4.3　从动件的常用运动规律

从动件的运动规律是指其运动参数（位移s、速度v和加速度a）随时间t变化的规律，常用运动线图来表示。因凸轮一般作匀速转动，其转角δ与时间t成正比（δ=ωt），此时从动件的运动规律也可用从动件的运动参数随凸轮转角的变化规律来表示，即s=s（δ），v=v（δ），a=a（δ）。

设计机器中的凸轮机构时，首先应使凸轮机构从动件的运动规律满足机器的功能要求，在此基础上，再考虑凸轮机构的动力性能和强度问题。根据凸轮机构的功能要求建立凸轮机构的基本参数（下面介绍）是专业课要解决的问题。本节主要介绍凸轮机构的基本参数，凸轮机构从动件的常用运动规律及特性。

不同的运动规律对凸轮机构的工作性能也有很大的影响。因此，在设计凸轮机构时，要合理地选择从动件的运动规律。

4.3.1　凸轮机构的基本参数

以对心移动尖顶从动件盘形凸轮机构为例进行运动分析。如图4.5所示，凸轮轮廓由非圆弧曲线AB、CD以及圆弧曲线BC和DA组成。以凸轮轮廓曲线的最小向径rb为半径所作的圆称为凸轮的基圆，rb称为基圆半径。点A为凸轮轮廓曲线的起始点。当凸轮与从动件在A点接触时，从动件处于距凸轮轴心O最近位置。当凸轮以匀角速度ω1顺时针转动φ0时，凸轮轮廓AB段的向径逐渐增加，推动从动件以一定的运动规律达到最高位置B，此时从动件处于距凸轮轴心O最远位置，这个过程称为推程，即推程是从动件远离轴心的行程。这时从动件移动的距离h称为升程，对应的凸轮转角φ0称为推程运动角。当凸轮继续转动φ1时，凸轮轮廓BC段向径不变，此时从动件处于最远位置停留不动，相应的凸轮转角φ1称为远休止角。当凸轮继续转动φ2时，凸轮轮廓CD段的向径逐渐减小，从动件在重力或弹簧力的作用下，以一定的运动规律回到起始位置，这个过程称为回程，即回程是从动件移向凸轮轴心的行程。对应的凸轮转角φ2称为回程运动角。当凸轮继续转动φ3时，凸轮轮廓DA段的向径不变，此时从动件在最近位置停留不动，相应的凸轮转角φ3称为近休止角。当凸轮再继续转动时，从动件重复上述运动循环。此时若以直角坐标系的纵坐标代表从动件位移s2，横坐标代表凸轮的转角φ，则可画出从动件位移s2与凸轮转角φ之间的关系线图，如图4.5b所示，这种曲线则称为从动件位移曲线，也可用它来描述从动件的运动规律。

由上述分析可知，从动件位移曲线取决于凸轮轮廓曲线的形状。反之，要设计凸轮的轮廓曲线，则必须首先知道从动件的运动规律。

4.3.2　从动件常用运动规律

不同的机械传动系统，对凸轮机构的特性要求也不同。如在仪器仪表的传动系统中，对凸轮机构的运动特性要求较高；在以传递动力为主的机械设备中，对凸轮的动力特性要求较高。

凸轮机构的运动特性和动力特性，取决于从动件的运动规律。因此设计凸轮机构时，要了解凸轮机构中从动件的运动规律。凸轮从动件运动规律的种类较多，它们具有不同的运动特性和动力特性。

下面以尖底对心移动从动件盘形凸轮机构的推程为例，介绍几种从动件常用的运动规律。

1.等速运动规律

等速运动规律指当凸轮以等角速度转动时，从动件上升或下降时的运动速度保持为一个常量，这种运动规律称为等速运动规律。等速运动方程为

式中　s——凸轮机构从动件的位移（mm）；

v——凸轮机构从动件的速度（mm/s）；

a——凸轮机构从动件的加速度（mm/s2）；

φ——凸轮的转角（rad），φ=ωt；

ω——凸轮的角速度（rad/s），角速度ω为常量；

φ0——凸轮的升程转角（rad）；

h——从动件的行程（mm）。

等速运动规律的运动线图如图4.6所示。从图可以看出，从动件在运动开始的瞬时，从静止状态突然变为某一匀速状态，在等速运动终止的瞬时，从动件由某一匀速状态突变为静止状态。在理论上，由于这两个时间的瞬时间隔Δt为无穷小，所以这两个瞬时的加速度为无穷大。

根据牛顿第二定律，此时从动件在理论上也会产生无穷大的惯性力。这种惯性力能够使凸轮机构产生强烈的冲击、振动和噪声，因此称这种冲击为刚性冲击。

虽然实际上，构件具有一定的弹性，从动件不会产生理论上的无穷大的惯性力，但对于凸轮机构来说，仍会对机构中的各构件造成很大的冲击、振动和噪声。当载荷较大、速度较高且润滑不良时，很容易导致凸轮轮廓和从动件接触表面的严重磨损，使凸轮机构的工作性能变差，使用寿命缩短。因此，这种运动规律一般仅用于低速和轻载的凸轮机构中。

在机械工程中，为了避免等速运动规律在运动的起点和终点所产生的刚性冲击，通常对该位移曲线进行修正。一般是将位移曲线的起始和末尾两小段直线改为变化较平缓的圆弧、抛物线或者其他过渡曲线。

2.等加速等减速运动规律

等加速等减速运动规律是指从动件在一个行程（升程或回程）中，前半程作等加速运动，后半程作等减速运动。通常加速度与减速度的绝对值相等，若由于凸轮机构的功能需要，两者也可以不相等。

