1.1　空间形式概述

1.1.1　几何空间

1619年，笛卡儿（R.Descartes，1596—1650）为空间安上了坐标架，具体地说是引入了坐标系（coordinate system）和数轴（axes），从而使数与形结合起来，诞生了解析几何学（包括平面解析几何和空间解析几何）.而后随着坐标系概念和方法体系的逐渐完善，数学的两大分支——函数论和分析学逐渐发展起来.

这一节我们简要介绍：几何空间、四维空间和n维欧几里得（Euclid，公元前330—公元前275）空间（简称为n维欧氏空间）.

1.一维空间

在一维空间（one-dimensional space）中可以度量一个尺寸，点可以沿一个方向移动.

直线（straight line）是一维空间的代表，因为只需要一个数就可以描述线上各点的位置.

实数集在几何上可表示为有向直线，即我们常说的数轴.单个数以数轴上的点表示，也就是说线上的点和实数之间形成了一种一一对应关系.时间的几何模型是一维的直线，没有开端也没有终结，而且只向一个方向发生变化.

实际上，一个点从一个位置P移动到另一个位置P1，它将描绘出一条直线.这条直线就可以被看作是一维空间（见图1-1）.

一维空间的距离定义为：|MN|=|x1-x2|，其中，M、N是直线上两点，其坐标分别为x1，x2.

2.二维空间

二维空间（two-dimensional space）的代表是平面（plane）.在平面上可以度量两个尺寸，可以向两个独立的方向发生移动或向一个方向转动.

二维空间可以由一维空间如下扩展得到：取一几何直线并将它从一个位置移动到另一个位置，可以是平行移动，例如从图1-2中PP1移动到SS1，也可以是绕直线上一点P旋转移动，比如从PP1转动到PS.这种移动会确定一个平面（见图1-2）.

在平面上，我们可以建立坐标系.常用的平面坐标系是笛卡儿直角坐标系（Cartesian orthogonal coordinate system）和极坐标系（polar coordinate system）.

笛卡儿直角坐标系（简称为直角坐标系）是由两条相互垂直的直线——坐标轴（coordinate axes）来确定的（见图1-3）.在平面直角坐标系中，第一个坐标常称为横坐标（abscissa），是在横轴（horizontal axis）上沿向右方向的度量.第二个坐标常称为纵坐标（ordinate），是在纵轴（vertical axis）上沿向上方向的度量.

极坐标系是按照如下方法建立的：在平面内取一个定点作为原点O，也叫极点（pole），引一条射线Ox，叫做极轴（polar axes），再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内一点P，用ρ表示线段OP的长度，φ表示从Ox到OP的角度.ρ叫做点P的极半径（polar radius）（或简称为极径），角φ叫做点P的极角（polar angle）.于是，一个点P也与一个有序实数对（ρ，φ）对应.有序实数对（ρ，φ）叫做点P的极坐标（polar coordinates）（见图1-4）.

除了上面提到的直角坐标系和极坐标系，我们还可建立斜坐标系.事实上，在笛卡儿最初的坐标系概念中仅要求坐标轴间具有“固定角”，并未强调两坐标轴必须是垂直的.也就是说，只要两直线不是重合的也不是平行的，那么这两条直线就可以形成一个坐标系或说形成一个二维空间.

二维空间的距离定义为：

其中，M，N是平面内两点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.

在二维空间中，描述曲线（包括直线）的方程均含有两个未知量.例如，在直角坐标平面内直线的一般方程为：

Ax+By+C=0；

圆的一般方程为：

x2+y2+Dx+Ey+F=0.

我们知道，如果一个方程是某曲线的方程，则曲线上每一点的坐标都满足该方程；反过来，坐标满足方程的点也必定在曲线上.

