第3章 函数与序列的极限

极限问题是整个微积分学的数学基础。文献甚至直接指出“微积分学就是极限的学说”。

整个微积分学最早源于极限问题，古希腊的天文学家、数学家Eudoxus of Cnidus（约公元前408−公元前355年）的穷竭法、中国古代哲学家庄周（约公元前369−公元前286年）在《庄子·天下篇》中描述的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”都可以在数学上描述相同的级数问题或极限问题。

数学家或哲学家当然可以认为“日取其半，万世不竭”，在实际科学与工程应用中人们更关心的是“日取其半”的可实现性问题。“一尺之棰，日取其半”，一个多月就将取到原子尺度之下，再往后怎么取？用一张A4纸对折，数学家可能会认为这张纸可以对折无穷多次，而事实上有人做过实验，人们很难对折7次以上。

在“高等数学”或“数学分析”课程中，都使用大量的篇幅介绍极限问题的求解。需要记忆常用的极限公式，再学习各种各样的技巧，求解大量的习题，才能初步学会求解极限问题的方法。这时，遇到了极限问题能不能真正求解出来，将完全取决于求解者的知识、技巧和能力了。毕业若干年之后，在实际研究中再遇到极限相关的问题，读者很可能就不会记得求解极限问题的方法和技巧了。

本章将探讨极限问题的另一类求解方法——借助于计算机的直接求解方法，将极限问题用计算机能够接受的方式直接推给计算机，让计算机去帮助你求解极限问题。这样的方法求解过程比较规范，求解极限问题的能力与读者的经验关系不是很大。除了从数学上得出问题的解之外，还可以充分利用MATLAB强大的图形功能，绘制出比数学公式更易于理解的各种各样的图形显示结果，有助于读者更好地理解极限问题的解。

本章3.1节介绍单变量函数的极限求解，首先用图示的方式演示数学上介绍的ε–δ定义，然后介绍单变量函数极限的MATLAB求解方法，并介绍复合函数极限的运算、序列极限的运算、分段函数极限的计算，最后给出无穷小量与无穷大量的概念；3.2节介绍单边极限的计算方法，并介绍函数连续性的判定以及区间极限的计算方法；3.3节介绍复变函数中奇点与极点的概念，并介绍复变函数留数的计算方法；3.4节介绍多元函数极限问题的求解，以二元函数为例分别介绍累极限的计算方法与重极限的计算方法。

本章介绍的核心MATLAB函数是limit()函数，毫不夸张地说，学会了这个函数的使用，就可以轻而易举地直接计算《吉米多维奇·数学分析习题集》中几乎所有的极限运算问题。