环内找方——内接正方形问题

我们很早就在课堂上学过内接多边形的概念，比如我们知道圆必然有一个内接正方形，但你是否考虑过在其他闭合曲线内会不会有内接正方形呢？

你可以做个试验：请你在纸上任意画一条闭合曲线，形状不论，只要求封闭，凹凸也不论，但这条曲线不可以有相交的情况。然后设法在曲线里画一个内接正方形，使正方形的四个顶点都在曲线上，但允许这个正方形超出闭合曲线之外。你会惊奇地发现，似乎总是可以找到四个点，依次连接起来像一个正方形。所以，1911年德国犹太裔数学家奥托·托普列兹提出了这么一个问题：是否每一条若尔当曲线（又称“平面简单闭合曲线”）都有某个内接正方形呢？这被称为“内接正方形问题”。

拓扑学中，若尔当曲线是平面上的非自交环路，即前述构成环的但自身不相交的任意曲线。有一个貌似废话的“若尔当曲线定理”：每一条若尔当曲线都把平面分成一个“内部”区域和一个“外部”区域，且从一个区域到另一个区域的任何道路都必然在某处与环路相交。它由美国数学家奥斯瓦尔德·维布伦在1905年证明。它看似简单得像句废话，但被严格证明花了50多年。其原因主要是闭合曲线的种类太多了，比如分形曲线也需要考虑在内。另外这个定理在球面上成立，但在环面上就不成立（请想象一下救生圈表面的一条简单闭合曲线）。这就说明环面与球面在拓扑中有些本质区别，此为题外话，恕不详述。

而这个内接正方形问题，同样看似简单，但也属于数学家至今仍未彻底解决的问题。目前数学家已经解决的有以下几种类型的曲线：

首先，1913年安洛德·埃姆什证明了“足够光滑”的若尔当曲线是一定有内接正方形的。所谓“光滑”，学过微积分的人会很熟悉，就是曲线在某处“连续且可导”。形象点说，就是沿着曲线走，你不会感觉在某个位置需要停下来转个身才能继续前行；而是可以在移动中，“自然”地沿曲线改变前进方向。

“光滑”也是可以区分程度的。比如，曲线在某个位置有一阶可导，二阶可导以至任意阶可导。一般来说，可导的阶数越多，曲线越光滑。而对于不光滑曲线，同样证明可以用许多光滑曲线逼近，但最终的内接正方形可能收缩为一个点，因此该证明不能完美适用于不光滑曲线。

两年后，1915年，埃姆什证明了分段解析曲线总有内接正方形。解析曲线指可以用“解析函数”描述的曲线。而解析函数指在任何位置无限可微，且泰勒级数收敛于其自身的函数。其包含所有初等函数，比如多项式函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数。也有很多非初等函数是解析函数，比如局部可以用整系数多项式来逼近的函数。

1989，沃尔特·斯多奎斯特（就是本书“三人分蛋糕问题”一章中提到过的斯多奎斯特）证明了局部单调曲线必有内接正方形。局部单调的简单定义是：曲线上任意一点的附近领域内，都可以用一个单调函数描述。局部单调曲线包含所有多边形、凸曲线以及没有尖点、奇点、无限回环的大部分曲线等。总之斯多奎斯特证明了：如果一个曲线足够“友好”（包含所有你可以用“笔”在纸上画出的曲线），那么它就应该有内接正方形。

另外，如果曲线具有“对称”性，就有很多友好的结论了，其中的证明很有意思，特列举若干（以下图片和证明摘自爱达荷大学数学系教授马克·尼尔森的个人网站）。

任何具有对称中心的简单闭合曲线都有内接正边形，这个结论可通过将曲线自身绕对称中心旋转90°证得。如图。

J是关于O点中心对称的简单闭合曲线，则易知，如果P点是J上的任何一点，则-P点（P点坐标乘以-1所得点）也在J上。f(J)是J关于O点旋转90°所得的曲线。此处定义f为：将平面上某点，关于O点顺时针旋转90°的操作。

可以观察到J与f(J)相交于某个点，则易知P，f(P)，-P，-f(P)构成了J的内接正方形。现在只需要证明J与f(J)必相交于一点，这并不难，请见下图：

设Pnear和Pfar分别是J上距离O点最近和最远的点。则：

f(Pnear)到O的距离小于等于J上任何一点到O的距离。

类似，f(Pfar)到O的距离大于等于J上任何一点到O的距离。

因此f(Pnear)在J上或J内；f(Pfar)在J上或J外。

如果以上两者有任何一个在J上，则我们已经证得。

如果以上两者都不在J上，则f(J)必然连接了J上一个内部和一个外部的点，所以f(J)必与J相交！

类似地，还有一个命题：每一条简单闭合曲线有很多内接平行四边形和内接菱形。

事实上，对每条简单闭合曲线和直线L，曲线J总有一个内接菱形，且其两边平行于L。该证明非常有趣，过程如下：

首先，建立坐标系。取L的方向为x轴，因此我们的问题变为证明这个内接菱形有两条边是水平的。

我们使用一种称为“爬山”的证明技巧。设想J是一座“山峰”的侧视图。山峰的最低点是x轴上的某点P，山峰的顶峰在y坐标最大的某点Q。

设想有4个登山者。其中两个从山峰最底端P点开始登山，并且两人是面对面地攀登山峰的两侧。两人约定，“上升高度”总是保持一致，即两人的y坐标总是相等。当然，有时其中一个需要停下来，“等待”另一人赶上来后再一起向上，以保持高度一致。严格证明以上爬山过程的可行性有点复杂，但直觉上我们可以相信，这是可行的。

另有两个登山者从山峰Q点开始下山。两人同样是面对面且从山峰两侧下山。下山过程中，两人保持高度一致。

接下来，我们需要四个登山者一起配合！他们四个约定：保持登山的两人之间的水平距离与下山的两人之间的水平距离时刻相等。当然过程中，某组的两人可能需要“折返”一定高度，以保证达到以上要求，但是稍加思索，会发现此要求是可以达成的。

因此，这四个登山者始终构成一个平行四边形，且总有两条边平行于L。这个平行四边形开始时形状是非常“瘦长”的，但最终其形状会变得“又矮又胖”（当同一侧的登山者和下山者快相遇时）。而在这个过程中，这个平行四边形必然在某个时刻是菱形！

还有一些与“内接正方形问题”相关的命题已经得到了证明，证明过程从略，证明结论供大家思考：

每一条简单闭合曲线必有至少一个内接矩形。

给定任意三角形，每一条简单闭合曲线必有至少一个内接三角形，且与给定三角形相似。

以上命题还可以扩展至三维：三维空间内的简单闭合曲线必有一个内接三角形，与给定三角形相似。

以上就是我们知道的一些结论，总之现在已经非常接近目标了，只要曲线是“友好”的，比如足够光滑或有对称性就能找到内接正方形，但不能覆盖所有曲线。

有关内接正方形问题的推广形式，有一个简单的结论，给定一个n边形P，n≥5，则很容易找到一条简单闭合曲线，使得它没有一个相似于P的内接n边形。但如果取消“相似”要求，仅要求每一边长度，依次与原多边形对应边的比相等，则总可以找到这样的内接n边形。

思考题

大老李陪你一起“玩”

1.请找到一条简单闭合曲线，使其有且仅有一个内接正方形。

2.用尺规作图法，找出一个三角形的内接正方形。

3.任何简单闭合曲线都有外接正方形吗？