设时间t=0时，凸轮的转角φ=0，从动件的位移s=s0=0，从动件的速度v=v0=0。则从动件在升程时的等加速运动区间的运动方程为

从动件在升程时的等减速运动区间的运动方程为

式中各项参数的意义同上。

根据以上运动方程式画出的从动件的等加速等减速运动规律的运动线图，如图4.7所示。图中A点为从动件升程的起始点，B点为从动件等加速运动区间和等减速运动区间的连接点，C为升程的终止点。从动件在加速运动区间和减速运动区间的转角相同，均为φ0/2，从动件在这两段运动时间内的位移也相同，均为h/2。

在实际的凸轮机构的设计中，按照凸轮的功能要求，加速运动区间和减速运动区间的转角也可以不同，或位移也可以不同。由于加速度或减速度都为常量，所以加速度曲线是与横坐标轴相平行的水平直线，根据从动件的加速度、速度与位移之间的导数与微分关系可知，从动件的速度曲线为斜直线，位移曲线则是两段在B点光滑连接的抛物线。故等加速接等减速运动规律又称为抛物线运动规律。

从图4.7中可以看出，在从动件行程的起始点A、中点B和终止点C处，存在加速度的突变，但该点变化的大小为一有限值，所以由此而产生的从动件的惯性力变化也为有限值。这种惯性力的有限变化所产生的冲击、振动和噪声对凸轮机构所造成的影响，要比等速运动规律的刚性冲击的影响小得多。因此，称此种冲击为柔性冲击。这种具有柔性冲击的运动规律只适用于中、低速和轻载的凸轮机构。

用图解法设计凸轮时，需要画出从动件的位移线图。从动件在升程时的位移线图的画法如图4.7所示。若该运动规律的从动件的加、减速行程的大小和所对应的凸轮的转角都相等。则在纵坐标轴上将行程h分成相等的两部分。在横坐标轴上将与行程h对应的凸轮的升程转角δ0也分成相等的两部分。再将每一部分分为若干等分（图中为四等分），得1、2、3、…各点，过这些分点分别作横坐标轴的垂线。同时将纵坐标轴上各部分也分为与横坐标相同的等分（四等分），得1′、2′、3′…各点。连接A1′、A2′、A3′…与相应的垂线分别交于1″、2″、3″…各点，将这些交点连接成光滑曲线，即可得到推程AB段的等加速运动的抛物线位移曲线。后半行程的等减速运动的抛物线也可用同样的方法画出。

3.简谐运动规律

当动点在一圆周上作匀速转动时，由该动点在此圆直径上的投影所构成的运动规律，称为从动件的简谐运动规律（由于此规律类似于物理中的简谐振动，故称此规律为简谐运动）。

设时间t=0时，凸轮的转角φ=0，从动件的位移s=s0=0，从动件的速度v=v0=0，则从动件升程的运动规律为简谐运动时的运动线图如图4.8所示。从动件的简谐运动方程为

式中的各参数的意义同上（公式的推导过程见有关教材）。

同理，从动件回程时的简谐运动规律的运动方程式也需重新给出边界条件进行推导（此处省略）。

从式（4.4）和图4.8可以看出，从动件的位移曲线为余弦曲线；速度曲线为正弦曲线，而加速度曲线则为余弦曲线，故简谐运动规律又常称为余弦运动规律。

若从动件运动时，其升程和回程都采用简谐运动规律，同时凸轮的远休止角和近休止角都为零，即从动件的升程—回程—升程…的运动循环中，从动件始终处于运动状态，速度和加速度曲线是光滑连续的曲线。所以从动件的速度和加速度均为渐变曲线，而没有突变。此时凸轮机构既不存在刚性冲击，也不存在柔性冲击，故可用于高速凸轮机构。

若从动件运动时，其升程和回程都采用简谐运动规律（或回程采用其他运动规律），凸轮的远休止角和近休止角都不为零，则在从动件的运动起始位置和终止位置（图中A、B两点处），加速度会发生有限值的突变，所以从动件在行程的初始和末尾两处仍存在柔性冲击。因此，该情况下的简谐运动规律只适用于中、低速轻载的凸轮机构。

简谐运动的位移曲线的画法如图4.8所示，将横坐标轴上的φ0线段分为若干等分（图中分为6等分），得分点1、2、3…，过这些分点分别作横坐标轴的垂线。再以行程h为直径在纵坐标轴上作一半圆，将该半圆圆周也等分为与上同样的份数（6等分），得分点1′、2′、3′…，过这些分点作平行于横坐标轴的直线分别与上述各对应的垂直线相交于1″、2″、3″…。各点，将这些交点连接成光滑的曲线，即得简谐运动规律的位移曲线。

如图所示，用同样方法也可以得到简谐运动规律的速度曲线和加速度曲线。

在选择从动件的运动规律时，首先应满足工作机构的运动要求，同时应使凸轮机构具有良好的动力特性即使所设计的凸轮便于加工，可从以下两方面予以考虑：

（1）如果机器工作过程只对从动件工作行程有要求，而对运动规律无特殊要求，从动件的运动规律选取应从便于加工和具有良好的动力特性方面来考虑。对低速轻载凸轮机构，可采用圆弧、直线或其他易于加工的曲线作为凸轮的轮廓曲线；对高速凸轮机构，则应首先考虑动力特性，以避免产生过大的冲击。

（2）如果机器工作过程对从动件的运动规律有特殊要求，当凸轮转速不高时，直接按工作要求选择运动规律即可；若凸轮转速较高，在选定主运动规律后，还需要进行组合改进。

现将常用的三种运动规律的特点和适用范围列于表4.1中，供选择从动件运动规律时参考。