2.5 利用矩阵解线性方程组

可将一般的线性方程组使用矩阵形式表示，利用矩阵运算及函数可以很容易解决线性齐次、非齐次方程的有解、无解、无穷多解等问题。

2.5.1 线性方程组的唯一解

线性方程组的矩阵形式为AX=b（A为系数矩阵，b为常数项列向量，X为未知数列向量），其唯一解为X=A−1b。

2.5.2 齐次线性方程组的通解

齐次线性方程组矩阵形式：AX=0。

格式：Z=null（A，′r′）%Z的列向量是方程AX=0的有理基础解系

【例2-18】 求方程组的通解。

解：求基础解系的程序如下：

运行结果如下：

通解表示的程序如下：

运行结果如下：

2.5.3 非齐次线性方程组的通解

对于非齐次线性方程组，需要先判断方程组是否有解，若有解，则再求通解。其步骤如下：

1）判断AX=b是否有解，若有解则进行第2）步。

2）求AX=b的一个特解。

3）求AX=0的通解。

4）AX=b的通解=“AX=0”的通解+“AX=b”的一个特解。

【例2-19】 求方程组的解。

解：在MATLAB中建立M文件如下：

运行结果如下：

说明该方程组无解。

【例2-20】 求方程组的通解。

解：在MATLAB中建立M文件如下：

运行结果如下：

所以原方程组的通解为：

2.5.4 超定方程组

超定方程组是指方程的个数大于未知数的个数的线性方程组，通常无精确解，但存在近似的最小二乘解。其解法不需要检查系数矩阵的秩是否小于行数、列数，而直接利用广义逆矩阵函数pinv（）计算即可。

格式：X=pinv（A）*b %A为超定方程组的系数矩阵，b为常数项列向量

【例2-21】 求方程组的解。

解：在Matlab中建立M文件如下：

运行结果如下：