4.3 数学公式
代数
因式分解
（1）（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab
（2）（a±b）2＝a2±2ab+b2
（3）（a±b）3＝a3±3a2b+3ab2±b3
（4）（a+b+c+…+k+z）2＝a2+b2+c2+…+k2+z2+2ab+2ac+…+2az+2bc+…+2bz+…+2kz
（5）a2-b2＝（a-b）（a+b）
（6）
（7）an-bn＝（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）（n为正整数）
（8）an-bn＝（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1）（n为正偶数）
（9）an+bn＝（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1）（n为正奇数）
（10）
式中二项式系数
见表1-1-41。
表1-1-44 行列式
表1-1-45 方程的解
四次方程
［ax4+cx2+e＝0］方程
ax4+cx2+e＝0
中，设y＝x2，则化为二次方程
ay2+cy+e＝0
可解出四个根为
［ax4+bx3+cx2+bx+a＝0］方程
ax4+bx3+cx2+bx+a＝0
中，设
，则化为二次方程，可解出四个根为
［x4+bx3+cx2+dx+e＝0］一般四次方程
ax4+bx3+cx2+dx+e＝0
都可化为首项系数为1的四次方程，而方程
x4+bx3+cx2+dx+e＝0
的四个根与下面两个方程的四个根完全相同：
式中y是三次方程
8y3-4cy2+（2bd-8e）y+e（4c-b2）-d2＝0
的任一实根。
阿贝耳定理
五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法（即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法）。这是阿贝耳定理。
分式
（1）分式运算
（2）部分分式
任一既约真分式（分子与分母没有公因子，分子次数低于分母次数）都可唯一地分解成形如
或
的基本真分式之和，其运算称为部分分式展开。若为假分式（分子次数不低于分母次数），应先化为整式与真分式之和，然后再对真分式进行部分分式展开。部分分式的各个系数可以通过待定系数法来确定。下面分几种不同情况介绍。
设
N（x）＝n0+n1x+n2x2+…+nrxr
G（x）＝g0+g1x+g2x2+…+gsx3
［线性因子重复］
方法一：
式中N（x）的最高次数r≤m-1；A0，A1，…，Am-1为待定常数，可由下式确定：
方法二：
式中A0，A1，…，Am为待定常数，可由下式确定：
F（x）＝f0+f1x+f2x2+…+fkxk，k≤s-1
其系数fj与m有关，由下表确定：
例 
解 依上述公式算出
此时m＝3，
所以得到
方法三： 
作变换y＝x-a，则N（x）＝N1（y），G（x）＝G1（y），上式变为
用上述的方法一和二确定出A0，A1，…，Am-1和F1（y），再将y＝x-a代回。也可按下式来确定系数A0，A1，…，Am-1：
［线性因子不重复］
方法一： 
式中N（x）的最高次数r≤2，a≠b≠c；A，B，C为待定常数，可由下式确定：
方法二： 
式中多项式F（x）的最高次数k≤s-1；A，B为待定常数，用下式确定：
A，B确定后，再用等式两边多项式同次项系数必须相等的法则来确定F（x）的各项系数。
例 
解 依上述公式算得
把A，B代入原式，通分并整理后得
比较等式两边同次项系数得
所以有
［高次因子］
［计算系数的一般方法］
1° 等式两边乘以D（x）化为整式，各项按x的同次幂合并，然后列出未知系数的方程组，解出而得。
2° 等式两边乘以D（x）化为整式，再把x用简单的数值（如x＝0，1，-1等）代入，然后列出未知系数的方程组，解出而得。
级数
（1）等差级数 a1+（a1+d）+（a1+2d）+…（公差为d，首项为a1）
第n项 an＝a1+（n-1）d
前n项和 
等差中项 若a、b、c成等差数列，则称b是a、c的等差中项，
（2）等比级数 a1+a1q+a1q2+…（公比为q，首项为a1）
第n项 an＝a1qn-1
前n项和 
等比中项 若a、b、c成等比数列，则称b是a、c的等比中项，
无穷递减等比级数的和
，（a1为首项）
（3）调和级数 设a、b、c成调和级数，则
