2.2.2　调频信号的频谱分析与卡森带宽

根据已调信号瞬时相位偏移的大小，调频可以分为宽带调频（WBFM）与窄带调频（NBFM）两种，一般认为满足

为窄带调频，否则为宽带调频。

一般而言，相对带宽较窄的FM信号用于话音通信（大概15kHz），而更宽的FM信号则用于诸如FM广播（大约200kHz）和模拟卫星电视（一个系统大约需要36MHz）等方面。

1.窄带调频

前面已经指出，频率调制属于非线性调制，其频谱结构非常复杂，难于表述。但是，当最大相位偏移及相应的最大频率偏移较小时，可以简化，因此可求出任意调制信号的频谱表示式。将FM信号一般表示式展开得到

当满足窄带调频条件时：

故式（2-2-12）可简化为

设m（t）傅里叶变换为M（ω），利用傅里叶变换的性质，可得到NBFM信号的频域表达式

比较NBFM和AM信号频谱，式（2-1-12）和式（2-2-16），它们的频谱图如图2-27所示。

由图2-27可见，两者都含有一个载波和位于±ωc±ωm的边带，所以它们的带宽相同。不同的是，NBFM的两个边频分别乘了因式[1/（ω-ωc）]和[1/（ω+ωc）]，由于因式是频率的函数，所以这种加权是频率加权，加权的结果引起调制信号频谱的失真。另外，NBFM的一个边带和AM反相。

由于NBFM信号最大频率偏移较小，占据的带宽较窄，但是其抗干扰性能比AM系统要好得多，因此得到较广泛的应用。

2.单音调制时宽带调频

当时为宽带高频，此时式（2-2-6）中FM信号的时域表达式不能简化，给宽带调频分析带来了困难。为使问题简化，可先分析单音调制的情况，然后把分析的结论推广到多音情况。设单音调制信号为

m（t）=Amcosωmt=Amcos2πfmt　　（2-2-17）

由式（2-2-5）有调频信号的瞬时相偏

则单音调频的时域表达式

sFM（t）=Acos[ωct+mfsinωmt]　　（2-2-19）

利用贝塞尔函数可把SFM（t）信号展开为一系列正余弦曲线。

这里Jn（mf）为第一类n阶贝塞尔函数，它是n和调制指数mf的函数，贝塞尔函数曲线如图2-28所示。贝塞尔函数的函数形式为 ，并且有如下性质：

（2）且当n>mf+1时，Jn（mf）≈0；

（3）J-n（mf）=（-1）nJn（mf）。

对式（2-2-20）的调频信号求傅里叶变换，可得到调频信号的频谱密度函数为

由式（2-2-21）可见，单音调制时FM调频波的频谱包含无穷多个分量。当n=0时就是载波分量ωc，其幅度正比于J0（mf）；当n≠0时在载频两侧对称地分布上下边频分量ωc±nωm，谱线之间的间隔为ωm，幅度正比于Jn（mf）。根据第一类n阶贝塞尔函数的性质有，当n为奇数时，上、下边频极性相反；当n为偶数时，其极性相同。由此可见，FM信号的频谱不再是调制信号频谱的线性搬移，而是一种非线性过程。

由图2-29可见，由于调频波的频谱包含无穷多个频率分量，因此理论上调频波的频带宽度为无限宽，因此无失真地传输FM信号时，系统带宽应该为无穷宽，这在实际上是做不到的，也没有必要。从图中可以看到，边频幅度Jn（mf）随着n的增大而逐渐减小。因此，尽管大多数情况下角度调制信号的带宽要远大于AM信号的带宽，可是在实际应用当中角度调制信号仍然可以被认为是限频带。

通常的信号的频带宽度应包括幅度大于未调载波的10％以上的边频分量。当mf≥1时，取边频数n=mf+1即可（由n>mf+1时，Jn（mf）≈0可得），因为n>mf+1以上的边频幅度均小于0.1。被保留的上、下边频数共有2n=2（mf+1）个，相邻边频之间的频率间隔为fm，所以调频波的有效带宽为

BFM=2（mf+1）fm=2（Δfmax+fm）　　（2-2-22）

式（2-2-22）中Δfmax=mffm为最大频率偏移。它说明调频信号的带宽取决于最大频偏和调制信号的频率

当mf≪1时，BFM=2fm　　（2-2-23）

这正是窄带调频时的情况，表示带宽由第一对边频分量决定，且只随调制频率fm变化，而与最大频偏Δfmax无关。

当mf≫1时，BFM≈2Δfmax　　（2-2-24）

表示宽带调频情况，说明带宽由最大频偏Δfmax决定，而与调制频率fm无关。

这说明在大调制指数下的FM信号的带宽近似为最大频偏的两倍，且与调制频率无关。

3.宽带调频信号的功率分配

FM信号是频率随基带信号变化的等幅高频振荡信号，其幅度是未调载波的幅度，所以调频信号的平均功率为

由帕塞瓦尔定理及式（2-2-20）可知

利用贝塞尔函数的性质 ，得到PFM=A2/2=Pc，其中Pc为载波功率，因此调频信号的平均功率等于未调载波的平均功率，即调制后总的功率不变，只是将原来载波功率中的一部分分配给每个边频分量。所以，调制过程只是进行功率重新分配，而分配的原则与调频指数mf有关。

4.卡森带宽公式

上面分析了单音调制信号时调频信号的带宽。对任意信号m（t）调制时，调频信号的带宽也可以用类似的方法导出。

可以利用卡森公式对FM信号（也包括PM信号）的带宽进行近似计算为

BFM=2（β+1）B　　（2-2-27）

式中，β是相位调制指数mp或频率调制指数mf；B是调制信号的带宽（对正弦调制则为fm）。即对单音调频信号，卡森公式可写为

BFM=2（mf+1）fm=2（Δfmax+fm）　　（2-2-28）

与式（2-2-22）一致。

对实际应用来说，卡森公式估计的频带宽度偏低，因此当β>2时，常用式（2-2-29）来计算调频信号的带宽：

BFM=2（β+2）B　　（2-2-29）

5.带宽与调频指数的关系

由于BFM=2（mf+1）fm=2（Δfmax+fm），且有，则若fm不变而改变Δfmax（mf值发生变化），调频信号的带宽随mf的增加而加宽，如图2-30（a）所示。若Δfmax不变而改变mf，随着mf变大，fm变小，边频的数目增加，边频之间的距离变小，带宽基本不变，如图2-30（b）所示。可见对于FM信号，当频率偏移Δfmax一定的时候，由于调制系统mf与基带信号的频率fm之间为反比关系（mf=Δfmax/fm）。因此，如果基带信号振幅Am保持不变，增加基带频率fm将使调制系数mf减小（而调制系数mf的减小将减少振幅幅值较大的边带的数量，而另一方面，由于上、下边带的距离是基带信号频率的倍频，因此基带频率fm的增加将导致上、下边带之间频域上表现为距离增加）。这两个影响是相反的，结果将是随着基带信号频率的增加带宽稍微变大，但带宽和频率之间并不成正比的关系。基于上述原因，有时候FM调制也被称为恒带宽通信方式。