第一节 代数、数论和组合论

四川数论研究从1936年起，50年来研究工作未曾间断。在不定方程、二次型方面最为集中，形成国内的研究中心。1956—1985年全国发表的这一领域的论文中90%以上是四川作者完成的，计有100多篇。20世纪70年代以来，在数论应用方面有显著进展，在涉及计算机快速算法的数论变换理论以及数论在编码和密码学中的应用方面，都有重要的成果。

四川是国内开展组合论研究最早的地区之一。20世纪70年代以来，柯召和魏万迪等深入开展了一系列的研究，使四川的组合论研究迅速进入国内先进水平。

代数研究在20世纪40—60年代主要侧重于矩阵代数。60年代以后，群论研究渐具特色。西南师范大学的陈重穆等对群的构造理论有系统研究成果，形成国内的群论研究中心之一。

一、代数与群论

（一）代数

（1）矩阵。1940年，四川大学的柯召和李华宗把关于矩阵特征多项式的哈密顿-凯莱（Hamilton-Cayley）定理和关于矩阵最小多项式的弗罗贝纽斯（Frobenius）定理推广到多个可交换矩阵的多项式的情形。1956—1957年，柯召、周孟庚和陆文端又把它推广到更普遍的情形。1945—1948年，李华宗得到了埃尔米特（Hermite）矩阵的若干性质，证明了有关非负H矩阵存在唯一标准分解的定理和显式公式，他还详细讨论了伪酉矩阵的标准分解问题。1955年，柯召将整数环上的横方阵填补问题推广到代数整数环。1962年，魏万迪推广了奥斯特洛夫斯基（A.Ostrowski）关于矩阵A的特征值界的问题和阿达玛、米勒（J.Hadamard, Miller）等关于矩阵特征值估计的一个更普遍的结果，还建立了一些比奥氏关于行列式特征值的界估计更精密的结果，并求出这类上界。

（2）环论和其他方面。1960年，西南师范大学的陈重穆、张昌铨全面研究一般含有单位元的结合环的结构。张昌铨自1979年以来先后就多单环、完全幂等环、l次幂等环、内域环、单小环、单大环等进行了研究。

1945年，李华宗对克立佛（Clifford）代数的一个结论给出现代方法的证明，当时在芝加哥大学的学者阿尔贝特（Albert）认为该证明是“最优美的现代证明”。1948年，他又进一步得到克立佛代数的若干抽象性质。

关于模糊代数结构。1980年，四川师范大学的刘旺金从推广代数的“运算”概念出发，讨论F子群胚、F子群及不变子群、F子群及理想等基本概念。1982年以来，刘蓉滨对F群、F矩阵、F理想、F模、格上的F同余关系、F子格等进行了一系列讨论。

（二）群论

20世纪50年代起，特别是70年代，陈重穆、施武杰、张广祥等对群的构造理论进行了系统的研究，在内外∑群、超可解群、p-幂零群以及有限单群的刻画等方面取得了一系列成果，在国内外有一定影响。这些成果分阶段分别在五次国际群论会议上报告。

（1）群的定义。1958年，西南师范大学的陈重穆、金民勇提出变换群的另外定义方式，并减弱了群第二定义中的闭合性条件。

（2）内外∑群。1980年，陈重穆提出内∑群的概念，较系统地讨论了内∑群，特别是他得到的有限内π/Ω序可解群就是内幂零群。他进一步又引进了外∑群（即每个真商群是∑群的非∑群），并应用内、外∑群来研究超可解群的各种充分条件。

（3）具有正规p-补的群和超可解群。1958年，陈重穆研究了本赛德（Burnside）关于正规p-补的定理，得到一些相关的结果。

1964年，陈重穆统一本赛德（Burnside）定理及弗罗贝纽斯（Frobenius）定理，得到了G有正规p-补的一个定理。1982年，陈重穆精密化本赛德定理，并引入“良子群”概念，得到G有正规p-补的另一结果。

关于超可解群，1982年陈重穆扩充了伊藤-Mclain定理。1984年，陈重穆用内、外超可解群的结构得到了一系列关于超可解群的定理。

1985年，西南师范大学的施武杰得出了元的阶为连续整数的有限群的元素的阶的“上界”，又进一步与布兰德尔（R.Brandl）合作，完成了这类群的全部分类，定出了它们的结构。

（4）有限单群。1984年，施武杰着眼于群的固有“数量”，用“群”的阶和“元”的阶的条件刻画单群PSL2（7）。并用“群的阶”和“元的阶”为条件较系统地刻画了一批有限单群，如零散单群J 1和一个无穷系统单群PSL2（2n）等。

