第一节　古希腊几何美学

一、数学美学思想

早在公元前570～公元前475年，古希腊的学者毕达哥拉斯就已经开始思考和谐与比例的关系，他认为“数量关系的和谐是造就一切美、和谐事物的普遍规律”。

由于毕达哥拉斯学派大半都是数学家，便认为万物最基本的元素是数，把数看作是真实物质对象的终极组成部分。数不能离开感觉到的对象而独立存在，数的秩序、比例和尺度，不仅构成了宇宙万物，而且构成了宇宙的和谐。在他们看来，美就是从和谐中产生的。

在古希腊的毕达哥拉斯学派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有几何形状。从这个意义上讲，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线、面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。所以，他们很注意研究数，也就开始研究数的理论，研究数的性质，从而注重实际的计算。毕达哥拉斯学派的算术与几何学有着密切联系。他们依据几何和哲学的神秘性来对“数”进行分类，按照几何图形分类，可分成“三角形数”“正方形数”“长方形数”“五角形数”等。

毕达哥拉斯学派认为，对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱，因此，偏重于美的形式的研究，认为一切平面图形中最美的是圆形，一切立体圆形中最美的是球形12。圆之所以被人类看作是最美的图形，其根本原因就是它代表了宇宙和宇宙运动状态，这种状态正是人世间美的本质所在。毕氏学派对图形美的揭示是以数理逻辑为背景的科学审美萌芽，而中国人对方圆模式的描述是基于神话思维的文化观念。

毕达哥拉斯学派最早还发现了所谓“黄金分割”律，即美的和谐比例为：1.618:1或1:0.618，从而获得关于比例的形式美的规律。这个规律的意思是，将整体一分为二，整体与较大部分之比等于较大部分与较小部分之比。无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人以最悦目、最美的印象。黄金分割定律的发现推动了人类的图形史，以它为基础，艺术家们得以自如地创造更惊人的创作。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律。

毕达哥拉斯学派是西方美学史上最早探讨美的本质的学派。他们的几何学与科学相关，重视宇宙形象里的数理和谐性。古希腊创造的整齐、静穆、庄严的建筑，与写实而高贵典雅的雕像的美学观点，在经过中世纪文艺复兴之后，其艺术的追求与科学一致。柏拉图在40岁时，在雅典城外西北郊的圣城阿卡德米创立了自己的学校——阿卡德米学园（Academy），学园成为西方文明最早的有完整组织的高等学府之一，是中世纪时在西方发展起来的大学的前身。柏拉图本人发展了毕达哥拉斯学派的理念，在《斐利布斯篇》中，他将真正的快感归结为对形式美的快感，即“直线和圆以及用尺、规和矩作出的直线和圆形所形成的平面形和立体形”14。柏拉图本人受毕达哥拉斯的影响很大，认为形式美的本质在于秩序、比例和和谐。因此，学园课程的设置也类似于毕达哥拉斯学派的传统课题，包括算术、几何学、天文学以及声学等。据说，柏拉图还在学园门口立了块石碑，上面写道：“不懂几何，莫入此门”，在他看来，几何学是用来学习深奥哲学的基础，也是用于训练学生抽象思维的能力。无独有偶，在文艺复兴的早期，1543年出版的哥白尼的伟大著作《天体运行论》的扉页上，出版商也印上了“不懂几何者请勿入内”。由此可见几何学对西方近代科学的重要意义。1563年文艺复兴盛期的瓦萨里提出“Arti del disegno”（艺术家心中的创作意念）。不久，这一概念便得到社会制度上的确定。并在佛罗伦萨带着一批画家、雕塑家和建筑师脱离原来所属的行会，成立了西方世界第一所“艺术学院”（Accademia del Disegno）。英语中的“fine art”（美的艺术）便来自于瓦萨里的“disegno”。15因此，有学者将此译为“设计学院”是为了显示其彼此的历史联系。瓦萨里的艺术学院遵循古希腊柏拉图以来的学园模式，采用透视学、几何学、解剖学等理论科目来替代旧有的作坊式教学。

直至近代，毕达哥拉斯的数学美学思想对于现代科学美学的影响也是极其深远的。

二、欧氏几何学

如上所述，在古希腊时期，柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中一些命题作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理方法，对于几何学的发展，产生了极其深远的影响。数学家欧多克索斯第一个研究了黄金矩形，并建立起比例理论。但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几何总结成一门具有比较严密的理论学科的，被认为是希腊杰出的数学家欧几里德。

欧氏几何源于公元前3世纪。约公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德集前人之大成，他酷爱数学，总结了人们在生产、生活实践中获得的大量的几何知识，规定了少数几个原始假定为公理、公设，并定义了一些名词概念，通过逻辑推理得到一系列的几何命题。在此基础上研究图形的性质，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密演绎的体系，写成了数学史上的早期巨著《几何原本》一书，标志着欧氏几何学的建立。这部划时代的著作共分为13卷，465个命题。其中有8卷讲述几何学，按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对诸定理的出色证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的公理化方法。《几何原本》之所以具有价值，不仅因为欧几里德非常详尽地搜集了当时所知道的一切几何资料，而更重要的是把那些分散的知识用逻辑推理的方法编排成一个由系统演绎的几何学体系。他是历史上第一个创造了一个比较完整的几何数学理论的人。

