5.6　ISO 21771：2007齿厚相关计算公式

齿厚定义为一条圆弧线或螺旋弧线，是很难进行直接测量的。因此诸如量球测量、跨齿距测量和弧齿厚测量等非直接测量方法被广泛使用。ISO 21771：2007标准提供了比较详细的齿厚计算公式，本小节节选其中齿厚计算方面的内容，供大家计算时使用，其中增补了关于奇数齿斜齿外齿轮跨棒距的计算与测量，不属于ISO 21771：2007。本节公式符号和变位系数符号均采用ISO 21771：2007标准规定，本节公式内、外齿通用（内齿齿数z用负值代入公式）。本节涉及到变位系数的公式，当采用名义变位系数x代入公式即可得到名义的齿厚参数，当采用实际生成的变位系数x_E代入公式即得实际的齿厚参数。详尽基本参数公式均可查询表15-1-30。

5.6.1　齿厚与齿槽宽

（1）端面齿厚

任意圆端面齿厚s_yt是指某一个齿两齿面间在Y圆柱面上的弧线长度，见图15-1-33。

分度圆端面齿厚可用下式计算

（2）齿厚半角

齿厚半角，是指位于端截面的由齿厚s_yt、s_t或s_bt所对应的圆心角，相应的齿厚半角如下

（3）齿槽宽

齿槽宽e_yt，是指位于端截面的包容某一齿槽的两个齿面间在Y圆柱面上的弧线长度。齿厚s_yt和齿槽宽e_yt之和就是Y圆齿距p_yt（见图15-1-33）。

分度圆齿槽宽

（4）齿槽宽半角

齿槽宽半角，是指位于端截面的由齿槽宽e_yt、e_t或e_bt所对应的圆心角，相应的齿槽宽半角如下

（5）法向齿厚

法向齿厚，是指轮齿某一法截面内的齿厚，是一个齿的两个齿面间相应圆柱面的螺旋线弧线的长度。任意圆法向齿厚s_yn公式

s_yn=s_ytcosβ_y

分度圆法向齿厚公式

（6）法向齿槽宽

法向齿槽宽，是指轮齿某一法截面的齿槽宽，是包容某一齿槽的两个齿面间在相应圆柱面上的螺旋线弧线长度。

任意圆法向齿槽宽e_yn公式

e_yn=e_ytcosβ_y

分度圆法向齿槽宽e_n公式

5.6.2　跨齿距

跨齿距W_k，对于外斜齿轮和直齿轮，是指跨越k个齿的两个平行平面间的距离；对于内直齿轮，是指跨越k个齿槽的两个平行平面间的距离，两个平行平面是基圆切平面的法向平面。接触点位于基圆切平面上。内斜齿轮不能测量。这两个平行平面必须一个接触在左侧齿面的渐开线部分，一个接触在右侧齿面的渐开线部分（见图15-1-34）。对于内直齿轮，必须使用测量圆柱或测量球替代测量平面。

跨齿距是与轮齿齿侧相关的测量数据，因此与轮齿的偏心无关（指名义跨齿距，非功能跨齿距）。

在许多情况下，对于同一个齿轮可以通过跨不同的齿数（或齿槽数）进行跨齿距测量。齿廓修形、根切、齿顶圆的变化和标准基本齿条齿廓参数的改变会导致可用测量区域的减少。这就限制了可能的跨齿数（齿槽数）k。很多时候，特别是低宽径比的斜齿轮，无法测量跨齿距。

在下列公式中，取整符号INT意味着k等于将括号里的十进制数圆整到小于或等于最接近的整数。

（1）外齿轮，跨齿数

跨齿数（齿槽数）可用下列公式之一计算：

或者，

或近似计算，在许多情况下是满足需要的

α_vn根据表15-1-30公式（15）在V圆上计算。

在齿廓不修形，齿廓范围由齿根形状直径d_Ff和齿顶形状直径d_Fa限定时，可用跨齿数（齿槽数）k的范围可用下列公式计算：

如果齿廓进行修形，采用不修形部分的齿廓限制直径替代齿根和齿顶形状直径。

对于用户选定整数k（k_min≤k≤k_min），跨齿距用下列公式计算：

W_k=m_ncosα_n［π（k-1）+zinvα_t+zψ］=m_ncosα_n［π（k-0.5）+zinvα_t］+2xm_nsinα_n=（k-1）p_bn+s_bn

公式里的齿厚半角ψ采用表15-1-30公式（41）。

对于外斜齿轮，总是需要验算计算或选取的k是否合适。为了确定可用齿宽b_F（齿宽b减去齿端倒角或倒圆）可以满足跨齿距W_k的可靠测量，可用齿宽b_F必须等于或大于最小可用齿宽b_Fmin，b_Fmin需保证测量面和两齿廓（渐开螺旋面）的直线接触线有足够的长度。因此，必须保证一个安全的测量面接触并且使测量设备（由图15-1-34到图15-1-36中跨齿距尺寸指明的直线接触线上的点表示）的假想轴和齿廓发生线垂直。可用齿宽b_F（见图15-1-35）不小于下式计算的b_Fmin

b_F≥b_Fmin=W_ksinβ_b+b_Mcosβ_b

其中

b_M=1.2+0.018W_k

对于直齿轮，选择的整数跨齿数（齿槽数）k，测量面与齿侧面（在测量平面的对称位置，见图15-1-36）在直径为d_M的测量圆接触：

尽可能晃动测量设备使对称的测量面（晃动角度，δ_W）介于齿顶形状直径d_Fa和齿根形状直径d_Ff之间，它们是由轮齿参数决定的。

当时，采用下式

当时，见图15-1-36，采用下式

（2）内直齿轮，跨齿槽数

跨齿槽数k可用下列公式之一计算：

或者，

或近似计算，在许多情况下是满足需要的

α_v根据表15-1-30公式（15）在V圆上计算。

齿根形状直径限制最大可跨齿槽数，齿顶圆直径限制最小可跨齿槽数：

如果齿廓进行修形，采用不修形部分的齿廓限制直径替代齿根和齿顶形状直径。

对于用户选定整数k（k_min≤k≤k_min），跨齿距用下列公式计算：

W_k=m_ncosα_n（πk+｜z｜invα_t+zψ）=m_ncosα_n［π（k-0.5）+｜z｜invα_t］-2xm_nsinα_n=kp_bn-s_bn

