的多边形称为凸多边形.
② 在图11-3-2（b）中，画出DC（或BC）所在的直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，则称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形.
图11-3-2
注：没有特殊说明，今后学习中所指的多边形都是凸多边形.
2. 多边形的内角和：n边形的内角和为（n－2）·180°.
注：多边形的内角和与边数有关，增加一条边，内角和增加180°.
3. 多边形的外角和：任意多边形的外角和为360°.
注：多边形的外角和与多边形的边数无关.
4. 正多边形：各个角相等、各条边相等的多边形叫作正多边形.
注：正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形也是中心对称图形.
方法提炼
1. 转化思想：在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，通常连接对角线，把多边形问题转化为三角形问题，从而解决问题.
2. 方程思想：运用多边形的内角和与外角和公式求值时，通常运用方程来解决问题.
典例精析
例题1. 一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和.
【思路点拨】设边数为n，根据对角线的条数是边数的4倍，列方程求出边数，再代入多边形内角和公式求出内角和.
【解】设这个多边形的边数为n，根据题意，得
，解得n＝11，所以这个多边形的内角和为（n－2）×180°＝（11－2）×180°＝1620°.
例题2. 如图11-3-3所示，在四边形ABCD中，∠1、∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于（ ）.
图11-3-3
A. 140°
B. 40°
C. 260°
D. 不能确定
【思路点拨】方法一：因为四边形内角和是360°，且∠B＋∠ADC＝140°，所以∠DAB＋∠DCB＝220°，∠1＋∠2＋∠DAB＋∠DCB＝180°×2，所以∠1＋∠2＝360°－220°＝140°.
方法二：可求出与∠B、∠ADC同顶点的两外角和为220°，根据四边形外角和是360°，得出∠1＋∠2＝360°－220°＝140°.
方法三：连接BD，根据三角形一个外角等于和它不相邻的两内角和，求出∠1＋∠2的度数.
【答案】A
典题精练
1. 一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有（ ）.
A. 6条
B. 7条
C. 8条
D. 9条
2. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（ ）.
A. 10
B. 9
C. 8
D. 6
3. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（ ）.
A. 四边形
B. 六边形
C. 八边形
D. 十边形
4. 一个多边形截去一个角后，变为十六边形，则原来的多边形的边数为（ ）.
A. 15或17
B. 16或17
C. 16或18
D. 15或16或17
5. 如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其他内角的和为2570°，则这个没有计算在内的内角的度数为________.
6. 在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，则∠A，∠B，∠C的大小分别为________.
7. 如果一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数是________.
8. （1）一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是________边形，它的内角和为________度，外角和为________度；
（2）多边形边数每增加一条，它的内角和会增加________，外角和为________.
9. 如图11-3-4所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝________.
图11-3-4
10. 若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和.
中考真题
真题1. （北京）正十边形的每个外角等于（ ）.
A. 18°
B. 36°
C. 54°
D. 60°
真题2. （广东湛江）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）.
A. 四边形
B. 五边形
C. 六边形
D. 七边形