3.三维空间

一个平面沿一直线方向（不在该平面内）移动或作旋转移动，将描绘出一个具有长、宽、高三个尺度的立体的几何图形.这个立体图形确定一个三维空间（three-dimensional space）（见图1-5）.我们生活的现实空间是三维的，因为有三个互相垂直的独立方向存在：前后、左右、上下.

三维空间中的笛卡儿直角坐标系的建立和平面的情况是类似的，具体如下：过空间一定点O，作三条相互垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫做x轴、y轴和z轴.通常把x轴和y轴配置在水平平面上，而z轴则是铅垂线方向；它们的正向通常符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.如图1-6所示，图中箭头的指向表示x轴、y轴和z轴的正向.这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系（spatial coordinate system）.点O叫做坐标原点（coordinate origin）.通过两个坐标轴的平面为坐标平面（coordinate plane）.三个坐标平面把空间分为八个区域，我们称其为卦限（octants）.

事实上，在认识生物体的构造、解剖特征时，就需要建立坐标系（见图1-7）.矢状轴（x轴）、冠状轴（y轴）和垂直轴（z轴）组成了直角坐标系.冠状面（yOz平面）、矢状面（xOz平面）、水平面（xOy平面）将人体分成八个部分.

设M为空间中一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴的交点依次是P，Q，R，这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标依次为x，y，z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组x，y，z.反过来，已知一有序数组x，y，z，我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P，Q，R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M便是由有序数组x，y，z所确定的唯一的点.这样就建立了空间的点M和有序数组x，y，z之间的一一对应关系.这组有序数组（x，y，z）就叫做三维空间中一点的笛卡儿直角坐标（Cartesian rectangular coordinates）（见图1-8）.

与二维空间中类似，在三维空间中，我们也可以建立不同于直角坐标系的其他坐标系.事实上只要三条线不共面，我们就能以这三条线为坐标轴建立三维空间的坐标系.当这三条线不是两两垂直时，我们称这样的坐标系为仿射坐标系（affine coordinate system）.

三维空间的距离定义为

其中，M，N是空间中两点，其坐标分别为（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）.

在三维空间中，描述曲面（包括平面）的方程含有三个未知量.而曲线（包括直线）可以理解为曲面的交线，因此曲线的方程可以用包含三个未知量的两个联立方程表示.

一个点（oint）可以看作是一个直径尺寸为零的球.这意味着点不占有空间，或者说p在一个点上没有第二个不同的位置.因此我们可以把点看作零维空间（zero-dimensional space）的代表.零维空间里没有度量或位移，也就是说，在这样的空间里不能发生移动和转动.

1.1.2　高维空间

1.四维空间

我们人类和大多数动物都可以看作是三维的生物.对于我们这些天生具有三维空间概念的人来说，要想象比三维少的低维空间是容易的.比如，我们能很容易就理解了线和面的几何性质，但是想象比三维多的多维空间则是困难的.不仅如此，对于三维空间的几何性质，我们理解起来也不是那么容易，因为我们是三维空间的一部分.

四维空间（four-dimensional space）如何得到呢？如图1-9所示，我们取一三维立体图形（或空间）并朝第四维的方向（即不同于左右、上下、前后的方向）移动（可以是沿直线移动或旋转移动），这样就形成了一个被看作是四维的立体图形.

数海拾贝

“上下四方曰宇，往古来今曰宙.”（引自《尸子》）宇就是空间，宙就是时间.中国的传统思想是把空间和时间联系在一起的.这一点也和西方古代把二者看成是两个互相割裂的概念大不相同.《尸子》的作者尸佼是先秦诸子百家之一，也是先秦三晋思想文化杰出代表人物之一.他一生中对于社会改革、对于哲学思想都有重大的贡献，是战国时期著名的政治家、思想家.