（a-b）:（b-c）＝a：c
调和中项 
成等差级数
成等比级数
设A，G，H分别表示二数的等差中项、等比中项与调和中项
则：AH＝G2
（4）某些有穷级数的前n项和
1）
2）
3）
4）1+3+5+…+（2n-1）＝n2
5）2+4+6+…+2n＝n（n+1）
6）
7）13+33+53+…+（2n-1）3＝n2（2n2-1）
8）
9）
10）
11）
（5）某些特殊级数的和
1）
2）
3）
4）
5）
6）
7）二项级数
；｜x｜<1，称为二项级数，其中n为任意实数。此式在x＝1，n>-1及x＝-1，n>0的情况也成立。
例
（6）傅里叶级数
1）
（0<x<π）
2）
（0<x<π）
3）
（0<x<π）
4）
（-π<x<π）
5）
（-π<x<π）
6）
（0≤x<π）
7）
（0≤x≤π）
8）
（0<x<π）
9）
（-π<x<π，a≠0）
10）
（-π<x<π，a不是整数）
11）
（-π≤x≤π，a不是整数）
12）
（-π<x<π）
13）
（-π≤x≤π）
根式
（1）
（a≥0）
（2）
（a≥0）
（3）
（a>0）
（4）
（a≥0）
（5）
（a≥0，b≥0）
（6）
（a≥0，b>0）
（7）
（a≥0）
（8）
（a>b）
（9）
（10）
（a>0，b>0，a≠b）
（11）
（a≠b）
指数
（1）ax·ay＝ax+y
（2）
（3）（ax）y＝axy
（4）（ab）x＝axbx
（5）
（6）
（a≥0）
（7）
（a>0）
（8）
（a>0）
（9）a0＝1（a≠0）
（10）0n＝0
（1）～（5）式中，a>0，b>0；x、y为任意实数。
对数
（1）若a>0，a≠1，且ax＝M，则x叫做M的以a为底的对数，记作x＝logaM，M叫真数。
（2）loga1＝0
（3）logaa＝1
（4）loga（MN）＝logaM+logaN
（5）
（6）logaMn＝nlogaM
（7）
（8）
（9）
（b>0）
（10）当a＝10时，log10M记作lgM，叫常用对数。
（11）当a＝e时，logeM记作lnM，叫自然对数。
（12）logaax＝x
（13）
不等式
常用不等式
（1）设ai≥0，i＝1，2，…，n，则算术平均与几何平均满足
（2）
（3）
≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2
（4）设ai>0，i＝1，2，…，n，k是正整数，则
（5）
绝对值与不等式
绝对值定义
（1）｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜
（2）｜a-b｜≥｜a｜-｜b｜
（3）-｜a｜≤a≤｜a｜
（4）
（5）｜ab｜＝｜a｜·｜b｜
（6）
（7）若｜a｜≤b，则-b≤a≤b
（8）若｜a｜>b，则a>b或a<-b
三角不等式
1）sinx<x<tanx
2）
3）
（x>0）
4）
（x≠0）
5）
含有指数、对数的不等式
1）ex>1+x（x≠0）
2）
（x<1，x≠0）
3）
（x>-1，x≠0）
4）
（1+x）<x（x>-1，x≠0）
5）lnx≤x-1（x>0）
6）lnx≤n
（n>0，x>0）
7）（1+x）α>1+xα（α>1，x>0）
幂级数展开式
（1）指数函数和对数函数的幂级数展开式
1）
（｜x｜<∞）
2）
（｜x｜<∞）
3）
（-1<x≤1）
4）
（-1≤x<1）
5）
（｜x｜<1）
6）
（｜x｜<2π）
式中Bn为伯努利数。
7）
（｜x｜<∞）
8）
（｜x｜<∞）
（2）三角函数和反三角函数的幂级数展开式
1）
（｜x｜<∞）
2）
（｜x｜<∞）
3）
4）
（0<｜x｜<π）
式中，Bn为伯努利数
5）
（｜x｜<1）
6）
（｜x｜≤1）
（3）双曲线函数和反双曲线函数的幂级数展开式
1）
（｜x｜<∞）
2）
（｜x｜<∞）
3）
式中，Bn为伯努利数
4）
（｜x｜<1）
5）
（｜x｜<1）
平面三角
三角函数的定义
表1-1-46 三角函数在各象限的正负号
正弦：
余弦：
正切：
余切：
正割：
余割：
表1-1-47 任意角三角函数诱导公式表
表1-1-48 三角函数基本公式
表1-1-49 任意三角形常用公式
表1-1-50 任意三角形边和角的公式
①表示如a>b，则∠B<90°，这时只有一值。如a<b，则当bsinA<a时，∠B有二值（∠B2＝180°-∠B1）；当bsinA＝a时，∠B有一值即∠B＝90°；当bsinA>a时，三角形不可能。
