3.2 平顺性分析

车身振动加速度是评价汽车平顺性的主要指标，另外悬架的动挠度δ_d与其限位行程[δ_d]配合不当时，会经常撞击限位块，使平顺性变坏，而车轮与路面间的动载F_d影响车轮与路面的附着效果，影响操纵稳定性。因此，在进行平顺性分析时，要在路面随机输入的情况下，对汽车振动系统这三个振动响应量，即车身振动加速度、悬架动挠度δ_d和车轮动载荷F_d进行分析计算，以综合选择悬架系统的设计参数。

3.2.1 系统响应量的功率谱密度和均方根值

对于所讨论的汽车振动系统，路面只经一个车轮对系统输入并假设路面不平度函数为平稳随机过程，则线性系统平稳随机激励下的振动响应x包括车身振动加速度、悬架动挠度δ_d和车轮动载荷F_d三个振动响应量，它们的功率谱密度G_x（f）与路面输入量的功率谱密度G_q（f）的关系可统一表示为

G_x（f）=H（f）x_-q^{2 G}q（f）（3-28）

式中，为频率（Hz）；H（f）x_-q即为幅频特性H（ω）x_-qω=2πf，下标x代表三个振动响应量、δd和F_d。由于车身振动加速度、悬架动挠度δ_d和车轮动载荷F_d三个振动响应量取正、负值的概率相同，所以其均值近似为零。因此，这些振动响应量的统计特征值——方差等于均方值。均方值可由其功率谱密度对频率积分求得，即

式中，σ_x为振动响应量的标准差，当均值为零时，它就等于均方根值。

进行平顺性分析时，通常根据路面不平度系数与车速共同确定的路面输入谱G_q（f）和由汽车悬架系统参数确定的频率响应函数H（f）x_-q，按式（3-28）和式（3-29）计算振动响应量的功率谱G_x（f）和均方根值σ_x。由此可以分析悬架系统参数对振动响应的影响，反过来也可根据汽车平顺性评价指标来优化悬架系统设计参数。

路面输入除了利用式（3-29）中的位移谱G_q（f），还可以用速度谱或加速度谱与相应的幅频特性或的平方相乘，同样可以得到振动响应量的功率G_x（f）。

路面统计分析结果表明，路面速度功率谱在整个频率范围内为一常数，即“白噪声”，且常数只与路面不平度系数和车速有关，而与频率无关，即恒为某个常数，这给平顺性计算分析带来极大方便。用作为输入谱代入式（3-28）并两边开方，得到输入与响应输出量均方根值谱之间的关系为

因为为常数，即，因此由式（3-30）可知，振动响应量的均方根值谱与响应量x对速度输入q·的幅频特性的图形完全相同，只差某常数倍。所以，完全可以用响应量对速度输入的幅频特性来定性分析响应量的均方根值谱，为车轮行驶平顺性和安全性分析提供了方便。

3.2.2 单质量系统的车辆平顺性分析

1.单质量系统振动响应量的幅频特性

（1）车身振动加速度对的幅频特性由定义可知，单质量车身振动加速度对的幅频特性为

式中，Z（ω）为单质量车身振动响应位移z（t）的傅里叶变换；Q（ω）为路面激励位移q（t）的傅里叶变换。

由于，所以单质量车身振动加速度对q·的幅频特性可化为

图3-5所示为两种不同固有频率ω_n和阻尼比ξ情况下的车身振动加速度对的幅频特性曲线。由曲线可以看出，随固有频率p₀的提高，在共振段和高频段都成正比例提高。在共振时，激振频率ω等于系统圆频率p₀，将ω=p₀的代入式（3_-31），可得

图3-5 单质量系统的对特性曲线

由此可知在共振点，的均方根值谱与固有圆频率ω_n成正比；在共振段，阻尼比ξ增大，减小；在高频段，ξ增大，也增大，故ξ对共振段与高频段的效果相反。综合考虑，取单质量悬架系统的阻尼比ξ为0.2～0.4比较合适。

（2）车轮相对动载w_d对的幅频特性车轮与路面间的动载F_d与车轮作用于路面的静载G之比值F_d/G，称为相对动载w_d。因此，单质量系统的车轮相对动载w_d，可表示为

