1.2 本书的主要内容

关于MATLAB语言编程与基础知识的系统介绍可以参见本丛书的第I卷《MATLAB程序设计基础》。本卷将侧重介绍如何利用MATLAB语言直接求解微积分问题，将以工程学科教授的视角介绍微积分问题的求解方法与应用方法。

由于微积分学的分析对象都是针对函数与序列的，所以第2章将系统介绍如何利用MATLAB语言描述函数与序列，以及函数与序列的绘图方法，为下一步介绍微积分学奠定一个坚实的基础。

第3章将系统地介绍如何利用MATLAB符号运算工具箱中的工具直接求解单变量函数的极限、单边极限及多元函数极限问题，数项级数与函数项级数的求解问题。配合图形显示方法，可以更好地探索极限问题的趋近与变化过程。

第4章介绍导数与微分问题的计算机求解方法，首先由导数定义出发，演示导数求解的方法，然后针对各种各样的函数探讨基于MATLAB的导数、偏导数与微分的求解方法，编写了一些参数方程、隐函数等导数解析求解的通用MATLAB函数，并介绍场的基本概念与导数的应用问题求解。

第5章介绍不定积分、定积分、多重积分、反常积分等问题的解析求解方法，介绍定积分的各种应用与计算方法，还将介绍两类曲线积分和两类曲面积分，并编写了通用的MATLAB求解函数。

第6章将介绍数项与函数项级数的求和与求积方法，对于不能求和求积的无穷级数还将探讨其收敛性与判定方法。给定单变量函数与多元函数的泰勒幂级数展开，给定函数的傅里叶级数逼近方法，并利用MATLAB的绘图功能研究有限项的拟合效果和适用范围。第6章还探讨了一般函数的连分式、Padé有理函数逼近方法与复变函数的Laurent级数表示方法。

这部分内容大都是解析求解和解析推导，属于计算机代数研究的领域，用传统的数值分析方法是不能求解的。对不熟悉计算机代数系统开发的读者来说，用C这样的底层语言直接进行解析解推导有极大难度，必须使用计算机数学语言完成这类问题的分析与求解。

在实际科学与工程研究中，微积分问题解析求解有时也面临困难。例如，若函数本身未知，只由科学实验测出的一些实验数据，则无法用推导的方式通过数据对其代表的函数求导或求积分，而需要通过数值方式进行数值微积分运算。第7章中将探讨单变量与多元函数的数值微分计算问题。在实际应用中还有很多函数积分的解析解不存在，所以需要通过数值积分的算法进行近似。第8章将介绍用数值算法求取函数积分及重积分问题的求解方法，以及基于样条插值的数值微积分方法。第9章将介绍积分变换的基本知识，侧重于拉普拉斯（Laplace）变换、傅里叶变换、梅林（Mellin）变换、汉克尔（Hankel）变换、z变换的求解方法，如果解析解并存在，则将探讨积分变换问题的数值求解方法。

如果微积分的阶次可以选择为非整数，还可以引入一个新的学科——分数阶微积分学。第10章将系统介绍分数阶微积分学问题及其MATLAB求解方法，给出分数阶微积分运算的高精度数值计算方法。

本书不是严格意义下的数学教程，其目标是尽可能地用计算机可以接受的指令，将微积分学的问题直接推给计算机，利用计算机得出问题的解。可以充分利用计算机与计算机数学语言的强大功能，直接求出问题的解，并对以往不易求解的问题得出探索性的解。另外，如果某类微积分学问题没有解析解，也可以通过数值微分与数值积分技术得出问题的数值解。

本书推荐使用的工具是MATLAB的符号运算工具箱，对某些不能直接求解的问题，我们将编写出相应的MATLAB通用函数，直接求解相关的问题，对一些较复杂的问题，也推荐使用其他学者开发MATLAB工具箱或求解函数。本书的总体目标是帮助读者更快、更简洁、更准确、更可靠地得出研究问题的解。

通过本书的初步学习，读者可能会发现借助计算机去求解曾令很多学生望而生畏的吉米多维奇《数学分析习题集》中的绝大部分计算问题变得轻而易举。利用本书介绍的新视角，读者甚至可以重新审视微积分学领域学习过的问题，并利用强大的计算机技术创造性地解决相关的数学问题。