（5）无限群。1983年，陈重穆对周期Abel群G得出：“对G的任意子群S，只要<S, φ（G）>=G，便有S =G”的充分必要条件是G的每一准素分量的方指数为有限。

尔后，张志让把有限p-群中的本赛德定理推广到一类无限p-群（满足弱极大条件的MN群）；把有限群中的丘尼欣（Chunikhin）定理推广到周期FC群。

（6）李代数。1948年，李华宗对所有实三维李代数进行了分类，并将其每一类都表示为一个适当的线性群的代数，但他不是按全局观点分类的。1982年，费青云给出了李代数K（m）, K（m, n）, H（m-1）, H（m-1, n1）的齐次自同构形式。

（7）群论中的其他问题。1981年，陈重穆对群的生成组引入“势”“序势”的概念，定义了满势群、全势群、强满势群，证明满势群为胡佩尔特（Huppert）所定义的Zm-可解群、全势p-群，并得出强满势群为拟幂零群。

1983年，陈重穆出版专著《有限群论基础》。

二、数论

（一）解析数论

关于弱型哥德巴赫（Gordbach）问题。1956年，尹文霖结合密率论与筛法十分简短地证明：每一个充分大的偶数可以表示成18个素数之和，而每一个充分大的奇数可以表示成17个素数之和。

关于狄黎克来除数问题。1959年，尹文霖就二维情形得到了很好的估计结果，同年他研究三维除数误差项阶的估计，从而改进和简化了越民义的结果。1964年尹文霖、1980年尹文霖和李中夫又两度把此结果改进，得到优化估计为a3≤。

（二）丢番图（Diophantine）方程

（1）方程xxyy=zz。1940年，柯召用极其精湛的初等方法证明，当x, y互素时此方程无解，否则有无穷多组解，并给出了无穷多组解。国际著名的数学家安道什（Erdös）对此结果及其方法高度评价，认为柯召给出的已是全部解。1957年，柯召又进一步讨论方程xy · yx=zz和其他更换指数位置的方程，得出了类似的结论，并求出x, y, z的参数表达式。同年，柯召和陆文端得出了另一些参数表达式。

（2）卡特兰（Catalan）猜想。1840年，卡特兰（Catalan）提出一个著名的猜想：8和9是仅有的两个大于1的连续整数，它们都是正整数的乘幂。1961年，柯召提出了一个重要的初等方法，解决了与此相关的两个难度很大的公开问题。进而在1962年证明了“没有三个连续整数都是正整数的乘幂”，这是研究卡特兰猜想的重大突破。毛达尔（Mordell）的专著The Diophantine equations（丢番图方程）中称之为柯氏定理。柯召在证明这个定理时，提出了用计算雅可比符号来研究不定方程的方法。1977年特尔加尼（Terjanian）对偶指数费马大定理第一情形的证明和1983年罗特凯维奇（Rotkiwicz）在不定方程中所得的一系列结果，均使用柯召的方法。

（3）1960年，柯召证明了另一著名猜想：不定方程x +y+z =xyz = 1无有理数解。20世纪80年代以来，此方程已推广到各种代数数域，引出一系列深刻的工作。

（4）柯召等还研究了多种重要的不定方程，得到了重要的结果，包括：

①1958年，陆文端给出了一类指数型不定方程的一般解，改进了辛侧尔（Schinzel）结果。1964年，柯召和孙琦就另一类指数型不定方程得到一个重要结果，对著名的安德尔松（Anderson）猜想给出了一个反例。

②1958—1959年，柯召和陆文端得到了商高数不定方程的若干结果。1963—1964年，柯召和孙琦研究某些积性函数方程，其重要结果之一是把列默尔（Lehmer）在1932年的结果进行了重大改进。

③1979—1983年，柯召和孙琦得到了某些三次和四次不定方程的一系列结果。

④1984年，四川大学的孙琦和张明志解决了赛弗里契（Seifridze）提出的一个有关整除的问题，孙琦和万大庆对在有限域上对角方程的研究中起重要作用的一类不定方程进行了一系列研究。

⑤1980年，柯召和孙琦的著作《谈谈不定方程》出版，这是国内第一本系统和全面介绍不定方程理论的著作。

（三）线性型和二次型

（1）线性型的表数问题。1956—1957年，柯召、陆文端、陈重穆、吴昌玖相继得到新的结果，1984年还得到与之有关的新计算法。

（2）关于表二次型为线性型的平方和问题。

①1937—1942年，1957—1958年，柯召得到了关于正定二次型、非定二次型和不可分解二次型的若干结果。

②1947—1949年，李华宗研究了关于二次型的合成的胡尔维茨（Hurwitz）问题，给出了一个构造性的解答。

③关于么模n元恒正二次型的类数Cn。1938年，1958—1960年，柯召得到了x=9到15时Cx之值，并证明了C16≥8，还给出了各类代数型和它们的自守变换的个数。

