2.3　误差的表示方法

常见的误差表示方法有以下几种：

1.绝对误差

某量值的绝对误差定义为该量的给出值x（包括实验值、计算近似值等要研究和给出的非真值）与真值A（包括理论真值、约定真值和相对真值等）之差，即

Δx=x-A　　（2-8）

误差的绝对值越小，则结果与真值越接近，给出值的准确度越高；反之，误差的绝对值越大，给出值的准确度越低。若给出值大于真值，则误差为正值；反之，误差则为负值。绝对误差反映给出值偏离真值的大小。

严格地说，绝对误差并非误差的绝对值。例如，用标准仪器测得某物理量的值为1.728（可看作真值A），而用另一台普通仪器测得该物理量的值为1.730，则测量值的绝对误差为

Δx=1.730-1.728=0.002

若另一次测量值为1.725，其绝对误差为：

Δx=1.725-1.728=-0.003

绝对误差是有单位的，其单位与给出值的单位相同。

在绝大多数情况下，由于真值无法知道，常常需要借助于误差范围来表示误差。任何测量都有一定的误差范围，因此可以用测量的误差范围来确定一个量的真值范围。例如，用分析天平测得一块金属重3.2803g，已知分析天平称量的误差范围是±0.0001g，则该金属块的真值范围是（3.2803±0.0001）g。这里所说的误差范围又称最大绝对误差。习惯上，人们又把最大绝对误差称为绝对误差。最大绝对误差的量值前面一般都加“±”号，这与式（2-8）所定义的绝对误差是不同的。

2.相对误差

相对误差是指绝对误差在真值中所占的百分率，即

在误差较小时，测定值x与真值A接近，故人们常常将绝对误差与测定值之比作为相对误差，即

【例2-1】用分析天平测得某一金属块的质量为4.1854g，而用半微量天平测得该金属块的质量为4.18544g（可看作真值），试求相对误差。

解：　Δx=x-A=4.1854-4.18544=-0.00004g

相对误差

或

用最大绝对误差计算出的相对误差称为最大相对误差。例如，例2-1中测量值4.1854g的最大绝对误差为±0.0001g，则最大相对误差为

在用同一仪器进行测量时，不论被测量的量值多大，它们的最大绝对误差都是相同的。但相对误差却有所不同。例如，用台秤称量两个物体的质量分别为102g和5g，称量的最大绝对误差为±1g，则相对误差分别为

可见，用相对误差来表示实验结果的误差，才能准确地表明实验结果是否有意义。

在实际工作中，往往遇到这种情况，为了获得更准确的结果，在相同条件下需进行多次重复测定。这种情况下的重复测定又称为平行测定或等精度测定。这时若测量仪器已经进行过校准，则测定值的误差往往用下面几种方法表示。

3.极差

极差是一组测定值中最高值和最低值之差，用于说明误差变化的范围。极差的定义式为

式中，xmax、xmin分别为测定值中的最高值和最低值。

极差的最大缺点是显示不出与测量次数的关系，而测量的结果与真值的近似程度是同测量次数密切相关的。

计算极差的Excel公式为：=MAX（）-MIN（）。

函数MAX（）返回数据集中的最大数值。

函数MIN（）返回数据集中的最小数值。

例如，C1∶F1的数据为8.2、8.1、8.5、8.3，则计算极差的公式为：F2∶=MAX（C1∶F1）-MIN（C1∶F1），显示结果0.4。

4.算术平均误差

算术平均误差（或称为平均偏差）简称平均误差。其定义为

式中，n为测定次数， 为测定值的算术平均值，xi为第i次测定值。

计算算术平均误差的Excel函数为AVEDEV（）。

功能：返回一组数据与其均值的绝对偏差的平均值，ADEDEV（）用于评测这组数据的离散度。

语法：

AVEDEV（number1，number2，…）其中，number1，number2，…是用于计算绝对偏差平均值的一组参数，参数的个数可以有1～30个，可以用单一数组（即对数组区域的引用）代替用逗号分隔的参数。

说明：参数可以是数字，或者是涉及数字的名称、数组或引用。如果数组或单元格引用参数中有文字、逻辑值或空单元格，则忽略其值。但是，如果单元格包含零值则计算在内。

示例：AVEDEV（4，5，6，7，5，4，3）等于1.020408。

5.标准差

标准差是标准误差的简称，又称标准偏差。当测定次数为无穷时，其定义为

在有限次测定中，标准差可表示为

标准差是现在文献中常用的一种表示误差的较好的方法。它不但与一组测定值中每个数据有关，而且对其中较大误差或较小误差敏感性很强，能明显反映出较大的个别误差，这是算术平均误差所不及的。实验越精确，标准误差越小。用计算器的统计计算功能计算标准差相当容易。

计算标准差S的Excel函数为STDEV（）。

功能：返回估算样本的标准偏差。标准偏差反映相对于平均值的离散程度。

语法：

STDEV（number1，number2，…）

其中，number1，number2，…为对应于总体样本的1～30个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单一数组，即对数组单元格的引用。

忽略逻辑值（TRUE或FALSE）和文本。如果不能忽略逻辑值和文本，可使用STDEVA（）工作表函数。

说明：这里用“n-1”方法来计算标准偏差。

示例：假设在生产过程中，10件工具是由同样的机器生产的，将其作为随机样本，测试抗拉强度。样本值（1345、1301、1368、1322、1310、1370、1318、1350、1303、1299）分别存放于A2∶E3单元格中。用函数STDEV（）估算所有工具抗拉强度的标准偏差。公式：G3∶=STDEV（A2∶E3），显示结果27.46。

用“n”方法来计算标准偏差S的Excel函数为STDEVP（）。

功能：返回用“n”方法来计算的标准偏差σ。

语法：

STDEVP（number1，number2，…）

其中，number1，number2，…为对应于样本总体的1～30个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单一数组，即对数组单元格的引用。

说明：当样本数较多时，函数STDEV（）和STDEVP（）计算结果差不多相等。这里采用“n”方法来计算标准偏差。

示例：仍使用函数STDEV（）例子中的同样数据，但假设生产过程中仅制造了10个工具，函数STDEVP（）计算所有工具的抗拉强度的标准偏差。公式：H3∶=STDEVP（A2∶E3），显示结果26.05。