四 代数架构和代数思维

我们在日常生活中接触的一切，都是代数

什么是代数呢？有人说，代数就是用字母表示数，因为用字母代替了数字，所以叫代数，是这样的吗？这叫望文生义！如果用字母表示数叫作代数，那么我用汉字表示数就不叫代数了吗？我用图形符号表示数就不叫代数了吗？我们小学的时候就学过：“甲、乙之和是18，甲、乙之差是6，请问甲、乙各多少？”谁能说这不是代数呢？我们还做过这样的题目：“天平左侧有2个桃子，右侧有4个橘子，问一个桃子的重量相当于几个橘子？”谁敢说这不是代数方程呢？其实代数根本没有那么复杂，我们在日常生活中接触的一切，都是代数．

比如，我问你：“一个苹果加两个苹果等于什么？”那你马上就会说三个苹果．在这个问题里面，我们就是用苹果来代表数字的．可是你说，那不对，刚才我们说的一、二、三才是数，苹果是个东西，不是数字．那我再问你，一个苹果是不是可能重300克？一个苹果是不是可能值5角呢？那如果题目变成一个5角加两个5角，结果是不是就等于三个5角了呢？对，这就是代数，代数就是这么简单．只不过因为汉字、图形写起来比较麻烦，所以，我们就常用英文字母来表示数字．

比如1个苹果加2个苹果等于3个苹果，如果我们用字母a来代替苹果，那么，结果就是1个a加2个a等于3个a．在这里，3个a就表示3乘以a，我们可以写成3·a，或者直接写3a，如果是1个a呢？我们也常常把1忽略，直接写成a．也就是说，以上这个算式的代数表达式应该是：a＋2a＝3a．

在小学阶段，我们就曾经学过用字母x来表示未知数，那么用x和用a有什么区别吗？如果严格地来说，还真没什么区别，只是我们使用它们的习惯不同．在代数学里面，虽然a、b、c和x、y、z都是字母，都可以表示数字．但是，我们经常用前几个字母a、b、c表示已经知道的数字，又叫常数或者常量；而用后面的x、y、z表示暂时还不知道的数字，又叫未知数或者变量．a、b、c也不是数字，怎么能用来表示已经知道的数字呢？这个意思就是，如果我们在做代数题的时候，你的计算结果写成x＝a＋2，就算你把题目算出来了；但是如果你写成了a＝x－2，那就算你没算出来．虽然两个式子的意思看起来差不多，但是，按照习惯会要求你把变量x写成用常量a表达的方式．

那你会说，这题目里面有一大堆的字母，我怎么算得数啊，比如我知道3＋2等于5，那么a＋b我怎么知道等于多少呢？这个算式不需要计算，因为计算得到的最终结果，很可能就是一堆字母，我们不需要知道它等于3还是等于5，只要把一堆字母经过计算以后，不断化简，最后得到一个最简单的表达式就行了．比如：2a＋3a＝5a，a＋3b－b＝a＋2．

虽然仍然不知道结果等于几，但是算式已经被我们化简到极简的状态，这就足够了．绝大多数情况下，初中代数都是在跟一堆字母打交道，我们就是要通过加减乘除的计算规则把它们算过来又算过去，折腾到最简单为止．那你又会说了，我为什么要折腾一堆字母呢，它有什么实际用途呢？这就问到点子上了，这些字母它们是怎么来的，刚才不是用a来代表苹果吗？所有这些字母代表的都是日常工作或者生活中的某个数量，只不过在一般情况下，这些数量之间的关系比较复杂，我们就是要通过计算，把它们之间的相互关系理清楚，只有弄清楚了它们之间的相互关系，才可能通过控制一个数量来控制其他的数量．

说了这么多，还是举个生活中的例子吧．比如，一种商品的利润和价格有关系吗？什么叫利润呢？利润不就是赚了多少钱吗？赚钱多少当然和价格有关系了，因为商品的利润等于价格减去商品的进货价．那么，商店赚钱的多少和商品数量的多少有关系吗？这个不用算，凭直觉我们就知道了，商品卖得越多，那肯定就越赚钱了．如果让列出代数算式呢？那就是商店的利润等于单件商品的利润乘以商品售出的数量，没错吧．那么问题来了，既然商品价格越贵赚钱越多，商品数量越多赚钱越多，我们就把一个超市全部堆满了商品，然后把商品价格定得高高的，不就可以赚大钱了吗？这样的结论好像不对，如果商品价格定得太高了，客户肯定不来买东西了；商品太多，把超市里的空地都占满了，客户也没办法进来挑东西了．那么结果为什么不对呢？为什么我们找到了正确的原因，却得不出正确的结论呢？

因为我们刚才只考虑了商品的变化因素，没有考虑客户的变化．其实，超市赚钱的总数应该等于客户数量乘以平均每个客户购买的商品数量再乘以商品的利润．同时，超市来的客户数量和商品的价格和利润是有关系的，商品越贵，客户来得越少；商品越便宜，客户来得越多．现在，这个算式是知道了，但是它却仍然没有用，为什么呢？因为这个算式不能告诉我们到底把商品价格定在多少才最赚钱．因此，我们还需要继续分析下去．要想得出这个问题的正确答案，只有全面掌握了初中代数的内容以后才可以．在这里，只是通过这个问题来加深你对代数的理解，要知道我们之所以要折腾一堆字母，就是因为这些字母所代表的都是日常工作和生活中的某个数量．它可能代表利润，可能代表客户数；可能代表速度，可能代表路程；可能代表亮度，可能代表电量．总之，涉及生活和工作的方方面面，都是无数个变量相互作用的结果，我们只有认识了它们之间的相互关系，才能更好地工作、更好地生活．

在初中数学中，充满了由字母数字和加减乘除运算符号组合成的代数表达式．如果说，小学数学是算数字的话，那么初中的代数就是算式子．那么，这些式子要怎么分类呢？我们又要从哪里学起呢？