公式里的齿厚半角ψ采用表15-1-30公式（41）。

5.6.3　法向弦齿厚和弦齿高

法向弦齿厚s_cy，是任意圆柱（Y圆柱）上一个齿两齿侧线间最短直线距离（见图15-1-37）。在计算和测量弦齿厚时，经常采用（d_a-2m_n）作为Y圆直径。

在Y圆柱上，用下列公式：

或

分度圆上的法向弦齿厚为

或

弦s_cy到外圆d_a的高度h_cy

注意：h_cy也被称为弦齿高，在端平面上计算，绝对值是用在内齿轮上。

对于分度圆弦齿厚s_c上的弦齿高h_c

5.6.4　固定弦

固定弦齿厚s_cc，是齿廓上两点间直线长度，此两点是两条成2α_t角的切线对称放置在一个齿的两侧齿廓上的切点。见图15-1-38。值得注意的是ISO 21771：2007规定固定弦齿厚适用于斜齿轮，并定义在端平面上的，与以往定义不同。

固定弦齿厚s_cc和固定弦齿高h_cc的表达式为：

相同标准基本齿条齿廓，相同变位系数的直齿圆柱齿轮，具有相同的（固定）弦齿厚s_cc，与齿数无关。因此，s_cc被称为固定弦。

5.6.5　量球（棒）测量

（1）单球径向测量尺寸

单球径向测量尺寸M_rk，对于外齿是齿轮轴线与量球最远点距离，对于内齿是齿轮轴线与量球最近点距离，量球位于两齿廓的齿槽中，见图15-1-39和图15-1-40。

量球与左右齿廓的接触点P_R和P_L应位于或接近于V圆柱。为了让接触点位于V圆柱，在斜齿轮情况下，D_M应用下式的值（该公式经修订，与ISO 21771：2007不同）：

α_Kt根据下式计算，公式不能直接求解。

对于α_n=20°的齿轮，要求在V圆柱接触的量球直径D_M可以使用图15-1-41中的图表查询，其精度是足够的。量球直径可用系数计算。

对于直齿轮，α_K可用下式直接准确地计算：

α_K=tanα_v+η_b

当量球仅需要在V圆柱附近接触，量球直径可以与计算值有细微的不同。

如果量球直径已知，量球中心点所在圆端面压力角α_Kt用下式计算（该公式经修订，与ISO 21771：2007不同）：

量球中心点所在圆直径d_K用下式计算

单球径向尺寸为

当计算测量尺寸和决定d_M圆时，为了检查量球或量棒与齿廓接触点是否在可用区域，需使用选择的量球和量棒的真实值。量球和两齿廓接触点P_L和P_R所在圆d_M，可用下式计算：

d_M圆压力角α_Mt按下式计算（该公式经修订，与ISO 21771：2007不同）：

（2）单棒径向尺寸

对于外齿轮和内直齿轮，可以用直径为D_M的量棒替代量球。单球径向尺寸公式可用于计算单棒径向尺寸，M_rZ。

（3）双球径向尺寸

对于外齿轮，双球径向尺寸是跨两球最大外尺寸；对于内齿轮，是两球间最小内尺寸。直径为D_M的两球贴靠在两个齿槽的齿面上，这两个齿槽是齿轮上相隔最远的两个齿槽。两个量球中心必须位于齿轮的同一端截面上。

对于偶数齿齿轮，见图15-1-42；双球径向尺寸M_dK可用下式计算：

对于奇数齿齿轮，见图15-1-43和图15-1-44；双球径向尺寸M_dK用下式计算：

（4）双量柱径向尺寸

对于外齿轮和内直齿轮，可以用直径为D_M的量棒替代量球。双球径向尺寸公式适用于计算偶数齿齿轮或直齿轮的双量棒径向尺寸M_dZ。奇数齿斜齿内齿轮不能用量棒替代量球，奇数齿斜齿外齿轮双棒径向尺寸可用下式计算，三棒也适用。

M_dZ=d_K+D_M

在进行奇数齿斜齿外齿轮跨棒距测量时，被测齿轮与量具均需要满足测量宽度要求，并且量具的两个接触面必须平行于齿轮轴线，如图15-1-45所示。双棒测量时两者的宽度可按照下式计算：

三棒测量时两者的宽度可按照下式计算：

其中

因为奇数齿斜齿外齿轮跨棒距的测量对齿宽和量具宽度均有要求，并且量具接触面必须平行于齿轮轴线，因此此种测量方法的难度要大于其他量球（棒）测量，使用时需注意。在实际应用中，常会出现计算公式应用不正确，测量条件不满足，和测量方法不正确，造成奇数齿斜齿外齿轮跨棒距的测量无法得到正确结果。

5.6.6　双啮中心距

双啮中心距a_L，是圆柱齿轮用标准齿轮测试零侧隙啮合时的中心距。当检查测试对象的齿厚时，它可以作为测试尺寸。对于由齿数为z的齿轮和齿数为z_L、变位系数为x_L和实际齿厚偏差E_snL为已知的测量齿轮组成的测试齿轮副，相关测试尺寸的值可用下式计算：

式中，啮合角α_L用下式计算：