第9章　小白学波动率系列之远期波动率

我只管等，直到有钱躺在墙角，我所要做的全部就是走过去把它捡起来。

——吉姆·罗杰斯

在开始聊远期波动率之前，先给大家讲个小故事。

【小故事】小明在国外一家上市公司工作，他干活很卖力，脑子也很好用。公司觉得小明是个非常有价值的员工，正逢公司目前处于一个非常关键的发展期，希望核心员工在这几个月能够安心为公司工作，不要有人员的流动。于是，在今年的7月1日，领导告诉小明，如果你在今年的12月31日之前都不离开公司的话，我们就会给你一大笔从明年1月1日开始的半年期的看涨期权，行权价等于明年1月1日当日公司股票的股价。这样一来，如果小明为这家公司效力到今年底，就可以拿到不少的平值期权，期权的到期日为明年的6月30日。

然后，小明就很想知道在明年的1月1日，这些看涨期权到底值多少钱呢？

在朋友的帮助下，小明得知可以通过BS定价公式来得到这份期权的理论价值。于是，小明就打算一个个数据往BS公式上套。套到第一个数据σ的时候，小明就犯难了。市场上有明年1月1日到期的期权，也有明年6月30日到期的期权，所以从现在到这两个时间的隐含波动率都很容易得到。那么，从明年1月1日到明年6月30日的隐含波动率是多少呢？

这个从未来的某个时点到另一个时点的隐含波动率就称为远期波动率。

在现实世界中，每个标的资产往往都只有部分到期日的合约能够上市。如目前50ETF期权的到期日为当月、下月以及下两个季月。假设今天是9月1日，上市的50ETF期权就是9月、10月、12月和3月到期。由于没有相应的期权价格，我们也就无法直接知道10月和12月之间的远期波动率了。

但是，我们可以利用已有的期权隐含波动率来倒推出隐含波动率。我们假设当前时刻为t₀，期权到期时间为T，已知t₀时刻到某时刻t的隐含波动率为，t₀时刻到T时刻的隐含波动率为，我们希望得到t时刻到T时刻的远期波动率σ_t，T。在无套利的假设下，如果下式不满足的话，就可以通过买进近期合约卖出远期合约或者买进远期合约卖出近期合约进行无风险套利。

由上式可以得到t时刻到T时刻的远期波动率的计算公式如下：

举个例子：某期权今天90天到期的隐含波动率是15%，180天到期的隐含波动率是14%。即σ_0,0.25=0.15，σ_0,0.5=0.14。

如果我们想要找到91天到180天的远期波动率，利用上述公式，就可以得到

温馨提示

由于商品期权每一个月份的标的期货不同，所以商品期权的Forward Volatility没有意义哦！

还是有疑问？那我们再举个例子吧！

表9-1所示为标的为Barclay股票、行权价为272的平值看涨期权在2014年1月31日的隐含波动率。

假设初始时刻t₀=0，应用上面的方法求远期波动率，我们可以采用列表的方式，见表9-2。

我们再把它画出来看看，如图9-1所示。

需要注意的是，隐含波动率是每个时间点计算出的，而远期波动率是由已知时间段隐含波动率推导出的一段时间内的隐含波动率。