5.3 扩展的BS模型
5.3.1 已知股息的欧式股票期权
上一节我们给出了BS模型最基本的形式。那么，如果标的资产是有股息的股票，我们能否得到相应期权的价格？在股息已知的情况下，答案是肯定的。
首先，如果我们已知标的股票在未来的股息收益，我们可以假设股票价格是由一个有风险的部分（可用波动率体现）和一个无风险部分（期权有效期内，股息以无风险利率从除息日贴现到今天的现值）组成。当期权到期时，这些股息已被付出，无风险部分不再存在。因此，只要S0表示有风险的部分的价格，σ表示其波动率，BS模型依然适用。
总之，对于已知股息的欧式股票期权，只要在股票现价中剔除掉期权有效期内已知股利的贴现值，BS模型依然适用。
举个例子：小明买了一个欧式股票看涨期权，股票在1个月及2个月后分别有一个除息日。预计除息日的股息分别为0.2元和0.4元，股票目前价格是50元，执行价是48元，股票价格波动率为20%，无风险利率为5%，期权期限为6个月。
依题意，股息的贴现值是0.2e-0.05×1/12+0.4e-0.05×2/12=0.5958。
BS公式中参数值：
S0=50-0.5958=49.4042，K=48，r=0.05，σ=0.2，T=6/12=0.5
期权价格为C=49.4042×0.6741-48e-0.05×0.5×0.6217=4.198元。
5.3.2 支付已知股息率的股票期权
如果我们已知的是股息率呢？在除息日开市前，股票前一个交易日的收盘价会自动扣减掉股利的价值。这样一来，支付连续股息的股票由现在的价格S0增长到T时刻的价格ST，相当于在无股息的情况下，股票价格会从现在的价格
增长到T时刻的价格ST。
因此，当对期限为T，且支付连续股息收益率为q的股票欧式期权定价时，我们可以将今天的股票价格由S0降到，然后将期权按照无股息股票期权来处理。
在已知连续股息率的情况下，用
代替S0，BS公式仍然成立。
BS公式如下：
总之，对于已知股息率的欧式股票期权，只要将股票现价按股息率贴现后代入公式，BS模型依然适用。
5.3.3 欧式股指期权
股指可以看作一个支付连续股息收益率的股票投资组合。因此，如果股指中标的股票支付的股息收益率为q，股指期权的定价公式就与支付已知连续股息率的股票期权定价方法相同了。
举个例子：小明买了一个欧式股指看涨期权，期权期限为3个月，股指的当前值S0为3000元，执行价K为2950元，无风险利率r为每年5%，波动率σ为每年20%，年股息率q为2%。
依题意：
期权价格为C=3000×0.6152×e-0.02×0.25-2950×0.5766×e-0.05×0.25=156.55元。
5.3.4 欧式货币期权
与支付连续股息收益率股票类似，外汇可以看作收益率等于外币汇率rf的资产。因此以外汇标的欧式期权的定价公式，与支付有连续股息收益率的股票期权一致。
定义S0为即期汇率，即一个单位的外币所对应的美元数量。一个外币持有者的“股息收益率”就等于外币无风险利率rf。用rf替代q，得到欧式货币期权的定价公式如下：
5.3.5 欧式期货期权
欧式期货期权的价格同样可以由BS模型得到。直观来看，由于进入期货合约长头寸或短头寸时不需要支付任何费用，因此在风险中性世界里期货的预期收益率为0，即r-q=0。欧式期货期权的公式相应可以表示为
5.4 BS模型数学推导
温馨提示
本节内容有一定难度，如果您对BS公式的数理推导感兴趣，可以继续阅读；如果您不关心BS公式的推导过程，可以跳过哦！
5.4.1 股票价格变化过程
我们以标的资产为无股息股票的期权为例，对BS模型进行推导。
在推导BS模型之前，首先要对股票价格的变化行为进行描述。在BS模型中，我们总是假设股票价格满足伊藤过程。
什么是伊藤过程呢？先给出伊藤过程的表达式：
dx=a（x，t）dt+b（x，t）dz
其中：x表示变量，即标的股票的价格；a表示每单位时间内x变化的期望值，它有个十分形象的名字——漂移率；b2表示单位时间内的方差率；
，表示z满足维纳过程。
简单来说，服从伊藤过程的变量，其变化由两部分组成：漂移项带来的变化和随机扰动项带来的变化。其中，变量的漂移率a和方差率b2都可以表示为变量当前值x和时间t的函数，同时与变量的历史值完全无关（这个假设具有一定的现实意义，如果股价与其历史价格有关，那么现在股价可以被完全预测，这显然是不合理的）。
这也说明，我们假设的股票价格变化是服从马尔科夫过程的。服从马尔科夫过程的变量，其未来的预测值仅与标的变量的当前值有关，与变量的所有历史值及变量从过去到现在的变化路径完全无关。总之，与股票未来价格相关的唯一信息就是股票当前时刻的价格。
举个例子：假设当前万科A的股价为16元，若其股价服从马尔科夫过程，那么昨天、一星期以前、一个月以前、一年以前股价都完全不会影响我们对未来某时刻股价的预测，只有当前股价16元是有意义的。
下面我们解释下维纳过程。在我们的假设中，变量z需要满足维纳过程，维纳过程是漂移率a为0，方差率b2为每年1.0的特殊马尔科夫过程。
它在数学上需要满足两个性质：
性质1：变量z在一小段时间内的变化量满足
。
性质2：任何两个不重叠的Δt内变化量Δz相互独立。
