第四节　宏观经济指标区间套定理及其证明

一、宏观经济指标区间套定理

用（a₁，a₂）表示实数区间a，用（b₁，b₂）表示实数区间b。若a₁≤b₁，a₂≥b₂，则称区间a嵌套区间b，或区间b嵌套于区间a（内）。区间嵌套可用集合论符号⊆表示，即b⊆a。

用月度数据找出的宏观经济指标的年增长率的合理运行区间可以嵌套用季度数据找出的该宏观经济指标的年增长率的合理运行区间，后者，又可嵌套用半年度数据找出的此宏观经济指标的年增长率的合理运行区间。此结论称为宏观经济指标区间套定理。

从上面的讨论可知，对一项可分解性宏观经济指标而言，为寻找其合理运行区间，使用半年度数据找到的合理运行区间较使用季度数据找到的合理运行区间为窄，使用季度数据找到的合理运行区间较使用月度数据找到的合理运行区间为窄。

二、宏观经济指标区间套定理的证明

设X为某宏观经济指标，其年度增长率的合理运行区间的半年度值为X（ah，bh），其年度增长率的合理运行区间的季度值为X（aq，bq），其年度增长率的合理运行区间的月度值为X（am，bm）。上述宏观经济指标合理运行区间套定理的数学表示为：

X（ah，bh）⊆X（aq，bq）⊆X（am，bm），这时，自然有

LX（ah，bh）≤LX（aq，bq）≤LX（am，bm）；

LX（a，b）表示区间X（a，b）的长度。

现只以实际GDP年增速为例，讨论和证明宏观经济合理运行区间套定理。

1．将年度分解为4个季度的情形

假定第一年1～4季度的实际GDP分别为a₁，a₂，a₃，a₄；

假定第二年1～4季度的实际GDP分别为b₁，b₂，b₃，b₄；

这样，第一年上半年的实际GDP为a₁+a₂=A₁，第一年下半年的实际GDP为a₃+a₄=A₂；

第二年上半年的实际GDP为b₁+b₂=B₁，第二年下半年的实际GDP为b₃+b₄=B₂；

第二年上半年实际GDP同比增速为（B₁-A₁）/A₁=G₁；

第二年下半年实际GDP同比增速为（B₂-A₂）/A₂=G₂；

第二年一季度实际GDP同比增速为（b₁-a₁）/a₁=g₁；

第二年二季度实际GDP同比增速为（b₂-a₂）/a₂=g₂；

第二年三季度实际GDP同比增速为（b₃-a₃）/a₃=g₃；

第二年四季度实际GDP同比增速为（b₄-a₄）/a₄=g₄；

假定，所讨论的经济处于增长时期，并假定：

a₁≤a₂≤a₃≤a₄；b₁≤b₂≤b₃≤b₄；b₁≥a₁；b₂≥a₂；b₃≥a₃；b₄≥a₄；

亦即

A₁≤A₂，B₁≤B₂，B₁≥A₁，B₂≥A₂；

并且，以上所有数据皆为正数。

同时，不妨假定：

g₁≤g₂≤g₃≤g₄

且

G₁≤G₂；

由于

a₁≤a₂，g₁=（b₁-a₁）/a₁≤（b₂-a₂）/a₂=g₂，

得出

（b₁-a₁）≤（b₂-a₂）；

第二年上半年实际GDP同比增速为

G₁=（B₁-A₁）/A₁=［（b₁+b₂）-（a₁+a₂）］/（a₁+a₂）；

容易看出，

G₁≥2（b₁-a₁）/2a₂，

即

G₁≥g₁（a₁/a₂）；

同样，

G₁≤2（b₂-a₂）/2a₁，

即

G₁≤g₂（a₂/a₁）；

这样，第二年上半年实际GDP的同比增速G₁位于区间［g₁（a₁/a₂），g₂（a₂/a₁）］；

同理，很容易计算出第二年下半年实际GDP的同比增速G₂位于区间［g₃（a₃/a₄），g₄（a₄/a₃）］；

这样，使用季度数据的第二年全年实际GDP的合理运行区间就为

［g₁（a₁/a₂），g₄（a₄/a₃）］。

2．将年度分解为上、下两个半年度的情形

第一年的实际GDP为A=A₁+A₂=a₁+a₂+a₃+a₄；

第二年的实际GDP为B=B₁+B₂=b₁+b₂+b₃+b₄；

第二年实际GDP同比增速为

G=（B-A）/A=［（B₁+B₂）-（A₁+A₂）］/（A₁+A₂）=［（b₁+b₂+b₃+b₄）-（a₁+a₂+a₃+a₄）］/（a₁+a₂+a₃+a₄）；

由于

A₁≤A₂，

且

（B₁-A₁）/A₁=G₁≤G₂=（B₂-A₂）/A₂，

得到

（B₁-A₁）≤（B₂-A₂）；G=［（B₁+B₂）-（A₁+A₂）］/（A₁+A₂）≥2（B₁-A₁）/2A₂，

即

G≥G₁（A₁/A₂）；

同样，

G=［（B₁+B₂）-（A₁+A₂）］/（A₁+A₂）≤2（B₂-A₂）/2A₁，

即

G≤G₂（A₂/A₁）；

这样，第二年全年实际GDP的合理运行区间就为

［G₁（A₁/A₂），G₂（A₂/A₁）］。

下面证明使用半年度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间包含于（嵌套于）使用季度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间。

