2.7.2　有效数字的运算规则

通过上面对有效数字的讨论可知，近似值的有效数字，不仅反映了近似值的大小，还反映了近似值的误差。一个近似值有几位有效数字不是随意写的。在实际工作中，要求按有效数字的运算规则，正确地写出近似值的结果。常用的基本规则有以下几条：

①记录一个测定数据时，只允许保留一位可疑数字。

②当一个近似值的有效数字的位数确定后，其余数字应按照“四舍六入五单双”的舍入规则处理。按下面的口诀记这一舍入规则比较容易。

大于五，前进一。

小于五，舍下去。

恰好是五要考虑，

五后非零前进一；

若是五后全为零，

要看五前是偶奇；

五前为偶则舍弃，

五前为奇前加一。

按这一舍入规则；对下列数据取三位有效数字应当写成：

24.748→24.7，24.760→24.8

24.650→24.6，24.750→24.8

24.751→24.8，24.852→24.9

使用口诀时，注意“五后非零前进一”是指在5的后面的所有数字不全为零时，不管5的前一位是奇数还是偶数，都应该加1。例如：

24.6501→24.7，24.7503→24.8

过去采用的“四舍五入”规则，其最大缺点是见五就进，这必然使数据偏向一边，引起系统的舍入误差。现在多采用“四舍六入五单双”的规则，逢五时有舍有入，那么由五的舍入引起的误差本身可以抵消一部分，因此可避免误差的迅速积累。

③计算有效数字的位数时，若第一位数等于或大于8，则有效数字的位数可多计一位。例如，9.58、8.34，实际只有三位有效数字，但可当做四位有效数字计算。

④在大多情况下，表示误差的有效数字，取一位已够用，最多可取两位。

⑤在有近似值参与的运算中，如果给出各个量的误差，则要求按下一节讲的间接测量误差估计，计算出结果的绝对误差，再由绝对误差确定结果的有效数字。若没有给出各个量的误差，或者在要求不太严格的情况下，运算结果的有效数字，根据其运算类型的不同又可分下面几种情况：

●在加减运算时，其结果小数点后的位数，应与参与运算的近似值中小数点后位数最少的项相同。例如，近似值的加和为：

12.36+0.0051+1.6943=14.06

其和若写成14.0594，则是错误的。因为参与计算的近似值小数点后最少的项是12.36，即小数点后第二位已经是不准确的。所以，结果只能写成14.06。

●在乘除运算时，所得积或商的有效数字的位数应与原近似值中有效数字位数最少者相同。例如，近似值73.2与1.2527的乘积为：

73.2×1.2527=91.7

●在乘方、开方运算中，原近似值有几位有效数字，计算结果就保留几位有效数字。●在对数计算中，对数尾数的位数与真数的有效数字的位数应相同。例如：

log235.1=2.3713

●在计算平均值时，若为4个或多于4个数取平均数，则平均数的有效数字位数可增加1位。

●常数的有效数字位数可以认为是无限的，实际运算中需要几位就取几位。例如，测得圆的半径为0.30m，则圆的周长为：

L=2×π×0.30=1.9m

这里的2和π均为常数，其有效数字的位数是无限的。

在近似值参与的有关运算中，这里仅强调了运算结果的有效数字。由于目前多采用电子计算器或计算机进行数据处理，为保证最后结果不损失其精度，要求所有参与运算的常数、系数和中间计算结果，尽可能多取几位。这样做不但不麻烦，而且在某些场合能使问题变得简单。例如，用计算器可直接产生π、e等常数（其有效数字一般可达10位），有几位就可用几位。根本没有必要再进行取舍，然后参与运算，因为这样反会使运算结果增大误差。例如，测量圆的直径有4位有效数字，若计算周长时取π的值为3.14，则结果只能取3位有效数字，使结果的误差增大。再如，计算圆柱体积时，不必先确定底面积的有效数字，若这样反而增加了运算的麻烦。在实际运算中，可以连续计算，中间结果可多取几位，但少取不行，最后要注意到结果的有效数字。