那么，股票价格的变化中漂移率和方差率应如何表示呢？显然，方差率可以用股票价格的波动率来描述。那么漂移率呢？使用固定数值的漂移率肯定是不合理的——如股票在价格为10美元时预期收益为5美元，投资者不可能在股票价格为50美元时预期收益还是5美元。考虑用股价的百分比变化来表示漂移率更加合适。
因此，我们可以假设现实世界中的股票价格满足如下的伊藤过程：
其中：μ表示股票在单位时间内的收益率期望；σ表示股票价格的波动率标准差；S表示股票的价格。股票的价格变化由漂移和波动两个部分组成。
总之，在BS模型中，假设股票价格服从伊藤过程，股票价格变化只与股票当前值有关，与历史价格无关。股票价格的变化由两个部分组成：一是预期资产回报率；二是随机波动。
5.4.2 伊藤引理
在BS模型推导中，伊藤引理是一个非常关键的结论。伊藤引理的得到需要严格的数学证明。
伊藤引理证明的结论：
如果变量x服从伊藤过程
dx=a（x，t）dt+b（x，t）dz
那么x和t的函数G有以下表达式：
其中，漂移率为：
方差率为：
对于5.4.1小节中描述的股票价格变化过程而言，由dS=μSdt+σSdz，用S和t表示的函数G服从以下表达式：
总之，伊藤引理是推导BS公式的重要基础。伊藤引理说明，如果一个变量满足伊藤过程，那么对这个变量和时间构成的某一函数求导，会得出特殊的表达式。
5.4.3 BS公式简单推导
（1）模型假设
在正式推导公式前给出一系列不太实际，但却十分必要的假设：
①股票价格服从
②可以卖空证券，并且可以完全使用所得收入；
③无交易费用和税收，所有证券均可无限分割；
④在期权期限内，股票不支付股息；
⑤不存在无风险套利机会；
⑥证券交易连续进行；
⑦短期无风险利率r为常数，并对所有期限相同。
（2）BS微分方程推导
根据我们对股票价格行为的描述，我们已经假设dS=μSdt+σSdz，假设f为关于S的看涨期权，且f是S和t的函数。
根据伊藤引理，得出：
为了先解决掉很难进行公式运算的维纳过程部分，我们将得出的式子写成离散形式：
我们发现，以上两个公式中，唯一不确定的项就是Δz。我们可以巧妙地选择股票与衍生品期权构造组合，来消除维纳过程部分。
选取组合为：
-1份衍生产品和
份股票，即一个衍生产品空头和
数量的股票。
定义π为组合的价值，由定义
，变化量
由无套利原理可知，该证券组合必须与其他无风险证券有相同的瞬时收益率，因此Δπ=rπΔt，其中r为无风险利率。我们得到：
进一步得到：
上式就是著名的B-S-M微分方程。下面来进一步得到BS定价公式。
如果只考虑微分方程的解，由于常数项的存在会使解的个数为无穷多个，我们无法得到唯一结果。我们需要利用边界条件来求得唯一解：
欧式看涨期权的关键边界条件为：t=T时，f=Max（S-K，0）；
欧式看跌期权的边界条件为：t=T时，f=Max（K-S，0）。
另外，我们还可以证明，如果S满足以上假设的变化路径，当G=lnS时，由伊藤引理得到：
即lnST服从正态分布。
由以上微分方程、边界条件限制和lnST的性质，我们最终可以得到BS模型定价公式唯一的表达形式：
c=S0N（d1）-K e-rTN（d2）
p=K e-rTN（-d2）-S0N（-d1）
其中：
附录：一步到位公式套用教程
接下来，就是一步到位版的同志们的福音了！下面马上教大家如何一分钟速成BS公式！
虽然BS模型的定价公式形式简单，但经过试验，一个个取值代入公式也是很花时间的。所以，我们贴心的IT哥哥在网站上也为大家提供了BS模型的定价小工具。您只要了解各个所需参数的含义，就能分分钟得到期权的价格了。
下面就来手把手教您怎么套这些参数了：
1. S：标的资产起始价格
如果标的资产为股票，且现在的价格是35元，那么S就是35元。
2. K：期权执行价
如果期权的执行价是36元，那么K就是36元。
3. r：连续复利的无风险利率
如果无风险利率为5%，那么r=0.05。
温馨提示
模型中的无风险利率是连续复利的形式，一个简单的或不连续的无风险利率（设为r0）一般是一年计息，而r要求利率连续复利，r0必须转化为r才能进行计算，两者的换算关系为：r=ln（1+r0），r0=er-1。
4. q：分红率或融券利息
针对前文分析，不同情况下q的值如下：
（1）如果标的资产为不支付股息的股票
q=0
（2）如果标的资产为支付连续股息的股票
q=连续股息收益率
如当前连续股息收益率为2%，q=0.02。
（3）如果标的资产为股指期权
q=股指中标的股票的连续股息收益率
如当前股指连续股息收益率为3%，q=0.03。
（4）如果标的资产为外汇
q=外币的无风险收益率
如当前外币的无风险收益率为6%，q=0.06。
（5）如果标的资产为期货合约
q=r
5. T：期权期限
T是期权距离到期的时间，单位为年。
如果期权距到期还剩1个月，则T=1/12=0.0833。
也可以采用交易日天数来确定T，单位同样为年。
例如，今年总共有252个交易日，现在距到期还有3个交易日，那么T=3/252=0.0119。
6. σ：波动率
如果期权的年波动率为30%，那么σ=30%。
通过以上几个参数，就可以得到BS定价模型下的期权理论价了。
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