2.3 平面机构的自由度
机构是用来传递运动和动力或者是改变运动形式的机械装置。为了达到这个目的，一般都要求机构具有确定的相对运动。根据机构运动的确定性要求，在认识和分析现有机械、设计新机械的时候，首先要判断机构是否能够运动，在什么条件下才能实现确定的运动；其次要对机构进行结构分析，确定机构的自由度；然后还要分析机构的运动，确定机构的运动特性等。
2.3.1 运动链自由度的计算
1.运动链
将两个以上的构件通过运动副连接而组成的系统称为运动链。如果运动链中各构件组成首末封闭的系统，如图2.12a所示，称为闭式运动链，简称闭链，否则称为开式运动链，简称开链，如图2.12b所示。闭链广泛应用于各种机构中，少数机构才采用开链，如机械手、液压挖掘机等。
在运动链中，如果将其中的一个构件固定作为机架，另一个或少数几个为主动件时，则当主动件按给定的运动规律作独立运动时，其余从动件也均随之作确定的相对运动，这种运动链就称为机构。
图2.12 运动链
2.运动链的自由度
运动链中各构件相对于其中某一构件的位置所需的独立参数的数目称为运动链的自由度。
如图2.2所示，作平面运动的刚体在空间的位置需要三个独立的参数（x，y，θ）才能唯一确定。即单个自由构件的自由度为3。当该构件与另外一个构件组成运动副之后，它的自由度的数目就会减少。不同类型的运动副所引入的约束数目也不同。
设一个平面运动链共有N个构件，PL个低副和PH个高副。在运动链的N个构件中有一个构件为机架，则构件中的活动构件数为n=N-1。在相互之间用运动副连接之前，每个活动构件具有三个自由度，因此这些活动构件的自由度总数为3n。当用运动副将各构件连接起来组成运动链之后，运动链中的全部运动副所引入的约束总数为2PL+PH，因此，活动构件的自由度总数减去运动副引入的约束总数就是整个运动链相对于机架的自由度，用F表示。
即
F=3n-2PL-PH （2.1）
式中 PL──运动链中的低副数；
PH──运动链中的高副数；
n──运动链中的活动构件数。
2.3.2 运动链成为机构的条件
机构是由构件和运动副组成的系统，是具有确定的相对运动的运动链。将运动链中的一个构件作为机架，当运动链中的一个或几个主动件的运动确定时，其余从动件的运动也随之确定，则运动链成为机构。运动链具有确定的相对运动的条件分析如下：
图2.13a所示为五构件运动链，主动件数小于自由度数。若仅将构件AB作为主动件，当AB处于图示位置时，其余构件的位置不能确定，既可处于BC、CD、DE位置，也可处于BC′、C′D′、D′E位置，表明各构件间没有确定的相对运动，只能作无规则的运动。只有给出两个主动件，使构件1、4都处于给定的位置，各个构件间才能有确定的相对运动，如图2.13b所示。这说明对于自由度为2的运动链，任取某两活动构件为主动件则运动链成为具有确定运动的机构。
图2.14a所示为四构件运动链，若任取构件AB为主动件，通过几何作图可知，对于构件AB的任意位置，构件BC和CD均有唯一确定的位置与之对应。这说明对自由度为1的运动链，任取某一活动构件为主动件，其余各个构件的运动便确定了，运动链即成为机构。在图2.14b中，主动件数大于自由度数，构件2既要满足主动件1的运动，同时又要服从主动件3的给定运动，显然这是不可能的，必将造成其中最薄弱的环节损坏。这种情况下，运动链不能成为机构。
图2.13 五构件运动链
图2.14 四构件运动链
如图2.15a所示，三个构件用三个转动副相联，并将其中一个构件作为机架。此时，其自由度等于零，说明各个构件之间不可能产生相对运动，而成为一个静定桁架。又如图2.15b所示，四个构件用五个转动副相联，并取一个构件为机架，由式（2.1）可得自由度小于零。这说明它所受的约束过多，根本不能运动，成为超静定桁架。
图2.15 桁架
