第二节 平行线的性质和判定
学习目标
1. 理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论.
2. 掌握两条直线平行的判定方法.
3. 掌握平行线的性质，能用平行线的性质解决一些简单问题.
知识精讲
1. 平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.
注：① 平行线的概念包含两个条件：一是在同一平面内；二是不相交的两条直线.
② 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：平行和相交.
③ 在同一平面内，对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线平行.
2. 平行线的画法. 过一点画一条直线的平行线的步骤，如表5-2-1所示.
表5-2-1
3. 平行公理及推论.
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
注：① 点必须在直线外，而不是在直线上.
② 平行公理的推论是平行线的一种判定方法.
③ 作辅助线时不能作一条直线与两条直线同时平行，而是先作与一条直线平行，再证明与另一条直线平行.
4. 平行线的判定.
（1）定义.
（2）平行公理的推论：如图5-2-1所示，在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行.
图5-2-1
用符号语言表示：∵a∥b，b∥c，∴a∥c.
（3）判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行.
用符号语言表示：如图5-2-2所示，∵∠1=∠2（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
（4）判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行.
图5-2-2
用符号语言表示：如图5-2-3所示，∵∠1=∠3（已知），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.
图5-2-3
（5）判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
用符号语言表示：如图5-2-4所示，∵∠2+∠3=180°（已知），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
图5-2-4
注：在判定两条直线平行的五种方法中，定义一般不常用，其他四种方法要灵活应用.
5. 平行线的性质.
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等.
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
方法提炼
1. 平行线的性质与判定的区别和联系.
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行.
联系：性质与判定的题设和结论正好相反，都是角的关系与平行线的关系.
2. 遇到平行线的条件，我们应该想到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.
典例精析
例题1. 下列语句中正确的个数有（ ）.
（1）在同一平面内两条直线不平行就相交.
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（3）在同一平面内，两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行.
（4）两条不相交的直线是平行线.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【思路点拨】在同一平面内两直线的位置关系只有两种：平行和相交，所以（1）正确；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以（2）错误；（3）正确；（4）忽略了在同一平面内这一前提，所以（4）错误.
【答案】B
例题2. 如图5-2-5所示，已知∠1=∠2，∠3=100°，∠B=80°. 试说明：EF∥CD.
图5-2-5
【思路点拨】由“∠1=∠2”可得AB∥CD；再由“∠3=100°，∠B=80°”可得∠3+∠B=180°，从而可证AB∥EF，进而结论得证.
【解】∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
∵∠3=100°，∠B=80°（已知），∴∠3+∠B=180°.
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）.
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）.
典题精练
1. （1）如图5-2-6所示，直线a∥b，直线c与a、b相交，∠1=55°，则∠2=（ ）.
图5-2-6
A. 35°
B. 55°
C. 65°
D. 125°
（2）如图5-2-7所示，已知AB∥CD，∠2=135°，则∠1的度数是（ ）.
图5-2-7
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 65°
（3）如图5-2-8所示，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（ ）.
图5-2-8
A. 40°
B. 50°
C. 70°
D. 80°
2. 如图5-2-9所示，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2等于（ ）.
图5-2-9
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D. 30°
3. 下列说法中正确的是（ ）.
A. 两直线被第三条直线所截得的同位角相等
B. 两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补
C. 两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直
D. 两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直
4. 如图5-2-10所示，下列推理中错误的是（ ）.
图5-2-10
A. ∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD
B. ∵∠DCE=∠ABC，∴AB∥CD
C. ∵∠3=∠4，∴AD∥BC
D. ∵∠1=∠2，∴AD∥BC
5. 如图5-2-11所示，直线a∥b，三角板的直角顶点在直线a上，已知∠1=25°，则∠2的度数为______.
图5-2-11
6. 如图5-2-12所示，∠B=30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD=______度.
图5-2-12
7. 如图5-2-13所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证：∠AED=∠C.
图5-2-13
证明：∵∠1+∠2=180°（ ），∠1+∠DFE=180°（ ），
∴______=______（ ）.
∴______∥______（ ）.
∴∠3=∠ADE（ ）.
∵∠3=∠B（ ），
∴∠ADE=∠B（ ）.
∴______∥______（ ）.
∴∠AED=∠C（ ）.
8. （1）如图5-2-14所示，AC∥DE，AE平分∠CAB，DF平分∠EDB，试说明：AE∥DF.
图5-2-14
（2）如图5-2-15所示，AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2，试说明：BE∥CF.
图5-2-15
9. 如图5-2-16所示，∠1=∠2，∠C=∠D. 试说明：∠F=∠A.
图5-2-16
10. 如图5-2-17所示，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1=∠2，试说明：∠3=∠E.
图5-2-17
中考真题
真题1. （浙江丽水）如图5-2-18所示，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（ ）.
图5-2-18
A. 50°
B. 45°
C. 35°
D. 30°
真题2. （浙江台州）如图5-2-19所示，折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是______.
图5-2-19