4.1 节流阀片在均布压力下的变形量解析计算
4.1.1 阀片变形量曲面微分方程及其解
汽车减振器节流阀片为圆环形弹性阀片，内半径ra是固定约束，外半径rb是自由约束，节流阀片在载荷p作用下将产生变形。根据阀片的结构和受力特点，所建立的阀片力学模型如图4-1所示。
为了讨论方便，在以下的讨论中用r及θ分别替代第2章中的ρ及φ，用f代替w。
节流阀片的结构和受力均是对称的，因此，可以节流阀片圆心为极点建立极坐标系。边界是绕z轴对称的，这样载荷和变形量只是半径r的函数。由于减振器开阀压力比较小，节流阀片大多时间处于小挠度变形状态，根据第3章中式（3-26），可建立节流阀片变形曲面微分方程为
图4-1 节流阀片力学模型
式中，常数
；r为极半径，r∈[ra，rb]；f为阀片在半径r处的变形量，它是位置半径r的函数；h为阀片厚度；E为阀片弹性模量；μ为阀片材料泊松比。
对于厚度为h、弹性模量为E、泊松比为μ的给定阀片，D为常数。根据式（3-28），微分方程[式（4-1）]的通解可表示为
fr=C1lnr+C2r2lnr+C3r2+C4+f* （4-2）
式中，f*为方程特解，C1、C2、C3和C4为方程解的常数，由阀片边界条件决定。
由于微分方程中的D和p均与半径r无关，因此设微分方程的特解为f*=Br4，并将其代入常微分方程，得
，因此，
。当然，f*也可以根据第3章中式（3-29）求得。
阀片内圆是固定约束，外圆是自由约束，环形阀片边界条件可表示为
内圆：
外圆：
利用上述阀片4个边界条件，可确定方程解中4个待定常数C1、C2、C3和C4。将所求微分方程解的常数C1、C2、C3和C4代入阀片变形微分方程的通解，便可以得到节流阀片在半径r处的变形量解析表达式，即
式（4-3）即节流阀片的变形曲面方程。利用此方程可以求得在给定压力下，阀片在任意位置半径r∈[ra，rb]处的变形量。
需要说明的是，在轴对称弯曲情况下，根据第3章中式（3-25）可知，横向剪力FSθ=0，且Mrθ=Mθr=0，因此，在建立边界条件及连续性条件时不再利用它们建立方程。
4.1.2 阀片变形系数Gr
由上述对节流阀片变形量的分析计算可知，利用所求得的阀片变形方程，可以求得在位置半径r处的变形量。但是由于方程解的解析表达式非常复杂，并且还是一个关于半径r的函数表达式，故很难满足阀片设计要求。
在对减振器节流阀片设计时，阀片的内半径ra、外半径rb、阀口半径rk和材料弹性模量E是确定的，需要设计的主要参数是阀片厚度h。
对阀片变形方程的通解分析发现，解的各项常数都含有一个公因子p/h3。对通解进行恒等变换，将各项都化为关于p/h3的表达式，而将阀片的内径ra、外径rb、弹性模量E和泊松比μ以及变形位置半径r都归到一个系数Gr。
根据上述分析，对节流阀片变形方程通解进行恒等变换，则阀片在位置半径r处的变形表达式（4-3）可表示为
令Gr=KC1lnr+KC2r2lnr+KC3r2+KC4+KBr4，则式（4-4）可简洁地表示为
式中，Gr为所定义的阀片在半径r处的变形系数，即阀片变形“长城”系数（是由周长城教授用自己的名字命名的）。
由式（4-4）可知，阀片变形“长城”系数Gr中的各项系数KC1、KC2、KC3、KC4和KB是分别由变形方程解的常数C1、C2、C3、C4和B，在不考虑公因子p/h3的情况下计算求得的。例如，某减振器节流阀片的变形“长城系数”随半径变化的曲线，如图4-2所示。
由图4-2可知，阀片变形“长城”系数Gr与阀片厚度无关，只与阀片的内半径、外半径以及阀片材料的物理特性有关。因此，阀片弯曲变形系数的物理意义是单位阀片厚度h，在单位压力p作用下，在半径r处的弯曲变形能力，其单位为m6/N或mm6/N。
图4-2 阀片变形系数Gr随半径r变换曲线
4.1.3 阀片变形解析计算实例与仿真验证
1.计算实例
因此，在给定压力下可求得阀片在任意半径r处弯曲变形量fr，可利用式（4-5）进行解析计算。例如，某节流阀片的内半径ra=5.0mm，外半径rb=8.5mm，厚度h=0.3mm，弹性模型E=200GPa，泊松比μ=0.3，在均布压力p=3.0MPa作用下，阀片变形解析计算的结果如图4-3所示。其中，阀片最大变形量解析计算值为0.1248mm。
2.ANSYS验证
对上述阀片利用ANSYS进行建模，网格划分单位为0.1mm，在施加相同压力情况下，节流阀片变形的仿真结果如图4-4所示。其中，阀片最大变形量仿真值为0.126mm。
图4-3 阀片弯曲变形曲线
由ANSYS仿真结果可知，解析计算方法与ANSYS的相对偏差仅为0.9524%，接近于有限元分析软件的数值仿真结果，并且比有限元分析软件（ANSYS）还要精确，这表明所建立的减振器节流阀片变形量解析计算公式是正确的。
图4-4 节流阀片变形ANSYS仿真结果