综上所述可知：运动链具有确定的相对运动而成为机构的条件是：
①运动链的自由度必须大于零；
②主动件的数目与运动链的自由度必须相等。
满足以上条件的运动链即为机构，因此机构的自由度也就是运动链相对机架的自由度，可利用式（2.1）表示的运动链自由度的计算公式来进行计算。
2.3.3 计算机构自由度时的注意事项
在应用式（2.1）计算机构的自由度时，还应注意以下几种特殊情况，否则将得不到正确的结果。
1.复合铰链
若两个以上的构件在同一轴线上用转动副相连接所组成的运动副，称为复合铰链。三个构件在A点组成的复合铰链如图2.16所示，其中图2.16a表示的是转动副的轴线垂直于纸面，图2.16b表示的是转动副的轴线平行于纸面。由图2.16b可以看出，这三个构件沿同一个轴线共组成两个转动副。
图2.16 复合铰链
在计算机构的自由度时，应注意识别出复合铰链并确定其实际包含的转动副数目，在统计转动副数目时应特别注意这种情况，以免遗漏。
识别复合铰链的关键在于要分辨出在同一处形成转动副的构件。图2.17列举了一些较难识别的情况。
图2.17 复合铰链的识别
图2.17a所示的是构件1、构件2分别与机架3组成两个转动副；图2.17b所示的是构件1、构件2分别与滑块3形成两个转动副；图2.17c所示的是构件1、滑块2分别与机架3组成两个转动副；而图2.17d所示的是构件1与滑块2之间、滑块2与滑块3之间各形成一个转动副。
复合铰链的处理方法是：若由K个构件在同一处组成复合铰链，则其转动副的数目应为（K-1）个。
2.局部自由度
局部自由度是指机构中某些构件的局部独立运动，它并不影响其他构件的运动。
一般情况下，机械中常常有局部自由度存在，如滚子、滚动轴承等。局部自由度并不影响机构的主要运动，但它可以改善机构的工作状况，即可使高副接触处的滑动摩擦变成滚动摩擦，并减少磨损。
在计算机构的自由度时，局部自由度的处理方法是采用固联的方法予以排除，所谓固联就是将滚子和从动件视为一体，使它们之间没有相对转动。
例2.2 计算图2.18a所示的凸轮机构的自由度。
解：在图2.18a所示的凸轮机构中，凸轮1是主动件，滚子从动件2是输出构件。当凸轮转动时，通过滚子4驱使从动件2以一定运动规律在机架3中往复移动。凸轮机构的自由度为
F=3n-2PL-PH
=3×3-2×3-1
=2
而机构中只有一个主动件，显然与机构的自由度数不相等。这与前面讨论的机构具有确定运动的条件相矛盾。
图2.18 凸轮机构
在这个机构中，滚子绕其轴线自由转动，无论滚子4绕其自身几何轴线C是否转动或转动的快与慢，都不影响输出构件2的输出运动。因此滚子绕其中心的这种转动是一个局部自由度。在计算机构的自由度时，应排除这个局部自由度。具体做法是采用固联的方法，即将滚子和从动件看成是一个构件，滚子与从动件之间的转动副C也随之消失，使得它们之间没有相对运动，如图2.18b所示。此时，活动构件数n由3变为2，低副数PL由3变为2，高副数PH不变，则机构的自由度为
F=3n-2PL-PH=3×2-2×2-1=1
这样，机构的自由度与主动件数目相等。因此以凸轮作为主动件，机构具有确定的运动。这里采用滚子结构的目的是用滚动摩擦代替滑动摩擦，以减少磨损。
3.虚约束
在机构中与其他约束作用重复而对机构运动不起独立限制作用的约束，称为虚约束。
在工程实际中，虽然虚约束不影响机构的运动，但它却可以保证机构顺利运动，或增加机构的刚性，改善机构的受力情况，所以虚约束的应用十分广泛。
虚约束是在特定的几何条件下形成的，计算机构的自由度时，应将其除去不计。如果几何条件不能满足，虚约束将成为约束，从而对机构的运动起限制作用，所以此类机构对工艺精度有较高的要求。
平面机构中的虚约束常出现在以下几种情况：
（1）重复运动副 当两个构件之间在多处接触组成的相同的运动副时，就会引入虚约束。