反三角函数
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）sin（arcsinx）＝cos（arccosx）＝tan（arctanx）＝x
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）arccos（cosx）＝x，（0≤x≤π）
（13）
（14）arccot（cotx）＝x，（0<x<π）
（15）
（16）
（17）
，正负号与x同
（18）
，（x>0）
（19）
，正负号与x同
arctanx＝arccot（1/x），（x>0）arctanx＝arccot（1/x）-π，（x<0）
（20）
（21）
，0≤arccosx±arccosy≤π
（22）
（23）arcsin（-x）＝-arcsinx
（24）arccos（-x）＝π-arccosx
（25）arctan（-x）＝-arctanx
（26）arccot（-x）＝π-arccotx
复数
表1-1-51
坐标系及坐标变换
表1-1-52
常用曲线
表1-1-53
几种曲面
表1-1-54
微积分
特殊极限值
设n为正整数，x、y为任意实数。
1）
，（a>0）
2）
3）
4）
5）
6）
7）
8）
，（e＝271828…）
9）
，（γ＝0.5772156649…）
10）
（斯特林公式）
11）
（瓦利斯公式）
表1-1-55 导数基本公式
注：1.表中y、u、v为x的函数，c为常数。
2.微分公式：df（x）＝f′（x）dx；df（u）＝f′（u）du＝f′（u）φ′（x）dx。
表1-1-56 常用高阶导数公式
表1-1-57 导数与函数的增减性、极值、凸凹性、拐点之间的关系
不定积分法则和公式
定积分及公式
（1）定积分与不定积分的基本关系
式中F（x）为f（x）的任一个原函数。
（2）定积分的主要性质
1）
（k为常数）
2）
3）
4）
其中c为任意一点
5）若f（x）≤g（x）
则
，a≤b
注：（2n-1）！！＝（2n-1）（2n-3）（2n-5）…5×3×1
微积分的应用
表1-1-58 平面曲线的切线和法线方程
表1-1-59 平面曲线的曲率和曲率中心
表1-1-60 曲线的弧长
表1-1-61 平面图形的面积
表1-1-62 积分应用举例（一）
注：1.假设图形有密度μ＝1的有质量的图形的静力矩叫做图形的静矩。
2.假设图形有密度μ＝1的有质量的图形的惯性矩叫做图形的惯矩。
表1-1-63 积分应用举例（二）
注：本表是另一种类型的积分应用，它们是相应积分区域上的平均值。
常微分方程
表1-1-64 一阶微分方程
表1-1-65 二阶微分方程
（1）高阶齐次常微分方程的解
用D代表
，D2代表
……即高阶齐次常微分方程y（n）+p1y（n-1）+p2y（n-2）+…+pn-1y′+pny＝0，就可以变为含D的高次代数方程（Dn+p1Dn-1+p2Dn-2+…+pn-1D+pn）y＝0。
即 L（D）＝Dn+p1Dn-1+p2Dn-2+…+pn-1D+pn
式中，L（D）称为微分算子D的n次多项式，于是L（D）y＝0。根据代数运算法则（D-r1）…（D-rn）y＝0，即（D-r1）y＝0，…，（D-rn）y＝0，r1…rn即为此高次代数方程（称为特征方程）的根，即
；lny＝r1x+C；
；以此类推，（D-rn）y＝0，即
，所以
，这样就表示了为什么常微分方程解是erx的形式。
（2）关于一阶非齐次常微分方程的解
其特解的触法一般用常数变易法。但考虑直接用积分因子的方法更简便、直观，通解、特解一次性都解出来了。
设
，两边乘以积分因了
得：
拉氏变换
拉氏变换的定义：设函数f（t）当t≥0时有定义，并且，f（t）是连续函数或分段连续函数；f（t）的增大是指数级的，即当t充分大后满足不等式｜f（t）｜≤MeCt，其中M、C都是实常数，则
称为函数f（t）的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，并用算符“L”表示，其中，已知函数f（t）称为原函数，变换所得的函数F（s）称为象函数，s称为拉普拉斯算子。
若 L［f（t）］＝F（s），则
L-1［F（s）］＝f（t）
称为拉氏逆变换。
表1-1-66 拉氏变换的性质
表1-1-67 拉氏变换简表
应用拉氏变换解常系数线性微分方程
用拉氏变换求解时，由于初始条件已经包括在微分方程的拉氏变换中，不再像古典法需要根据初始条件求算积分常数。
