2.12　结论与讨论

2.12.1　关于杆件内力分析的几点结论

（1）确定指定截面上的内力要应用截面法，用假想截面从所考察的截面处将梁截开，切不可将截面附近处所作用的外力当作截面上的内力。

（2）求杆件截面上的内力时，杆件上的外力不能任意简化。这是由变形体的特点决定的。在研究刚体的平衡或运动规律时，忽略了小变形的影响，因而将外力向任意点简化，对平衡方程都没有影响。但是，结构的内力是由于变形引起的，二者紧密相连。截开以前，如将外力简化，则整个结构的变形将发生变化，内力也因此而变化。

例如，图2-18（a）所示为承受分布载荷的梁，在分布载荷作用下，梁的每个截面都受剪力和弯矩作用；若用集中力ql代替分布载荷，则很明显BC段上将没有剪力和弯矩，这当然是错误的。截开以后应使用平衡方程计算某个截面上的剪力和弯矩，这是讨论平衡问题，因而作用在截开部分上的外力又可以进行简化，而对计算结果不发生任何影响。如图2-18（b）所示，为求D截面上的剪力和弯矩，将作用在BD段上的分布力简化成一集中力ql/4，其计算结果与用积分计算的结果相同。同理，在这种情形下，还可以将ql/4向截面中心C简化，得到一个力和一个力偶，则截面上的剪力和弯矩分别与之大小相等、方向相反。

（3）要注意内力的正负号。正负号不仅关系到所绘制的内力图能否正确，而且对以后的强度和刚度计算都有很大的影响。

2.12.2　关于应用力系简化方法确定梁横截面上的剪力与弯矩

本章重点介绍了应用截面法和平衡条件确定梁横截面上剪力和弯矩的方法。由于实际操作过程过于烦琐和复杂，因而为了简便、快速而正确地确定梁任意横截面上的剪力和弯矩，采用力系简化方法，是一种很好的选择。

以图2-19（a）中的悬臂梁为例：为求B截面上的剪力和弯矩，可以将梁从B处截开，考察左边部分平衡，将作用在A点的外力FP向B处简化，得到一力和一力偶，其值分别为FP和，但是，二者仍然是外力，而不是B截面上的剪力和弯矩。横截面上剪力FQ和弯矩M分别与二者大小相等、方向相反，如图2-19（b）所示。

如果考察截开处右边部分的平衡，也就是B处右侧截面，根据作用与反作用关系，这一侧截面上的剪力和弯矩应该与B左侧截面上剪力和弯矩大小相等、方向相反，如图2-19（c）所示，而这就是外力FP由A向B简化的结果。

于是，可以作出下列重要结论：将外力向所要求内力的截面简化时，对于与外力处于同一侧的截面，简化的结果仍然是外力，而不是内力；但是，对于与外力不在同一侧的截面，简化的结果就是这一侧截面上的内力。

这一方法将使确定横截面上剪力和弯矩的过程大为简化，无需将梁一一截开，只需在控制面处作一记号，然后将外力向该处简化，即可确定该截面上剪力和弯矩大小及其正负号。实际分析时，如果概念清楚，也可以不作任何记号。

2.12.3　重视对平衡微分方程的理解和应用

将剪力、弯矩与载荷集度之间的微分方程写成可以积分的形式，然后进行定积分运算，在已知某个横截面（通常梁左端的截面为初始截面）的前提下，很容易确定与之相邻横截面上的弯矩。这一方法用于确定极值点的弯矩数值时显得特别方便。

以图2-20中的简支梁为例。已知梁左端点a的弯矩Ma=0，为确定极值点e的弯矩数值，将剪力和弯矩之间的微分方程改写

对第二个等式的等号两侧从a到e作定积分

于是有

最后得到极值点e的弯矩值

其中 为剪力图上从点a到点e之间的面积。

需要指出的是，因为剪力有正负之分，所以剪力图的面积A也可能取负值。

习题

2-1　计算图2-21所示杆件各段的轴力，并画轴力图。

2-2　圆轴上安有5个带轮，其中轮2为主动轮，由此输入功率80kW；1、3、4、5均为从动轮，它们输出功率分别为25kW、15kW、30kW、10kW，如图2-22所示，若圆轴设计成等截面的，为更合理地利用材料，各轮位置可以互相调整。

（1）请判断下列布置中哪一种最好？

（A）图示位置最合理

（B）2轮与3轮互换位置后最合理

（C）1轮与3轮互换位置后最合理

（D）2轮与3轮互换位置后最合理

（2）画出带轮合理布置时轴的扭矩图。

2-3　一端固定另一端自由的圆轴承受4个外力偶作用，各力偶的力偶矩数值均如图2-23所示。试画出圆轴的扭矩图。

2-4　试求图2-24所示各梁中指定截面上的剪力、弯矩值。

2-5　试写出图2-25所示各梁的剪力方程、弯矩方程。

2-6　试画出习题2-5中各梁的剪力图、弯矩图，并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。

2-7　试作图2-26所示刚架的内力图。