欧几里德通过他的几何学告诉我们，点、线、面、体是物理世界存在的本质。他没有直接说出来的是，只要前提正确，演绎逻辑可以向我们展示一个全新的世界。

在逻辑推理思维方面，《几何原本》比之前的亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都更为广泛。用9条公理推出的整个体系，在完整的演绎推理结构方面，是一个十分杰出的典范。后来牛顿撰写的《数学原理》一书，就是按照类似于《几何原本》的“几何学”的形式写成的。欧几里德的这本著作，所包含的不仅仅是数学，还有严密的逻辑，更有着耐人寻味的哲学，被认为是现代科学产生的一个主要因素，也是一切学科的样板，从中可以了解到古希腊人用以逻辑为基础的理性思维进行科学研究的方法。从西方设计发展史的角度来看，理性主义哲学中“数”的逻辑演绎和几何学的发展，直接影响了17世纪启蒙理性主义和科学精神的形成，而西方现代主义设计正是沿着这一理论路向，构建了它的逻辑基础。

三、比例与秩序

公元前6世纪中叶在希腊建筑中开始有了比例的运用，后来逐渐才有了关于比例的理论，柏拉图在他的著作中也有比例问题的阐述。在建筑中，“比例”一方面与“均衡”“和谐”相关，另一方面，与“模数”相关。可以从古罗马建筑师马可·维特鲁威（Marcus Vitruvius Pollio）的《建筑十书》中看到对于“比例”“均衡”和“得体”等概念的清晰表述，这些概念后来支配着画家和雕塑家的艺术观念。黑格尔（Georg Wilhelm Friedrich Hegel）认为：“支撑物与被支撑物之间的力学比例关系也须按照正确的尺度和规律，例如，粗重的柱头放在细弱苗条的柱子头上，或是让庞大的台基负荷很轻巧的建筑，都是不合适的。在建筑中宽对长和高的比例关系，柱子的高对粗的比例关系，柱子之间的间隔和数目，装饰的简单与繁复，在如此等类的一切比例关系上，古代建筑都隐含着一种和谐，特别是希腊人对于这种和谐有正确的理解。”16而罗马人发现人体随着手足伸展可以构成完美的方形和圆形，并将此理论实践于建筑设计。人们通过比例模拟人体，通过数与几何来解释宇宙，此时，人体、数、几何、宇宙形成一个认识世界的窗口。在著名的方形人里，马可·维特鲁威就曾试图将人体与几何形式的方与圆进行综合，从而在人体、几何形体与数学之间找到某种联系。在古典建筑中，几何问题几乎等同于比例问题，要理解古典建筑中的几何学，就要了解比例的历史。马可·维特鲁威在《建筑十书》中对人体比例的数学关系做了详尽的描述，并认为建筑中各个部分的比例均来源于人体的比例，这一观点对后来的影响是深刻的。由于人体图形与方、圆等理想的几何图形相关联，所以引起意大利人文主义者对人与宇宙的关系及宇宙秩序的思考与探索。列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）就曾经利用最简单的几何和数学原理，相当精确地设计了意大利尹莫拉小城的测绘图。达·芬奇说，几何这个东西，就是研究宇宙如何产生秩序，并加以维持的方法。他除了利用几何解决了中央圆屋顶建筑物的设计和理想城市的规划问题外，还把几何运用于绘画中。

达·芬奇在1487年前后创作了一幅钢笔画素描《维特鲁威人》，他在马可·维特鲁威的基础上发现了人体四肢伸展运动所呈现出的第二种形式，这种形式与人体尺度及空间尺度是相一致的，正如人体与精神及审美是一致的。素描构图由一个圆圈、一个正方形和一个裸体男人构成：正方形下边的边线外切于圆周，外切点刚好是这条边线的中点，整个人体，无论是第一个姿势还是第二个姿势，都在圆圈的正方形内显得十分对称。许多年来，这幅素描的基本构图被视为人体美的最佳比例。

意大利晚期文艺复兴时期重要的建筑理论家安德烈亚·帕拉第奥（Andrea Palladio）按照几何方法对比例程式的分析注解，成为古典主义时期建筑设计的参照。在他的《建筑四书》中指出：“……建筑美产生于建筑形式，产生于建筑整体和各部分之间的协调，建筑因而像一个完整的、完全的躯体，它的每一个器官都与其他部分相适应……”17由于文艺复兴透视学与画法几何的出现，使建筑学可以从工匠行业中分离出来，成为具有一定规范的、系统性的学科知识。在这个时期的建筑中，对比例的关注和应用均达到了前所未有的高度，成为现代建筑之前的典范。可以说，古典建筑学中，建筑形式、比例研究的最后一个高峰是在文艺复兴时期。

从古希腊到宁静、朴素的古罗马建筑，从多变的、强力度的哥特式建筑到中世纪、文艺复兴时期以及后来的巴洛克式、法国的古典主义、洛可可等，尽管不同建筑观曾经不断翻新，但建筑的几何特性却从未被改变，这些建筑的几何体造型给人以强有力的印象，虽有精美的柱式、线脚、浮雕和辉煌的券拱成就，也不能削弱其建筑整体几何性的美学魅力。人类的实践表明，几何学的应用能带来最美的形式，因其结构包含着复杂的力学、数学原理。

美国科学史家韦斯特福尔（Westfall）在《近代科学的建构：机械论与力学》一书的“导言”中概括说：“两个主题左右着17世纪的科学革命——柏拉图—毕达哥拉斯传统和机械论哲学。柏拉图—毕达哥拉斯传统以几何关系来看待自然界，确信宇宙是按照数学秩序原理建构的；机械论哲学则确信自然是一架巨大的机器，并寻求解释现象后面隐藏的机制。”18可见，几何学在科学革命中，始终占有中心的地位。故此，起源于古希腊的几何学理念，在两千多年以来一直贯穿在人类造物的思想中，不管是科学还是哲学，甚至政治和艺术都是几何学思想的结晶。