3.3 平面机构自由度
3.3.1 平面机构自由度的计算
平面机构自由度就是指机构中各构件相对于机架所能有的独立运动的数目之和。
一个做平面运动的自由构件具有3个自由度，因此平面机构中每个活动构件在未用运动副连接之前都有3个自由度，每个低副引入2个约束，使构件失去2个自由度。每个高副引入1个约束，使构件失去1个自由度。
设一个平面机构共有N个构件，其中1个构件为机架固定不动，则有n=N-1个活动构件，当用PL个低副和PH个高副连接组成机构后，就引入了2PL+PH个约束。因此，活动构件的自由度总数减去运动副引入的约束总数就是该机构的自由度，用F表示。即平面机构的自由度计算公式为：
（3-1）
3.3.2 机构具有确定运动的条件
机构具有确定运动的条件是：F＞0，且F等于机构的主动件个数。
构件组的自由度与主动件的数目相比，可分为下列几种情况：
（1）当构件组的自由度小于或等于零时，它不是机构，而是不能产生相对运动的静定或超静定刚性桁架，如图3.9（a）、（b）所示。
图3.9 构件的自由度
（2）当构件组的自由度大于零但小于主动件数时，会发生运动干涉而破坏构件，如图3.9（c）所示，若机构减少一个主动件，则具有确定运动。
（3）当构件组的自由度大于主动件数时，机构从动件的运动是不确定的，如图3.9（d）所示。若此机构有2个主动件，则有确定运动。
3.3.3 计算机构自由度的注意事项
1．复合铰链
两个以上的构件共用同一转动轴线所构成的转动副称为复合铰链，如图3.10所示。
图3.10 复合铰链
由m个构件组成的复合铰链，应当按m-1个转动副计算。
例3.2 计算图3.11所示机构的自由度。
图3.11 例3.2图
解：机构中活动构件数n=5，A、B、D、E、F各有一个转动副，C处为3个构件组成的复合铰链，按2个转动副计算。故PL=7，PH=0。
由式（3-1）得：
F=3×5-2×7-0=1
2．局部自由度
机构中出现的与输出无关的个别机构的独立运动自由度称为局部自由度。在如图3.12（a）所示的凸轮机构中，滚子本身绕其轴心转动并不影响其他从动件的运动，该转动的自由度即为局部自由度。计算时应先把滚子看成与从动件连成一体的，消除局部自由度后（如图3.12（b）所示），再计算整个机构自由度。
图3.12 局部自由度
3．虚约束
机构中与其他运动副所起的限制作用重复，对机构运动不起新的限制作用的约束，称为虚约束。在计算自由度时应先除去虚约束。
虚约束常在下列场合出现。
（1）运动轨迹相同。当不同构件上两点间的距离保持恒定时，若在两点间加上一个构件和两个转动副，就会引入一个虚约束。如图3.13（a）所示的平行四边形机构中，构件2上的E点与机架上F点的距离保持不变。因此，EF杆（构件5）带入虚约束，计算构件自由度时，按图3.13（b）处理，将构件5和两个转动副视为虚约束而除去不计。
图3.13 平行四边形机构中的虚约束
（2）移动副平行。两构件构成多个移动副且导路互相平行，这时只有一个移动副起约束作用，其余移动副为虚约束，如图3.14所示。
图3.14 导路平行的多个移动副
（3）转动副轴线重合。两构件组成多个转动副且其轴线相互重合，这时只有一个转动副起约束作用，其余转动副为虚约束。如图3.15所示的齿轮机构，A和A'以及B和B'中各有一个虚约束。
图3.15 轴线重合的多个转动副
（4）对称机构。在输入和输出之间用多组完全相同的运动链来传递运动时，只有一组起独立传递运动的作用，而其余各组引入的约束为虚约束。如图3.16所示的行星轮系，为了受力均匀，提高承载能力，安装三个相同的对称分布的行星轮，实际上只要一个行星轮就能满足运动要求，每增加一个行星轮就引入一个虚约束。该机构中：
图3.16 对称机构的虚约束
n=4，PL=4，PH=2，F=3×4-2×4-2=2
虚约束虽不影响机构的运动，但却可以增加机构的刚性，改善受力状况，因而在结构设计中被广泛使用。但是，结构中要实现虚约束必须保证足够的加工和装配精度，否则不满足其特定的几何条件，虚约束就会变成真约束，从而使机构无法正常工作。
例3.3 计算图3.17所示机构的自由度。
图3.17 计算机构自由度
解：机构中的滚子处有一个局部自由度。两个导路平行的移动副，其中之一为虚约束。三杆汇交处是复合铰链。将滚子与顶杆视为一体，去掉虚约束移动副，并注意复合铰链处的转动副的个数，则
n=7，PL=9（7个转动副，2个移动副），PH=1
由式（3-1）得：
F=3n-2PL-PH=3×7-2×9-1=2