前言
边玩边学 学习老师没教的好玩的数学

大家好，我是“大老李”。我在“喜马拉雅FM”发布第一条声音时，万万没想到居然还能以书面形式跟大家“玩”数学。原本想继续用“聊”数学这个标题，但是编辑劝我用了“玩”这个字。起初我还有点犹豫，怕自己写的东西不好玩。但后来我想到英语里“玩”就是“play”，“play”这个词又可以用在诸如足球、乐器这些文体活动上，而对我来说，数学就像是一种文体爱好，所以用“玩”是再恰当不过了。很多人心目中的数学与“玩”联系不起来，他们想到数学多是先想到一些枯燥的公式和习题。我从小数学成绩就比较好，经常有人问我是怎么学数学的，学得不累吗？我那时就有点不知如何作答，因为确实是不累啊。

首先，数学是不用“背”的学科。小时候，我尤其讨厌那些需要大量时间背诵的科目，而数学从来没有让我感觉有“背”的需要，除了“九九乘法表”和初中学习三角函数时期的“积化和差/和差化积”公式是需要下点功夫“背”的。但前者在小学低年级就可以背熟了，因为那时是把“九九乘法表”当成儿歌背诵的，完全不觉得痛苦。后者确实需要花点时间背诵，但是这些公式之间是有相似性的，因此是有记忆技巧的。我的一个诀窍是，在考试开始时就把这些公式全部默写在草稿纸上，这样在后续的考试时间里我就不用担心了，因为我等于是把“参考书”默写出来了。而随着学习的深入，当这些公式不再是考试内容时，我又不用“背”了。

总之，数学从来没有让我感觉有记忆上的痛苦。上数学课的时候，我似乎不是在学，而是等老师“帮”我把一些“顺理成章”的道理从大脑里“挖掘”出来。我心里经常出现的声音是：“啊，就应该这样”，“对，如果是我也会这样做”。如果你也有这种感觉，那你学数学是绝对不会感到累的。

其次，数学不但没有背诵压力，学起来轻松，而且确实是一门可以“玩”起来的学科。比如，在学习圆面积公式的证明时，我确确实实是找来一张纸，照着课本上的形状完整地剪了一遍。

在数学考试时，我尤其喜欢做“应用题”，因为对于我来说应用题就像是一道道谜题，解出来会特别有成就感。所以我在本书中，也很喜欢用应用题来说明问题，比如“三人分蛋糕”问题。

可惜的是，随着数学考试难度的提高，出题人在试卷中提出合适的应用题就越来越难。所以在中学之后的数学考试里，应用题也越来越少，倒是需要去物理试卷里找数学应用题了。不过物理试卷中的应用题，从计算手榴弹飞出的距离到计算卫星的公转周期，这些不也是证明了数学很好玩吗？

最后，学数学不但好玩，而且零成本！要知道现在很多兴趣爱好都很浪费钱财，俗语云：“玩××穷三代”，但是“玩数学零负担”！对数学爱好者来说，一支笔一张纸就足够了。如果你会一点编程的技能，则更是锦上添花。这么省钱又易操作的爱好，何乐而不为？

读到这里，你可能会说：数学，我“玩”不出乐趣啊！那这就是你需要看这本书的理由了，数学里面有很多好玩的内容是老师不教的，但这不能怪老师，因为他们毕竟要以应付各类考试为主，而这本书所要讲的更多是一种数学思维。

市面上的数学科普书，除去仅供中小学生看的那种“教辅”和“竞赛”方向的，大概分两种：一种是偏向“历史”的，比如论述某个问题的来龙去脉或某个定理前赴后继的证明过程；另一种是偏向“技术”的，就是针对某一具体数学分支（比如概率、几何、函数等）中的问题的深度剖析。

前者读起来是很有趣味的，可惜对具体的技术问题着墨不多，即使看过也很难对问题本身有深入的理解。当然，这主要是因为那些问题确实是数学里非常高深的问题，比如费马大定理、黎曼假设等。这些问题很难用浅显的语言让一般爱好者感受到问题本身的乐趣。而“技术”方向的科普书，往往又太过偏重“应试”，趣味性不足，让人难以坚持下去。

我写这本《老师没教的数学》，则是希望在以上两种数学科普书中，找到一个折中点。一方面，尽量保持趣味性，多出一些大家喜闻乐见的“应用题”；另一方面，对于有深度和难度的问题，多方发掘它们所有的背景资料，找出有意思的方面介绍出来，使得有兴趣的读者可以有深入阅读的愿望，并方便他们找到可自行研究的入口。

在每一节的最后，我也出一些所谓的“思考题”。这些题与每一节的主题是有所关联的，而且部分题目的答案是开放性的，我也不知道具体答案，是可供读者继续思考和“玩”的题。欢迎你关注我的微信公众号（dalaoli_shuxue），或者发送电子邮件（dalaoliliaoshuxue@gmail.com）跟我聊聊你对这些题的感想，也希望你喜欢这些题。总之，如果你能在这些题中找到“玩”的感觉，那么我的目的就达到了。

这本书中的很多话题也许是你在其他书籍或网络文章中看到过的，但我可以确保你从本书中了解到的是有关此问题的（成书时）最新研究成果，绝不是老生常谈或浅尝辄止。另外，我也尽量配一些有意思的图片来帮助你理解问题。

有种说法是：“数学书中每增加一个公式，图书销量就会减少一半”，本书仍不可避免地会有些公式。但书中的绝大多数公式是中学生能看懂的，而且针对每个公式我也尽量配合具体文字进行说明，让你看得不累，最终使你能欣赏公式之美，喜欢公式，甚至能够“玩”公式。

最后，我要感谢电子工业出版社，使得本书得以出版。感谢互联网上无偿分享、为我提供众多写作素材的网站和博主，特别是：维基百科，Numberphile@YouTube，mathworld.wolfram.com，quantamagazine.org和John D.Cook。

还要感谢我的太太为我绘制了书中的所有插图。因本书属于科普性质，具体数学问题的描述难免有不精当之处，万望读者指正并谅解。

希望你在数学大海中“玩”得开心！