1.4 信息不等式和等效费歇尔信息分析

为了评估网络定位与导航系统的性能，我们首先简要地回顾一下信息不等式的相关知识，该不等式给出了估计器最小平方误差（MSE）的下界。考虑用一个通用的测量模型f（z；θ）表示在存在未知参数θ的情况下观测到的z的似然函数。用T（z）表示对某个关于θ的函数g（θ）的估计器。在满足某些正则条件的情况下，以下的信息不等式成立：

其中，ψ（θ）=E{T（z）}，并且

是关于θ的费歇尔信息矩阵（FIM）。特别地，如果g（θ）=θ并且T（z）是一个无偏估计器，那么ψ（θ）=θ，式（1-16）可以简化为

在实际应用中，我们所感兴趣的可能只是全部参数向量θ的一部分。例如，记，其中θ₁是我们感兴趣的参数向量，而θ₂是一个冗余参数向量。因而有

其中，T₁（z）是参数θ₁的一个无偏估计器，表示中与参数θ₁相关的子方阵。

如果θ是一个高维向量，则求解可能会很复杂，而我们所感兴趣的只

是其中一个相对较小的子矩阵。为了得到更加便捷的计算和深刻的理解，我们介绍一下等效费歇尔信息（EFI）分析的方法。

定义1-1（EFIM）：给定参数向量，以及如下形式的FIM：

其中，θ∈R^N，θ₁∈Rⁿ，A∈R^n×n，B∈R^n×（N-n），C∈R^{（N-n）×（N-n）}，1≤n＜N，则θ₁的等效费歇尔信息矩阵（EFIM）为

注意，EFIMJ_e（θ₁）是原FIMJ_θ对于块C的舒尔补，它包含了推导关于θ₁的信息不等式所需要的所有信息。换句话说，EFIM比FIM的维度低很多，但是却没有损失任何我们所关心的参数的信息。事实上，式（1-19）的右侧与θ₁的EFIM可以验证是相等的：

因此，在绪论中提到的网络定位与导航问题和系统模型式（1-2）中，如果记θ₁=x，则可以得到关于状态x的EFIM及相应的信息不等式：

此外，EFIM也可以被进一步用来推导关于状态x的某一子集的信息不等式，如某个移动节点在某一时刻的位置。由此，我们得到以下关于位置误差界的定义。

定义1-2（SPEB）：移动节点k在t_n时刻的平方位置误差界（SPEB）定义为

其中，表示中与相关的子矩阵。