（4）其他重要结果。

①关于表数相同的二次型。1978年，1980—1984年，柯召和郑德勋，1982年李德琅，都在这方面做了许多有意义的工作。李德琅运用“从局部到整体”的代数方法，彻底解决了非定二元二次型表数相同的问题，找出了所有表数相同但互不等价的二次型对，从而解决了一个有200年历史的重要问题——表数相同的二元二次型是否等价的问题。

②按二次型性质对平方类数有限的域进行分类。1975年，波兰数学家兹米切克（Szmiczek）在研究这个问题时，遗留了两种困难情形不能解决。1980年，李德琅用他提出的方法解决了这个问题。此方法可构造出大量平分类数有限的域，从而成为研究这种域的新工具。

③1963年，柯召和郑德勋得到关于恒定型极小值的一个估计。

三、组合论

（一）偏序集的组合问题

1961年，柯召和安道什（Erdös）、拉多（Rado）一起发表的论文中给出了计算有限集子集的交集个数的定理。此定理成了组合论的一个经典结果，文献上称为安道什-柯-拉多（Erdös-Ko-Rado）定理，迄今已被100多篇论文引用。该文提出的许多问题大大推动了极值集论的发展。国外多位学者评论它“是极值集合论的一个里程碑，开辟了极值集论迅速发展的道路”。

1985年，魏万迪与蔡源之等合作研究了关于能力高低具有偏序关系的人员指派问题，得到了两个重要结果，并给出了有效算法来求出裁至最少人员后的最优指派。

（二）组合计数

1979—1980年，魏万迪把组合论中最基本的原理之一的容斥原理进行了实质性推广，得到了广容斥原理，并给出了它的一些应用。1980年，魏万迪在研究限位排列和积和式的问题中，提出了K积和式、全积和式的概念，研究了它们的性质和计算公式，为处理限位排列提供了工具，并应用于研究同任一（0,1）矩阵结合的单纯复形，前人的结果仅是他的一个定理的特例。

魏万迪还给出了某些类限量分配数的计算公式，完全确定了一类星图的拉姆塞（Ramsey）数，并和成都师专的阳本傅、四川大学的高绪洪合作，引进了Zr的子集间等价的概念，给出了计算等价类的公式。

1981年，柯召、魏万迪出版了《组合论》（上），这是国内最早出版的论述组合计数的专著之一。

（三）组合设计

1963—1965年，阳本傅和万哲先合作利用有限域上酉几何的子空间构造了具有多个结合类的结合方案及其上的部分不完全区组（PBIB）设计。阳本傅还利用有限域上酉几何中的极大全迷向子空间进行了进一步研究，并参与撰写了专著《有限几何与不完全区组设计的一些研究》。此书在有限几何的计数理论及利用有限几何构作PBIB设计方面进行了一些带有开创性和基础性的工作，被多篇论文引用。

1980年以后，四川大学的魏万迪、孙琦、沈仲琦、屈明华、吴晓红、沈国祥等相继得到了关于循环差集的一些有用结果。魏万迪利用差集的性质而不借助计算机证明了一种循环差集的唯一性，并构造出了这种差集，考察了多种差集的存在性、等价类及在等价意义下的唯一性。魏万迪和阳本傅等还研究了与平衡不完全区组（BIB）设计密切相关的矩阵类，得到了若干重要结果。

（四）组合矩阵论

以往，国际上关于（0,1）矩阵类的研究长期只限于定性方面。1979年以来，魏万迪用全链方法研究了它的定量问题，魏万迪和阳本傅、高绪洪得到了某些类（0,1）矩阵的积和式值分布的若干结果。

1987年，魏万迪出版了《组合论》（下），这是国内出版的全面论述组合设计的专著之一。

（五）其他

假定有K个机械师维修若干台机器，每人每天只能修一台机器，且每台机器都有一定的维修周期。魏万迪和刘炯朗（C.L.Liu）（华裔美国人）给出了这些周期应满足的条件，使能选择各台机器的初始维修期，以使任何一天所需的机械师人数都不超过K。

魏万迪和刘炯朗解决了应用抽屉原理研究可容许和序列问题的一个有意义的问题，还统一了若干类重排不等式，并给出了若干类新的重排不等式。