容易证明，G不可能小于G₁，也不可能大于G₂，且

［G₁，G₂］⊆［G₁（A₁/A₂），G₂（A₂/A₁）］G₁=［（b₁+b₂）-（a₁+a₂）］/（a₁+a₂）>2（b₁-a₁）/2a₂=g₁（a₁/a₂）

G₂=［（b₃+b₄）-（a₃+a₄）］/（a₃+a₄）<2（b₄-a₄）/2a₃=g₄（a₄/a₃）

即

g₁（a₁/a₂）≤G₁≤G₂≤g₄（a₄/a₃）。

一般情况下，可选季度增长率的最大值为年度增长率合理运行区间的上限，可选季度增长率的最小值为年度增长率合理运行区间的下限。即选用［g₁，g₄］为年度增长率合理运行区间，且

［g₁，g₄］⊆［g₁（a₁/a₂），g₄（a₄/a₃）］；

计算

G₁-g₁=［（b₁+b₂）-（a₁+a₂）］/（a₁+a₂）-（b₁-a₁）/a₁=（a₁b₂-a₂b₁）/［a₁（a₁+a₂）］

由于

g₁≤g₂，

即

（b₁-a₁）/a₁≤（b₂-a₂）/a₂；

因此，

a₂b₁≤a₁b₂，

可得

G₁-g₁≥0；

计算

G₂-g₄=［（b₃+b₄）-（a₃+a₄）］/（a₃+a₄）-（b₄-a₄）/a₄=（a₄b₃-a₃b₄）/［a₄（a₃+a₄）］，

由于

g₃≤g₄，

即

（b₃-a₃）/a₃≤（b₄-a₄）/a₄，

可得

a₄b₃≤a₃b₄；

由此可得

G₂-g₄≤0；

即

g₁≤G₁≤G₂≤g₄；

由以上证明可知，使用季度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间范围要大于使用半年度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间范围，即使用季度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间范围要嵌套使用半年度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间。

有些宏观经济指标只有季度统计数据，没有月度统计数据（如名义GDP和实际GDP等）。它们的年度增长率的合理运行区间只有半年度数据区间和季度数据区间（其半年度数据需从其季度数据中推算），且其季度数据区间嵌套其半年度数据区间，这种嵌套是一种唯一的单嵌套，即这时的区间套是一种单区间套；许多宏观经济指标都有月度统计数据，从它们可以推算出其季度和半年度统计数据。对这些宏观经济指标而言，它们的年度增长率的合理运行区间既有月度区间，又有季度区间和半年度区间。这时，月度区间嵌套其季度区间，季度区间又嵌套半年度区间。这种区间套是一种复合的区间套，或者说，是一种多区间套，准确地说，是一种双区间套。

对于可加性宏观经济指标而言，基于加法运算的自然性质，在某些情况下，把全年分解为两个半年时。显然，两个半年的经济增长率不可能都高于全年的经济增长率，同样，两个半年的经济增长率不可能都低于全年的经济增长率，这样，全年经济增长率一定介于两个半年经济增长率之间。同理，再把两个半年分解为四个季度时，全年经济增长率一定低于四个季度经济增长率的最高者，高于四个季度经济增长率的最低者。再把四个季度分解为12个月度时，可以得到，全年经济增长率一定低于12个月度经济增长率的最高者，高于12个月度经济增长率的最低者。这便是宏观经济区间定理和宏观经济区间套定理的自然出发点。

上述论述可以严格证明如下。实际上，在本章第三节的证明中，曾假定

a₁≤a₂，min（g₁，g₂）=g₁和max（g₁，g₂）=g₂，

也就是说，

b₁-a₁≤b₂-a₂。

这时可见：

g=（b-a）/a=［（b₁+b₂）-（a₁+a₂）］/（a₁+a₂）=［（b₁-a₁）+（b₂-a₂）］/（a₁+a₂）≤2（b₂-a₂）/2a₁=g₂（a₂/a₁）；

g=（b-a）/a=［（b₁+b₂）-（a₁+a₂）］/（a₁+a₂）=［（b₁-a₁）+（b₂-a₂）］/（a₁+a₂）≥2（b₁-a₁）/2a₂=g₁（a₁/a₂）；

上述计算证明：第二年实际GDP增速g位于区间［（g₁（a₁/a₂），g₂（a₂/a₁）］之中。特别地，如果a₁=a₂，则第二年实际GDP增速小于第二年上半年实际GDP增速和下半年实际GDP增速中最大者，同时，大于第二年上半年实际GDP增速和下半年实际GDP增速中最小者。

容易证明，g不可能小于g₁，也不可能大于g₂。

这里特别强调，宏观经济区间套定理仅对同口径的统计数据成立，仅对当期值统计数据成立。对于累计的统计数据和期末值统计数据，虽然仍可能出现区间套情况，但嵌套的情况，要依具体条件和具体指标决定。

应当指出的是，可加性对区间定理和区间套定理具有特别重要的意义。本章主要研究和讨论的是宏观经济指标。这是因为宏观经济指标往往有丰富的统计数据支持，特别是国家级宏观经济指标，往往有权威国家行政部门保障它们的可靠性。当然，如果某项微观经济指标是可加性指标，并有足够的统计信息支持，对这些经济指标区间定理和区间套定理进行讨论也未尝不可。