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“完美立方体”存在吗？

世界上有“完美立方体”吗？这里的完美立方体不是正方体，而是一个有特别性质的立方体，它与“勾股定理”十分相关。学过“勾股定理”的人应该对这一组数字不陌生：5，12，13，看到它们你应该马上能说出它们的关系：

52+122=132

我们把符合以上勾股定理（又名“毕达哥拉斯定理”）的三个自然数，称为“毕达哥拉斯三元组”，而把三个数互质的那些数称为“本原毕达哥拉斯三元组”，意思是它们是最基本的。你知道如何找出所有“本原毕达哥拉斯三元组”吗？古希腊人就发现了如下公式。

设m>n，m和n均是正整数，取：

a=m2-n2

b=2mn

c=m2+n2

把所有可能的m、n组合带入上式，就能得到全部“本原毕达哥拉斯三元组”。有意思的是，有些自然数会重复出现在不同的三元组中，比如（20，21，29）与（20，99，101），由此才有了如下发现。

话说在1719年，一个叫保罗·哈尔克的会计发现了三个数字：44，117，240。如果从这三个数中任取两个，求平方和，结果仍旧是一个完全平方数。

442+1172=1252

1172+2402=2672

2402+442=2442

因此这三个数中的任何两个都可以作为整数直角三角形的直角边。如果你把这三个数作为一个长方体的三条边长，你会发现这个长方体不但所有边长是整数，所有面对角线的长度也是整数。

欧拉后来专门研究了一下，怎样的三个数才能形成这种关系。他还找到了至少2组“参数化公式”，其中一组如下：

a=2mn(3m2-n2)(3n2-m2)

b=8mn(m2-n2)(m2+n2)

c=(m2-n2)(m2-4mn+n2)(m2+4mn+n2)

比如，将m=2和n=1代入以上公式，即可得出（44，240，117）这组数。因为欧拉的研究，后来人们把这种数组称为“欧拉砖数”。与欧拉差不多同时代的桑德森发现一组形式更简单的、基于毕达哥拉斯三元组的参数化推导公式：

假设(u，v，w)是一组毕达哥拉斯三元组，则：

(|u（4v2-w2)|，|v(4u2-w2)|，4uvw)

必为欧拉砖数。

但有趣却也十分意外的是，无论是欧拉还是桑德森的公式，都无法包含所有欧拉砖数，总有些欧拉砖数是漏网之鱼。更何况本原欧拉砖数（三个数互质）并不多，边长1000以内的只有5组，10000以内也仅有19组，这提示我们欧拉砖数不简单！

以下是已知的“本原欧拉砖数”的性质：

必有一条边为奇数，两条边为偶数。

至少两边被3整除。

至少两边被4整除。

至少一边被11整除。

任一本原欧拉砖数(a，b，c)都可以产生一组延伸欧拉砖数(ab，ac，bc)。

欧拉砖数已经够难找了，完美立方体在此基础上更进一步：有没有哪块欧拉砖的体对角线也是整数？即能否找到某组欧拉砖数，使得a2+b2+c2仍是完全平方数？虽然看上去只多了一个条件，但我们至今都没有找到完美立方体！我们知道的是，如果它存在，必须满足以下诸多性质：

一条边、两条面对角线和体对角线必为奇数。另一条边和余下的那条面对角线必须被4整除。最后的那条边必须被16整除。

两条边必须被3整除，且其中至少一边被9整除。

一条边必须被5整除。

一条边必须被7整除。

一条边必须被11整除。

一条边必须被19整除。

一条边或体对角线必须被13整除。

一条边或面对角线或体对角线必须被17整除。

一条边或面对角线或体对角线必须被29整除。

一条边或面对角线或体对角线必须被37整除。

体对角线不能是一个素数的幂次或两个素数相乘。

人们已经用电脑搜索最短边至少是1010，或奇数边至少是2.5×1013，在此范围内没有找到完美立方体。令人十分遗憾的是，有些结果是如此接近“完美”，比如下面这组数可以使体对角线和两条面对角线是整数，但可惜另一条不是：(672，153，104)。

人们也找到过所有对角线和两条边都是整数，但有一条边不是整数的情况，比如：(18720，，7800)和(520，576，)。

还有一个打击来自1972年，斯波恩证明：从桑德森公式导出的欧拉砖中不可能有完美立方体。这等于断绝了从毕达哥拉斯三元组向完美立方体的进攻路线。也有证明称：欧拉的参数化公式最多只能产生有限多组完美立方体，但上限多少还未可知。

2009年，有人发现了“完美平行六面体”（所有面都是平行四边形的六面体），其三条边最小的长度是271、106、103，其二十四条面对角线和四条体对角线全是整数。

而根据统计，完美平行六面体居然比欧拉砖还多，而且还找到了有四个面是矩形，另两个面是平行四边形但不是矩形的完美平行六面体。总结以上情况就是：“完美立方体问题”中有几个需要同时满足的条件：

1.长、宽、高的边长全是整数。

2.每条对角线的长度都是整数。

3.同一顶点相交的三个面的形状都是矩形。

如果任取其中两个条件，都可以找到满足条件的实例，就是无法达到“完美”。

数学家的研究表明，完美立方体问题是数论中最艰深的问题之一。从提出到现在约300年，目前看起来被解决仍遥遥无期。人类用了358年才解决费马大定理，解决完美立方体问题是否需要更长时间呢？

思考题

大老李陪你一起“玩”

1.利用欧拉或桑德森的公式，找出其他一些本原欧拉砖数。

2.方程x2+y2=z3是否存在正整数解？若存在，是否存在参数解？当然，我们关心的是x、y、z互质的情况。