1.2　函数极限的概念

1.2.1　数列的极限

函数的极限是描述在自变量的某个变化过程中，对应的函数值的变化趋势的一个重要概念.由于数列{xn}可以看作自然数n的函数，即xn=f（n），所以可类比数列极限来描述函数极限的概念.对于数列{xn}只需研究当自变量n无限增大（即n→∞）时，因变量xn的变化趋势.

定义1　对于数列{xn}，如果存在一个常数A，当n无限增大时，数列{xn}中的项xn无限趋近于A，则称常数A为数列{xn}当n→∞时的极限（limit），记为

例如，考察以下几个数列的变化趋势：

直观地可以看到，当n无限增大时，（1）中的xn从大于1的方向无限趋近于1；（2）中的xn从小于1的方向无限趋近于1，（3）中的xn从1的两侧跳跃着无限趋近于1，三个数列都是以1为极限，即随着n的无限增大，｜xn-1｜趋近于零；而（4）中的xn，不断地取0与1两个值，不趋近于某一定常数A，因此无极限.

对于一般的函数y=f（x），自变量x的取值是连续的，其变化趋势主要有以下两种：一种是自变量的绝对值｜x｜无限增大，记为x→∞；另一种是自变量趋向于某个定数x0，记为x→x0.下面就这两种情况给出函数极限的定义.

1.2.2　x→∞函数的极限

定义2　若当｜x｜无限增大时，函数f（x）无限趋近于某一常数A，则称A为函数f（x）当x→∞时的极限，记为

从几何上看，极限表示当｜x｜不断增大时，曲线y=f（x）与直线y=A无限接近，并当x→∞时，曲线y=f（x）上的点与直线y=A上的对应点的距离｜f（x）-A｜趋于零（见图1-2）.

若定义2中考虑的x值都是正的，记为或f（x）→A（x→+∞）；若考虑的x值都是负的，记为或f（x）→A（x→-∞）.

例1　由几何图形观察下面几个函数的极限：

（2）（见图1-4）；

（3），.但极限不存在，因为｜x｜→∞时arctan x不趋向一个确定的常数（见图1-5）.

1.2.3　x→x0函数的极限

定义3　设函数f（x）在x0点某去心邻域内有定义，若当x无论以怎样的方式趋近于x0时（x≠x0），函数f（x）都无限趋近于某一常数A，则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记为

例2　考虑函数f（x）=3x+1，当x→3时的极限.

因为｜（3x+1）-10｜=3｜x-3｜→0（当x→3时），所以.

例3　考虑函数，当x→0时的极限.

因为（当x→0时），所以，但函数在x=0处无定义.

在定义3中，x趋近于x0的方式是任意的，有时只考虑当x从x0的一侧趋近于x0时函数f（x）的极限，称为单侧极限（unilatera llimit）.

定义4　当x从x0的左侧（x<x0）趋近于x0时，若函数f（x）有极限A，则称A为f（x）当x→x0时的左极限（left limit），记为

当x从x0的右侧（x>x0）趋近于x0时，若函数f（x）有极限A，则称A为f（x）当x→x0时的右极限（right limit），记为

由定义3及定义4易得如下定理

定理1　极限存在的充分必要条件为，当x→x0时，f（x）的左右极限均存在且相等，即

由此定理可知，即使f（x0-0），f（x0+0）都存在，但若不相等，则不存在；若相等，则存在且等于f（x0-0）与f（x0+0）.

例4　考虑函数

当x→0时的左、右极限及极限

显然有，.尽管左、右极限都存在，但不相等，故极限不存在.

1.2.4　无穷小量与无穷大量

定义5　如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）的极限为零，则称函数f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷小量，简称无穷小（infinitesimal）.

例如，sin x当x→0时为无穷小量；当x→0时为无穷小量；1-x当x→1时为无穷小量.

注意：不要把无穷小量与很小很小的数混为一谈.无穷小量是以零为极限的变量，不是数.但由于零的极限是零，所以零是可以看作无穷小量的唯一常数.

无穷小量与极限的概念有着密切的联系，若limf（x）=A，则lim[f（x）-A]=0，即f（x）-A为无穷小量，令f（x）-A=α（x），于是f（x）=A+α（x）；反之，若α（x）为无穷小量，且f（x）=A+α（x），所以f（x）-A=α（x），即lim[f（x）-A]=0，则由lim[f（x）-A]=limf（x）-A=0得limf（x）=A.由此可得

定理2　在自变量的某个变化过程中，limf（x）=A的充分必要条件是f（x）=A+α（x），其中α（x）为无穷小量.

无穷小量有如下性质：

性质1　有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量.

设f（x）为无穷小量，即limf（x）=0，g（x）是有界函数，即存在一个正数M，使｜g（x）｜≤M.由于｜f（x）·g（x）-0｜=｜f（x）｜｜g（x）｜≤M｜f（x）｜→0.所以f（x）·g（x）是无穷小量.

例如，.因为｜sin x｜≤1，即sin x为有界函数，而，即是无穷小量.

显然，常数与无穷小量的乘积是无穷小量.

性质2　有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.

但两个无穷小量的商不一定是无穷小量.例如，当x→0时，x，x2，2x2与sin x都是无穷小量，但它们趋于零的快慢程度却往往不一样.

且当x→0时，

都是两个无穷小之比，这些比的极限分别为1，0，2及∞.

定义6　设α与β当x→x0（或x→∞）时，均为无穷小量.

（1）若，则称α是比β高阶的无穷小量，记为α=ο（β）；

（2）若，则称α与β是同阶无穷小量，记为α=O（β）；

（3）若，则称α与β是等价无穷小量，记为α～β.

sin x与x是等价无穷小，即sin x～x.

定义7　当x→x0（或x→∞）时，若函数f（x）的绝对值无限增大，则称f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷大量，简称无穷大，记作.

当x→x0（或x→∞）时，若f（x）保持正值且无限增大，则称f（x）为当x→x0（或x→∞）时的正无穷大量，记作。同样，若f（x）保持负值但绝对值无限增大，则称f（x）为当x→x0（或x→∞）时的负无穷大量，记作.

例如，，cotx，在x→0时都是无穷大量；2x，x2+x在x→∞时都是无穷大量；ln x在x→0+时是负无穷大量，ex在x→+∞时是正无穷大量，但要注意ex在x→-∞时是无穷小量.

注意：（1）无穷大不是很大的数，而是具有非正常极限的函数，它是描述函数的一种状态.

（2）切勿将认为极限存在.

（3）函数为无穷大，必定无界.但反之不真.

由上述定义可知，若函数f（x）为无穷大量，则为无穷小量；反之，若f（x）（f（x）≠0）是无穷小量，则为无穷大量.

例如，当x→3时，x-3是无穷小量，而它的倒数是无穷大量.

定理3　在自变量的同一变化过程中，

（1）若f（x）为无穷大量，则为无穷小量；

（2）若f（x）为无穷小量，且f（x）≠0，则为无穷大量.

说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.