7.6 空间曲线

7.6.1 空间曲线的方程

和空间直线可以看作是两张空间平面的交线类似，任一条空间曲线也可看成是两个空间曲面∑1和∑2的交线（见图7-6-1）. 设空间曲面∑1和∑2的方程分别为

F（x，y，z）=0，G（x，y，z）=0，

则空间曲线Γ的方程为联立上述空间曲面的方程组，即

式（7.6.1）称为空间曲线Γ的一般方程.

空间曲线Γ还可以用参数方程表示，即引入参数t，分别建立x，y，z与参数t之间的函数关系，即

式（7.6.2）称为空间曲线Γ的参数方程.

下面介绍一种在机械工程中常常遇到空间曲线——螺旋线，它是这样形成的：

设空间一动点P从点P0（a，0，0）处出发，在圆柱面x2+y2=a2上以等角速度ω绕z轴旋转，同时又以等线速度ν沿平行于z轴正向上升，点P的轨迹即为螺旋线（图7-6-2），如何求此螺旋线的方程？

设动点P的坐标为（x，y，z），取时间t为参数，当t=0时，动点P在点P0（a，0，0）处，经过t时间后，过点P作xOy坐标面的垂线，垂足为P′，设其坐标为（x，y，0），则由螺旋线的形成过程知

而

PP′=νt，

从而可得点P的z轴坐标为

z=νt，

于是螺旋线的参数方程为

若记θ=ωt，，则螺旋线的参数方程也可写为

截痕法：用一些特殊平面去截二次曲面，所得交线称为“截痕”，它可以帮助我们认识该曲面的形状及性质特征.

例如对于椭球面：　（a，b，c>0）.

分别用平行于三个坐标面的平面x=x0（|x0|≤a），y=y0（|y0|≤b），z=z0（|z0|≤c）去截椭球面，所得的截痕即为平面和椭球面的交线，其方程分别为

均为相应平面上的椭圆，故可知椭球面形如图7-5-8所示.

再如椭圆抛物面：（p，q同号）.

当p，q>0时，分别用平行于三个坐标面的平面x=x0，y=y0，z=z0去截椭圆抛物面，所得的截痕方程为

于是可知椭圆抛物面与平面z=z0>0相交的截痕为椭圆，与平面x=x0或者y=y0相交的截痕都是开口向z轴正向的抛物线. 故可知椭圆抛物面形如图7-5-9所示.

例7.6.1　用截痕法研究曲面z=y2-x2的形状.

解　（1）用平面z=0去截该曲面，与曲面方程联立得截痕为：y2-x2=0，这是水平坐标面内的两条直线y=±x；

（2）用平面x=0截该曲面，与曲面方程联立得截痕为抛物线z=y2；

（3）用平面y=0去截该曲面得截痕也为抛物线z=-x2[如图7-6-3（a）所示]；

（4）用平面z=c（c>0）截该曲面得截痕为虚轴在xOz坐标面上的双曲线y2-x2=c；

（5）用平面z=c（c<0）截该曲面得截痕为虚轴在yOz坐标面上的双曲线y2-x2=-c；

（6）综上，可得曲面完整图形[如图7-6-3（b）所示].

不难发现该曲面就是双曲抛物面，形状类似于马鞍. 如果一个人在yOz坐标面内沿曲面行走的话，原点是最低点，而一个人如果在zOx坐标面内沿曲面行走的话，原点却成了最高点。这样的点就称为曲面的鞍点.

7.6.2 空间曲线在坐标面上的投影

在后续学习中，常常需要求出两空间曲面所围成的立体在指定坐标面上的投影区域. 在满足一定条件的情况下，此类问题就可以转化为求这两个空间曲面的交线在指定坐标面上的投影.

定义7.6.1　以空间曲线Γ为准线，母线平行于z轴的柱面称为曲线Γ对xOy坐标面的投影柱面. 投影柱面与xOy坐标面的交线C称为曲线Γ在xOy坐标面上的投影曲线. 同理，可得到空间曲线Γ在yOz，zOx坐标面上的投影柱面和投影曲线的定义.

已知空间曲线Γ的方程为

如何求Γ在xOy坐标面上的投影曲线C？

显然投影曲线C的方程中不应含有变量z，并且要满足曲线Γ的方程，故在以上方程组中消去变量z，得到方程

由柱面方程的特点知，式（7.6.3）表示的是母线平行于z轴的柱面，且曲线Γ在该柱面上，所以由定义知，式（7.6.3）即曲线Γ对xOy坐标面的投影柱面，由此可得Γ在xOy坐标面上的投影曲线方程为

例7.6.2　求圆柱面x2+y2=1与平面x-y+z-1=0所围立体的水平投影区域.

解　此投影区域为两曲面的交线在xOy坐标面上的投影曲线所围成的区域（见图7-6-4）.

即为交线Γ的方程，显然圆柱面的方程已经不含变量z，即得投影柱面方程为x2+y2=1，故交线Γ在xOy坐标面上的投影曲线方程为

所以两曲面所围立体的水平投影区域为：

如图7-6-5所示的建筑——位于丹麦哥本哈根的第谷·布拉赫天文馆，其建筑造型就可以看成是例7.6.2中的立体.

例7.6.3　求球面x2+y2+z2=1与锥面所围立体的水平投影区域.

解　同例7.6.2类似，两曲面交线为

消去z得投影柱面x2+y2=1，所以Γ在xOy坐标面上的投影曲线为

故立体在xOy坐标面上的投影区域（见图7-6-6）为

习题7-6

1. 画出下列曲线的图形：

（1）

（2）

（3）

2. 将下列曲线的一般方程化为参数方程：

（1）

（2）

3. 求曲线在xOy坐标面上的投影曲线的方程.

4. 求上半球面与旋转抛物面z=x2+y2所围成的立体在xOy坐标面上的投影区域.

5. 分别求母线平行于x轴及z轴而且通过曲线的柱面方程.

6. 求两个椭圆抛物面z=x2+2y2与z=6-2x2-y2所围成的立体在xOy坐标面上的投影区域.

7. 求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.

8. 试举例说明如何求形如的曲线关于各坐标面的投影柱面方程.