3.3　微分的概念与应用

在处理实际问题时，经常要计算由于自变量的微小变化所产生的函数值的改变量.利用微分可以了解当自变量有微小变化时函数局部变化的主要趋势.

3.3.1　微分的概念

为了理解微分的概念，先分析一个实例，如一块正方形的金属薄片受热后边长由x变为x+Δx，其面积y的增量为

Δy=（x+Δx）2-x2=2x·Δx+（Δx）2.

这个增量分成两部分，其中第一部分2x·Δx在给定点x（x≠0）处与Δx成正比，且当Δx→0时，是Δx的同阶无穷小量，而第二部分（Δx）2是Δx的高阶无穷小量.例如，x=10cm时，Δx=0.01cm时，Δy=0.2001，而2xΔx=0.2，以2xΔx近似代替Δy所产生的误差为0.0001，比Δx小得多.于是，当Δx很小时，Δy≈2x·Δx.

1.微分的定义

定义　设函数y=f（x）在点x0的邻域内有定义，x0+Δx也位于这个邻域内，如果函数在点x0处的改变量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）可表示为

Δy=AΔx+o（Δx），

其中A是与Δx无关的常数，o（Δx）是比Δx高阶的无穷小，则称函数y=f（x）在点x0处是可微的，并称AΔx为函数y=f（x）在点x0处相应于自变量改变量Δx的微分（differential），记作dy，即

dy=AΔx.

2.函数可微与可导的关系

函数在一点可导一定在该点连续，反之不真.那么函数在一点的可微与可导关系如何呢？

定理　函数y=f（x）在点x0处可微的充分必要条件是该函数在x0处可导，且当函数y=f（x）在点x0处可微时，dy=f'（x0）Δx.

证明　若函数y=f（x）在点x0处可微，则

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=AΔx+o（Δx）.

若Δx≠0，则有

所以

这说明函数y=f（x）在点x0处可导，且f'（x0）=A.

反之，若函数y=f（x）在点x0处可导，即

根据第2章无穷小的性质，当Δx→0时存在一个无穷小α使得

成立.因此有

Δy=f'（x0）Δx+αΔx=AΔx+o（Δx），

即函数y=f（x）在点x0处可微.

函数y=f（x）在其定义区间内任意点x处可微，常称其为可微函数，其任一点的微分也称为函数的微分，记作dy或df（x），即

dy=f'（x）Δx.

通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx=Δx，于是函数y=f（x）的微分又可记作

dy=f'（x）dx.

从而有.这就是说，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做微商（differential quotient）.

例1　求函数y=x3，当x=2，Δx=0.02时的微分.

解　先求函数在任意点x的微分

dy=（x3）'Δx=3x2Δx.

当x=2，Δx=0.02时，

数学家名言

The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality.（做数学的要诀在于找到那个特例，它含有生出普遍的所有胚芽.）

——希尔伯特（D.Hilbert，1862-1943）

3.微分的几何意义

对于可微函数y=f（x）而言，Δy是曲线y=f（x）上的横坐标为x0和x0+Δx点的纵坐标的增量，dy就是曲线的切线上相应点的纵坐标的增量（见图3-5）.

当|Δx|很小时，|Δy-dy|比|Δx|小得多.因此在点（x0，f（x0））的邻近，可以用切线段的长度来近似代替曲线段的长度.

3.3.2　微分的基本公式和运算法则

根据微分的定义及导数的基本公式与法则，容易得到下面微分的基本公式与法则.

1.微分基本公式

常用函数的微分公式见表3-4

续表

2.函数的和、差、积、商的微分法则

常用函数的微分运算法则如表3-5所示.

3.复合函数的微分法则

设y=f（u）及u=φ（x）都可导，则复合函数y=f（φ（x））的微分为

由于φ'（x）dx=du，所以复合函数y=f（φ（x））的微分也可以写成

dy=f'（u）du.

由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dy=f'（u）du保持不变.这一性质称为微分形式的不变性.

例2　求函数y=ln（1+e2x）的微分dy.

3.3.3　微分的应用

1.近似计算

微分在实际计算中有广泛的应用.由Δy=f（x0+Δx）-f（x0）≈dy=f'（x0）·Δx，得

f（x0+Δx）≈f（x0）+f'（x0）Δx

令x0+Δx=x，Δx=x-x0，则有

f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x-x0）.

特别地，当x0=0，|x|很小时，有f（x）≈f（0）+f'（0）·x.

常用函数的近似计算公式如表3-6.

例3　证明一次近似式：（1）ex≈1+x；（2）ln（1+x）≈x.

证明　（1）令f（x）=ex，则f'（x）=ex.当x=0时，f（0）=1，f'（0）=1.

由于　f（x）≈f（0）+f'（0）x，

所以　f（x）≈1+x，即ex≈1+x.

（2）令f（x）=ln（1+x），则

当x=0时，f（0）=0，f'（0）=1

由于　f（x）≈f（0）+f'（0）x，

所以　f（x）≈x，即ln（1+x）≈x.

例4　计算的近似值.

例5　求ln0.999的近似值.

解　ln0.999=ln（1-0.001）≈-0.001

2.误差估计

在误差估计中，通常把精确值与近似值之差的绝对值称为绝对误差（absolute error）或误差，而把误差与近似值之比的百分数称为相对误差（relative error）.

设x为一个量的精确值，而x0为其测量值.在许多情形下，虽无法知道误差|x-x0|=|Δx|的准确值，但可根据测量条件确定其范围，即误差界，比如|Δx|≤δ，其中δ为某个小正数.此时，如果利用公式y=f（x）计算函数值y，则因测量x值时出现误差而造成的y值的误差为

|Δy|=|f（x）-f（x0）|=|f（x0+Δx）-f（x0）|≈dy=|f'（x0）·Δx|≤|f'（x0）|·δ.因此，通常认为函数值的误差界是|f'（x0）|·δ，而相对误差界为

例6　测量正方体的边长，测定值为（10±0.01）cm.计算正方体的体积，并作误差估计.

解　由正方体的体积公式V（x）=x3，当x0=10cm时，V（10）=103=1000（cm3）.已知测量误差为|Δx|≤δ=0.01cm，得体积的绝对误差为

相对误差为

于是，正方体的体积为（1000±3）cm3，相对误差小于0.3％.

例7　测量正方形的边长x，其准确度应如何，才能使由公式S=x2求得的面积的相对误差不超过0.1％？

解　由条件

得

因此边长测量值的相对误差应不超过0.05％.

数学家的故事

李善兰与微积分　我国清代数学家李善兰，曾任同文馆数学总教习.他不仅致力于研究中国古算经，在对数、三角函数、平面几何、立体几何诸方面颇有建树，而且出版了“弧矢启秘”、“方圆探幽”、“对数探源”等著作；他还与英国人伟烈亚力合译了“几何原本”后9卷，翻译了“代数学”共13卷，“代微积拾级”18卷，“谈天”18卷，“重学”20卷，“圆锥曲线说”3卷.将代数学、解析几何、微积分以及经典力学第一次引进了中国.其中，代数、函数、极限、导数、微分、积分等汉译名词，皆出自他手.仅从以上几个名词就可以看出，他对于以上诸学说的深刻理解，简单而凝练地概括在几个非常贴切的汉字中.