20世纪初，爱因斯坦（A.Einstein，1879—1955）创立了“狭义相对论”.他把一维的时间和三维的空间放在一起考察，引起了物理学的革命，也使得数学上的四维空间成为现实的对象.再比如，从一个零维物体，即一个点开始，现在将该点向左或向右移动一个单位，这便形成一条线段，这线段就是一维的物体.现将线段向上或向下移动一个单位，便会形成一个正方形，这个正方形就是二维物体.按同样的方式进行，把正方形向里或者向外移动一个单位，便会形成一个立方体，它就是一个三维物体.下一步要设法并想象移动这个立方体，使其朝第四维的方向运动一个单位，以产生一个超立方体，也称作立方镶嵌体（见图1-10）.

由超立方体（即立方镶嵌体）和其他的四维物体构成的世界称为超空间.生存于超空间中的生物（如果存在的话）可以称之为超生物.在超空间中会出现一些什么样的现象呢？一个超生物能够毫不费力地在众目睽睽之下移走物体，而留给我们的感觉只是物体简单地从视野内消失了！这正如我们三维生物能够进入二维世界，并通过简单地拉到三维世界的办法来移动任何二维物体，使得任何二维生物（如果存在的话）看来该物体似乎消失了一样.一个超生物进入我们的世界将会被我们的空间所截，就像一个球进入二维世界被平面所截一样.也就是说，我们能看到的仅仅是该超生物的剖面之一，就像一个球穿过一个平面而在平面上留下一系列圆的印记一样.

2.n维空间

根据前几节的介绍我们知道数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线.在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与有序二元数组（x，y）一一对应，从而有序二元数组（x，y）全体表示平面上一切点的集合，即平面.在空间引入直角坐标系后，空间的点与有序三元数组（x，y，z）一一对应，从而有序三元数组（x，y，z）全体表示空间一切点的集合，即空间.一般地，设n为取定的一个自然数，我们称有序n元数组（x1，x2，…，xn）的全体为n维空间（n-dimensional space），记为Rn.而每个有序n元数组（x1，x2，…，xn）称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标.显然，有序n元数组（x1，x2，…，xn）与n维空间中的点一一对应.

从而一维空间、二维空间、三维空间和四维空间可分别记为R1，R2，R3和R4.

n维空间Rn中两点M（a1，a2，…，an）、N（b1，b2，…，bn）的距离规定为：

显然，当n=1，2，3时，上式便是直线、平面和空间中两点间的距离.

在n维空间中，n-1维曲面（称为n-1维超平面（hyperplane））的方程含有n个未知量.这与二维空间中的一维直线方程含有两个未知量和三维空间中的二维平面的方程含有三个未知量是类似的.

数海拾贝

欧氏几何、射影几何与非欧几何　欧氏几何就是我们学习过的平面几何、立体几何.其研究的范围是绝对的平的问题，在平面三角形内角和为180°，两点之间的距离也是直线最短.在欧氏几何中平移和旋转不改变图形的面积、体积、角度和图形的形状.但研究光线从一点发出照在模型上的问题时，模型的像的大小、形状就与模型不一定一致.保持点的相对位置以及线段长度比不变，而几何形状可以发生变化的几何变换称为相似变换，研究相似变换下几何图形性质的问题属于射影几何.显然随着现代成像技术的发展，摄影几何的理论与方法必将得到更为广泛的应用.射影几何和欧氏几何属于古典几何.在黎曼（G.F.B.Riemann，1826—1866）看来有三种几何学：欧氏几何（抛物几何）、非欧几何（双曲几何）和黎曼几何（椭球几何）.假设我们生活的空间是一个双曲面上，在这个双曲面里画出的三角形，因为不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线.这样建立在凹曲面上的几何学是一种非欧几何.如果在椭球面研究几何问题，则得到另外一种几何学，这个时候任何三角形的内角和都大于180°，两点间的最短距离是曲线.黎曼几何在物理上非常有用，因为光在空间上就是沿着曲线跑的，并非是直线，我们生活在地球上，因此我们的空间也是曲面，而不是平面，但为了生活方便，都不做严格规定，都近似地当成了平面.