当相对动载w_d＞1时，车轮会跳离地面而完全失去附着，严重影响汽车的操纵稳定性和行驶安全性。

可见，单质量系统的车轮相对动载w_d对的幅频特性，与对的幅频特性只相差系数1/g，其中g为重力加速度，即

即

图3-6 限位行程示意图

因此，单质量系统固有频率ω_n和阻尼比ξ对车轮相对动载的影响与上面讨论的完全一样，在此不再赘述。

（3）悬架动挠度δ_d对的幅频特性如图3-6所示，由车身平衡位置起，悬架允许的最大压缩行程就是其限位行程δ_d，动挠度δ_d必与限位行程[δ_d]应适当配合，否则会增加行驶中撞击限位的概率，使平顺性变坏。由图3-6可知，动挠度δ_d=z-q，所以动挠度δ_d对路面位移激励q的频率响应函数为

即

单轮响应的频响函数为

将式（3-37）代入式（3-36）得

因此，动挠度δ_d对路面位移激励q的幅频特性为

动挠度δ_d对路面位移激励q的幅频特性曲线如图3-7所示。

图3-7 δ_d对q的幅频特性曲线

由图3-7和式（3-39）可知：

1）在低频段，当λ＜＜1时，λ²对输入位移起衰减作用。

2）在高频段，当λ＞＞1时，1，此时，车身位移z→0，即悬架变形与路面输入趋于相等。

3）在共振段，当λ→1时，，阻尼比对只在共振段起作用，而且当ξ=0.5时，已不呈现峰值。

因为路面激励速度的傅里叶变换（ω），因此，动挠度δ_d对路面激励速度的幅频特性应为

即

动挠度δ_d对路面激励速度的幅频特性曲线如图3-8所示。图中给出了两种不同固有频率和阻尼比ξ情况下的幅频特性曲线。

由图3-8曲线可以看出，随着固有频率p₀的提高，幅频特性曲线在共振段和低频段均与p₀成正比例下降。

在共振时，激励频率ω等于悬架系统固有圆频率p₀，即ω=p₀，由式（3-39）和式（3_-40）可得

图3-8 δ_d对的幅频特性曲线

所以，共振点上δ_d的均方根值谱与悬架系统的固有频率p₀和阻尼比ξ成反比，即共振点的动挠度随悬架弹簧刚度和减振器阻尼的增加而降低。

2.单质量系统振动响应量的功率谱与均方根值

当确定了路面不平度系数G_q（n₀）和车速v之后，根据随机振动理论，可计算求得路面激励速度的功率谱密度

，即

按式（3-31）、式（3-34）、式（3-40）和悬架系统具体参数，求出单质量系统的车身振动加速度、车轮动载荷w_d和悬架动挠度δ_d对路面激励速度的幅频特性，然后将式（3-42）代入式（3-28），便求得单质量系统车身振动加速度、车轮相对动载荷（f）和悬架动挠度的功率谱密度，它们分别为

由于这三个振动响应量的均值为零，所以它们的方差都等于各自的均方值，而均方值可由其功率谱密度对频率积分式（3-29）求得。因此，将式（3-43）、式（3-44）和式（3_-45）代入式（3-29），可求得单质量系统的振动响应量车身振动加速度、车轮相对动载荷w_d和悬架动挠度δ_d的均方值，分别为

式中，为单质量车身振动加速度的标准差；σ_wd为车轮相对动载w_d的标准差；σ_δd为悬架动挠度δ_d的标准差。

由于式（3-46）～式（3-48）中的幅频特性表达式相当复杂，一般难以用解析的方法直接进行积分，因此在工程上常采用数值积分的方法，即等间隔取N个离散频率值，频带宽度为Δf，因此，式（3-46）～式（3-48），可分别变为

3.单质量系统参数对平顺性的影响及选择

由以上分析可知，降低固有频率f₀，可明显降低车身振动加速度，即改善车辆行驶平顺性。但是，随着固有频率f₀的降低，动挠度δ_d增大，因此，动挠度限位行程[δ_d]势必要随着固有频率f₀的降低而增大，而车辆的动挠度限位行程[δ_d]是受到结构布置的限制的。对应给定车辆固有频率f₀的情况下，降低阻尼比ξ，即减小悬架系统的阻尼系数c_s，也可以提高车辆的舒适性，但是随着阻尼比ξ的降低，车辆动挠度将有所增加，同时，车轮相对动载将增加，从而使得车辆的行驶安全性降低。目前，车辆悬架系统固有频率f₀、静挠度δ_s、限位行程[δ_d]和阻尼比ξ的实用选择范围见表3-2所示。