如图2.19a所示，安装齿轮1的轴与支承轴的两个轴承2之间组成了两个相同的且其轴线重合的转动副A和A′。从运动的角度来看，这两个转动副中只有一个转动副起约束作用，而另一个转动副为虚约束。因此，计算机构的自由度时，应只考虑一个转动副。
图2.19 重复运动副引入的虚约束
在图2.19b所示的凸轮机构中，从动件2与机架3之间组成了两个相同的，且导路重合的移动副B和B′。此时，只有一个移动副起约束作用，其余为虚约束。
在图2.19c所示的机构中，构件2与构件3之间组成的两个高副B和B′，这两个高副接触点处的公法线重合，只考虑一个高副所引入的约束，其余为虚约束。
（2）重复轨迹 在机构的运动过程中，如果两个构件上的两点之间的距离始终不变，则用一构件和两个转动副将这两点连接起来，就会引入虚约束。在图2.20a所示的机车车轮联动机构中，各个构件之间存在着特殊的几何关系，AB∥CD∥EF，且AB=CD=EF，BC=AD。由于ABCD为一个平行四边形，所以一般称这种机构为平行四边形机构，其机构运动简图如图2.20b所示。
当主动件1运动时，构件5与机架4始终保持平行并作平动。因此，构件5上各个点的运动轨迹完全相同。构件5上任一点E的轨迹为半径等于AB，圆心位于机架AD上F点的圆。用构件2分别与构件5和机架4在E点和F点进行连接，组成了两个转动副E和F。构件2是一个具有两个运动副元素的构件，由前面的分析可知，将该构件加入到机构中之后，机构将增加一个约束。这个约束使得构件2上E点的轨迹为以F点为圆心、AB长度为半径的圆。因此，构件5上E点的轨迹与构件2上E点的轨迹相重合。从运动的角度来看，构件2对机构的约束是重复的，它并不影响机构的运动，故为虚约束。因此，计算机构的自由度时，应去掉这个虚约束，即将构件2及其带入的两个运动副E和F一起去掉，如图2.20c所示。
图2.20 重复轨迹引入的虚约束
（3）对称结构 机构中对传递运动不起独立约束作用的对称结构中，只有一个起到约束作用，其他的对称部分都是虚约束。在图2.21所示的轮系中，中心轮1经过2和2′驱动内齿轮3。从传递运动的要求来看，在两个对称布置的小齿轮中，只需要一个小齿轮即可；而另一个小齿轮是虚约束。在计算机构的自由度时，只考虑一个小齿轮。
图2.21 对称结构引入的虚约束
例2.3 计算图2.11所示液压挖掘机机构的自由度。
解：（1）判断机构中是否存在特殊情况 机构中G处为复合铰链。G处的三个构件共组成了两个转动副，因此，在计算机构的自由度时，铰链G处表示转动副的一个小圆圈“°”实际上代表了两个转动副。
（2）确定活动构件数和各类运动副数 由图2.11可知，机构中构件2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12为活动构件，因此活动构件数n=11。
机构中运动副的情况是：铰链A、B、D、E、F、H、I、J和K处各有一个转动副，铰链G为复合铰链，此处有两个转动副；液压油缸3和活塞杆4、液压油缸5和活塞杆6、液压油缸8和活塞杆9之间各有一个移动副，所以机构中的低副PL=15；机构中没有高副，PH=0。
（3）计算机构的自由度 由式（2.1）得
F=3n-2PL-PH=3×11-2×15-0=3
此机构自由度等于3，机构中有三个主动件，主动件数与机构的自由度相等，因此该机构具有确定的运动。
例2.4 计算图2.22所示发动机配气机构的自由度。
图2.22 发动机配气机构
解：此机构中，G、F为导路重合的两移动副，其中一个是虚约束；P处的滚子为局部自由度。除去虚约束及局部自由度后，该机构则有n=6；PL=8；PH=1。其自由度为
F=3n-2PL-PH=3×6-2×8-1=1
此机构自由度等于1，机构中有一个主动件，主动件数与机构的自由度相等，因此该机构具有确定的运动。