命题III.19

一条直线与圆相切，在切点上与该直线垂直的直线，一定经过圆心。

设：直线DE与圆ABC相切于C点，从C点作CA，使之垂直于DE（命题I.11）。

求证：圆心一定在AC线上。

假设圆心不在AC线上，如果可能，设F为圆心，连接CF。

因为：直线DE与圆ABC相切，又FC是从圆心向切点引出的直线，FC垂直于DE。

那么：∠FCE是直角（命题III.18）。

又，∠ACE也是直角。于是：∠FCE等于∠ACE，于是小角等于大角，这是不可能的。

所以：F不是圆ABC的圆心。

同样，我们可以证明除了AC上的点以外的任何点不可能是圆心。

所以：一条直线与圆相切，在切点上与该直线垂直的直线，一定经过圆心。

证完

注解

这一命题应用在命题III.32中。