表3-2 悬架系统f₀、δ_s、[δ_d]和ξ的选择范围

轿车舒适性要求比较高，而行驶路面也比货车和越野车的行驶路面相对较好，悬架动挠度δ_d引起的撞击限位的概率也很小，因此，轿车车身部分的固有频率可选择较低，以减小车身加速度，一般车身固有频率f₀选择范围为1.0～1.5Hz。反之，货车和越野车由于行驶路面较差，为了减小悬架动挠度δ_d撞击限位的概率，车身固有频率f₀选择偏高些，一般为1.5～2.0Hz。在固有频率f₀比较低、行驶路面较差的情况下，动挠度会相当大，这时应选择偏大的阻尼比ξ，以降低撞击限位的概率。

3.2.3 双质量系统模型的车辆平顺性分析

1.双质量系统振动响应量的幅频特性

（1）车身振动加速度对的幅频特性 车身振动加速度对的幅频特性为

车身m₂的振动响应z₂对路面激励位移q的幅频特性为

式中，；λ为频率比，λ=ω/p₀；p₀为悬架固有圆频率，；r_k为刚度比，r_k=k_t/k；r_m为质量比，r_m=m₂/m₁。

将式（3-53）代入式（3-52），可得车身振动加速度对的幅频特性应为

（2）相对动载F_d/G对的幅频特性

1）车轮动载为：F_d=k_t（z₁-q）。

2）车轮静载为：G=（m₂+m₁）g=m₁（r_m+1）g。

3）相对动载为：。

因此，相对动载w_d对路面激励位移q的频率响应函数为

车轮响应z₁对路面激励位移q的频率响应函数为

式中，A₁=jωc+k=k（1+2jξλ）；A₂=k-ω²m₂+jωc=k（1-λ²+2jξλ）；A₃=k+k_t-ω²m₁+jωc；N=A₃A₂-A²₁。

因此，车轮响应z₁对路面激励位移q的幅频特性为

将式（3-56）代入式（3-55），可得相对动载w_d对路面激励位移q的频率响应函数为

根据H（ω）_wd-q，可得到相对动载w_d对路面激励速度的频率响应函数，即

即

所以，车轮相对动载w_d对路面激励速度的幅频特性为

（3）悬架动挠度δ_d对的幅频特性 悬架动挠度δ_d对路面激励位移q的频率响应函数为

即

将式（3-56）和式（3-53）代入式（3-62），可得悬架动挠度δ_d对路面激励位移q的频率响应函数为

即

因此，悬架动挠度δ_d对路面激励速度的频率响应函数为

所以，悬架动挠度δ_d对路面激励速度的幅频特性为

2.双质量系统振动响应量的功率谱与均方根值

同理，根据单质量系统振动响应量的功率谱和均方根值的求解方法，可求得双质量系统振动响应量的功率谱与均方根值。具体计算过程为，按式（3-54）、式（3-61）、式（3-64）和悬架系统具体参数，求出振动响应量车身振动加速度、车轮动载荷w_d和悬架动挠度δ_d对路面激励速度的幅频特性，然后将由路面不平度系数G_q（n₀）和车速v所求得的路面激励速度的功率谱密度，代入式（3-28）便求得车身振动加速度、车轮相对动载荷和悬架动挠度的功率谱密度，它们分别为

即

即

即

将式（3-65）～式（3-67）代入式（3-29），可求得振动响应量车身振动加速度、车轮相对动载荷w_d和悬架动挠度δ_d的均方值，分别为

式中，为车身振动加速度的标准差，均值为零时等于均方根值；为车轮相对动载w_d的标准差；为悬架动挠度δ_d的标准差。

下面以振动加速度为例，计算汽车以速度v行驶时车身振动加速度的均方值。

将路面功率谱密度式（3-65）代入式（3-68），可得车身振动加速度的均方值为

由上式可以看出，当由系统参数所确定的车身振动加速度对路面激励速度的幅频特性一定时，车身m₂垂直振动响应加速度的均方值与路面不平度系数G_q（n₀）以及车速v成正比。因此，不同路面的不平度系数和车速下的均方值，可以按G_q（n₀）和v数值变化的比例推算得出。

3.2.4 双质量系统参数的车辆平顺性影响分析

为了分析双质量系统车身部分固有频率f₀、悬架阻尼比ξ、刚度比r_k和质量比r_m这四个参数对振动系统响应车身振动加速度、悬架动挠度δ_d和车辆相对动载F_d的影响，采用上述数值积分的方法，在B级路面、车速v=20m/s的情况下，对车身振动加速度、悬架动挠度δ_d和车辆相对动载w_d对路面激励速度的幅频特性和均方根值分别进行了计算。分析系统时的参数取值见表3-3。

