第十一章 三角形
第一节 与三角形有关的线段
学习目标
1. 会用三角形的三边关系判断已知的三条线段能否围成三角形，会用三边关系解决简单的问题.
2. 理解三角形的高线、中线、角平分线的概念，能够灵活运用它们进行有关的论证和计算.
知识精讲
1. 三角形的概念及基本元素.
（1）定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
（2）三角形的基本元素：三条边、三个顶点、三个内角.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”. △ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，如图11-1-1所示.
图11-1-1
注：单独的△没有意义.
2. 三角形的分类.
（1）按角分类.
注：①锐角三角形——三个内角都是锐角的三角形.
②钝角三角形——有一个内角为钝角的三角形.
（2）按边分类.
注：① 不等边三角形——三边都不相等的三角形.
② 等腰三角形——有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角.
③ 等边三角形：三边都相等的三角形.
3. 三角形的三边关系.
（1）定理：三角形任意两边之和大于第三边.
（2）推论：三角形任意两边之差小于第三边.
注：① 理论依据是两点之间线段最短.
② 三边关系的应用. 判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长度之和大于最长线段的长度，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
③ 已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.
④ 证明线段之间的不等关系.
⑤ 化简代数式.
4. 三角形的主要线段.
（1）三角形的角平分线.
① 定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
② 几何语言表述：如图11-1-2所示，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2（或
，或∠BAC=2∠1=2∠2）.
图11-1-2
注：一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，这个交点都在三角形内部. 三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.
（2）三角形的中线.
① 定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线.
② 几何语言表述：如图11-1-3所示，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD（或
）.
图11-1-3
注：一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点. 不论锐角三角形、直角三角形，或钝角三角形，这个交点都在三角形的内部. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
（3）三角形的高线.
① 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高.
② 几何语言表述：如图11-1-4所示，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
图11-1-4
注：“三角形的三条高（所在直线）交于一点”，当是锐角三角形时，交点在三角形内部；当是直角三角形时，交点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，交点在三角形外部，如图11-1-5所示.
图11-1-5
方法提炼
1. 利用三角形的三边关系，可以证明线段的不等关系. 解题的关键是怎样把相关的线段放在同一个三角形中.
2. 在等腰三角形中讨论与边长有关的问题时，如果没有强调是腰长还是底边时，一般需要分类讨论.
典例精析
例题1. 若三角形的三边长分别为3、a+1、5，求a的取值范围.
【思路点拨】运用三角形三边关系定理及不等式的性质，可求出a的取值范围.
【解】∵5-3<a+1<5+3，即2<a+1<8，∴1<a<7.
例题2. 下列说法正确的是（ ）.
① 平分三角形内角的射线叫作三角形的角平分线.
② 三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线.
③ 每个三角形都有三条中线、高和角平分线.
④ 三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线.
A. ③④
B. ③
C. ②③
D. ①④
【思路点拨】任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B.
典题精练
1. 已知下列四组线段的长度，以各组线段为边，能组成三角形的是（ ）.
A. 1，2，3
B. 2，5，8
C. 3，4，5
D. 4，5，10
2. 三角形的三条高的交点一定在（ ）.
A. 三角形内部
B. 三角形的外部
C. 三角形的内部或外部
D. 以上答案都不对
3. 如图11-1-6所示，若∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误的是（ ）.
图11-1-6
A. AD是△ABC的角平分线
B. CE是△ACD的角平分线
C. 
D. CE是△ABC的角平分线
4. 如图11-1-7所示，BD=DC，
，则AD是△ABC的________线，BN是△ABC的________，ND是△BNC的________线.
图11-1-7
5. 如图11-1-8所示，在△ABC中，边BC上的高画得正确的有________.
图11-1-8
6. 三角形三边的比是3：4：5，周长是96cm，那么三边分别是________.
7. 已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，且它的周长大于16cm，则第三边长为________cm.
8. 如图11-1-9所示，以此类推第四个图形中三角形的个数为________个.
图11-1-9
9. 如图11-1-10所示，已知AD、AE分别是△ABC的中线、高线，且AB＝5cm，AC＝3cm，则△ABD与△ACD的周长之差为________，△ABD与△ACD的面积关系为________.
图11-1-10
10. 已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9和15两部分，求这个三角形的腰长和底边的长.
中考真题
真题1. （湖南长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）.
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
真题2. （四川凉山州）已知实数x，y满足
，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________.