表3-3 分析系统时的参数取值

1.车身固有频率f₀的影响分析

图3-9a、b、c所示为车身部分固有频率f₀分别为0.5Hz、1.0Hz、2.0Hz三种不同值（此时所对应的车轮部分的固有频率f_t=10f₀，相应分别为5Hz、10Hz和20Hz）、车轮阻尼比ξ_t=0.25为常数且其他参数保持不变时，车身振动加速度、悬架动挠度δ_d和车辆相对动载w_d对路面激励速度的幅频特性曲线。振动响应量的均方根值随固有频率f₀变化的曲线如图3-9d所示。

由图3-9可知，随着固有频率f₀的增加，车身振动加速度和车辆相对动载w_d对路面激励速度的幅频特性，沿着斜率为+1的方向向右上方平移，而悬架动挠度δ_d路面激励速度的幅频特性沿着斜率为-1的方向向右下方平移。三个振动响应量的均方根值随着固有频率f₀的变化曲线如图3-9d所示。这表明，三个振动响应量对系统固有频率的变化是很敏感的。

图3-9 固有频率f₀对响应量的影响

2.车身阻尼比ξ的影响分析

图3-10a、b、c所示为车身部分阻尼比ξ分别为0.125、0.25、0.5三种不同值，其他参数f₀=1.0Hz、质量比r_m=10、刚度比r_k=9.0保持不变时，车身振动加速度、悬架动挠度δ_d、车辆相对动载w_d对路面激励速度的幅频特性曲线。此时，车轮部分的固有频率f_t=10Hz，ξ_t=ξ。振动响应量的均方根值随阻尼比的变化曲线，如图3-10d所示。

由图3-10可知，随着阻尼比ξ的增大，在低频共振区范围内的幅频特性、的峰值均下降；而在低频和高频两个峰值之间，幅频特性、的幅值都增大；在高频共振区，的幅值变化很小，而的幅值有明显的下降。当阻尼比ξ增大时，动挠度δ_d的幅频特性在高频和低频两个共振区均显著下降，而在两个共振峰值之间变化比较小。

图3-10 车身阻尼比ξ对响应量的影响

3.车身与车轮质量比r_m的影响分析

图3-11a、b、c所示为车身与车轮质量比r_m分别为5.0、10、20三种不同值，其他参数固有频率f₀、阻尼比ξ、刚度比r_k均保持不变时，车身振动加速度、悬架动挠度δ_d、车辆相对动载w_d对路面激励速度的幅频特性曲线。

由图3-11a、b、c可知，当车身质量m₂一定时，质量比r_m改变相当于车轮部分质量m₁改变，则影响车轮部分的固有频率f_t和阻尼比ξ_t。r_m增大，相当于减小m₁，由车轮部分固有频率f_t和阻尼比ξ_t的计算公式可知，此时，f_t和ξ_t均提高，从而使三个响应量的幅频特性的高频共振峰值向高频方向移动，而峰值降低。由图3-11d中质量比r_m对车身振动加速度、悬架动挠度δ_d、车辆相对动载w_d三个响应量均方根值的关系曲线可以看出，质量比r_m增大，车身振动加速度均方根值和车轮动挠度均方根值σ_δd略有减小，主要是车轮相对动载的均方根值σ_wd变化较大。

图3-11 车身与车轮质量比r_m对响应量的影响

4.悬架与轮胎刚度比r_k的影响分析

图3-12a、b、c所示为悬架与车轮刚度比r_k分别为4.5、9.0、18三种不同值，其他参数固有频率f₀、阻尼比ξ、刚度比r_k均保持不变时，车身振动加速度、悬架动挠度δ_d、车轮相对动载w_d对路面激励速度的幅频特性曲线。此时，悬架与车轮刚度比r_k增大，相当于悬架刚度k不变而轮胎刚度增大，从而使车轮部分系统参数变化，即车轮部分固有频率f_t提高，而阻尼比ξ_t下降，从而引起系统三个振动响应量的幅频特性高频共振峰值向右移动，且峰值提高。

其中，车轮相对动载w_d对路面激励速度的幅频特性变化最大，车身振动加速度对路面激励速度的幅频特性次之，而悬架动挠度δ_d的幅频特性的变化最小。

由图3-12d可知，悬架与车轮刚度比r_k对车轮相对动载w_d影响比较大，当刚度比r_k减小时，车轮相对动载降低，这表明，采用软的轮胎可改善平顺性，尤其是可以改善车轮的附着性能，提高车辆行驶安全性。

图3-12 悬架与轮胎刚度比r_k对响应量的影响