当所有变量的初始条件均为零时，微分方程的拉氏变换可简单地用算子s置换
，用s2置换
，…，用sn置换
等，并将y（t），x（t）代之以象函数Y（s），X（s）后求得，所有这一切，使对微分方程的求解得到相当程度的简化。
一般步骤 设所给常系数线性微分方程为
1）对方程的两边逐项做拉氏变换（结合所给初始条件），且记L［x（t）］＝X（s），即得X（s）的一次代数方程，然后解出X（s）。
2）对X（s）的表达式两边做拉氏逆变换（可通过查拉氏变换表得到），若表达式
的右边为有理函数时，则可以将它展开成部分分式之和，并把它写成拉氏变换表中可以找到的以s为参量的简单函数，最终得出满足初始条件的解。
偏微分方程
（1）偏数分方程的解
①一般解 含任意函数的解。
②完全解 含任意常数的解。
（2）一阶线性方程
令 p表示
q表示
。
1）一般式P（x，y，z）p+Q（x，y，z）q＝R（x，y，z）。
一般解 u＝φ（v）。
在式中，u（x，y，z）＝a，υ（x，y，z）＝b为方程组
的解，u＝φ（v）为任意函数。
2）标准式
①f（p，q）＝0型
完全解 z＝ax+ky+b，
式中a，k，b为常数，满足f（a，k）＝0，
②f（x，p，q）＝0型 令q＝a代入，解出p＝φ（x，a），则
z＝∫φ（x，a）dx+ay+b
是一个完全解。
③f（y，p，q）＝0型 令p＝a代入，解出q＝φ（y，a），则
z＝ax+∫φ（y，a）dy+b
是一个完全解。
④f（z，p，q）＝0型 令q＝ap代入，解出p＝φ（z，a），则
是一个完全解。
⑤f（x，p）＝g（y，q）型 令两端各等于a解出p＝φ（x，a）q＝φ（y，a），则
ε＝∫φ（x，a）dx+∫ψ（y，a）dy+b
是一个完全解。
⑥z＝px+qy+f（p，q）型
完全解 z＝ax+by+f（a，b）
变分问题
由于20世纪60～70年代有限元方法的发展及其在工程上的广泛应用，变分原理作为其理论基础，显示出重要性。
有限元法是以变分原理为基础，吸取差分格式的思想而发展起来的一种有效的数值解法，它把求解无限自由度的选定函数归结为求解有限个自由度（Ω中待定的节点参数值的总个数）的待定问题。按分布形式的节点及其一定的节点参数子区域Ωe称为单元。
泛函的表达式：
∫Ωf（x，y，y′）dx
δ∫Ωf（x，y，y′）dx称为泛函的变分；δ∫Ωf（x，y，y′）dx＝0为泛函极值的条件。
（1）几个概念
①极值曲线（函数）。在通过已知点A、B的所有曲线（函数）y＝y（x）中［函数y（x）与y′（x）在区间［a0，a1］上连续］，求出这样的函数，使得泛函
取得极大或极小值，这样的曲线（函数）称为极值曲线（函数）y＝y0（x）。
②容许曲线。满足条件y（a0）＝b0，y（a1）＝b1的光滑曲线称为泛函的容许曲线，即通过M0（a0，b0）、M1（a1，b1）的曲线称为容许曲线。
y（x，α）＝y0（x）+α［y（α）-y0（x）］
式中，α为任意实数，易证曲线族y（x，α）中的每条曲线都属于容许曲线族。
变分δy＝y（x）-y0（x），y（x，α）＝y0（x）+αδy可以推导出在曲线y（x，α）＝y0（x）达到极值，则y＝y0（x）必为微分方程
的解。此方程是欧拉1744年得出的，故称为欧拉方程。
若F不显含x，此时泛函
于是欧拉方程可降低为一阶方程
。
（2）几个实例
①最大速降问题 坐标原点到某点M（a，b）时间最短，是走什么轨迹。根据欧拉方程
降阶欧拉方程（如果泛函不含x）
设y′＝cotθ
因此，曲线通过原点，C2＝0
旋轮线（俗称摆线）钟表中的齿轮齿形曲线不是渐开线而是摆线，其特点中心距不可分，优点精确。
②等周问题——条件泛函极值 一块钢板围成什么曲面做成的半壁料仓其容积最大。化成平面问题，定长直线，围成什么曲线使其所围面积最大。
条件：
泛函：
构造一个新函数 
，其中λ为拉格朗日乘子。
根据降阶欧拉公式
设y′＝tanθ
（x-C2）2+（y+C1）2＝λ2半径为λ的圆弧，通过（0，a）点
，求出λ，
，
③悬链线热风炉炉顶 表面积最小，散热少，热效率高。可按最小旋转曲面的方法来类似分析求出。
根据降阶欧拉方程
这是一族悬链线，将它旋转一周就得表面积最小的曲面——悬链线面，a和c将由边界条件确定。
矩阵
表1-1-68 矩阵的概念
表1-1-69 矩阵运算及其性质
表1-1-70 矩阵运算性质与数的运算性质比较
表1-1-71 分块矩阵及其运算
表1-1-72 方阵的行列式和代数余子式
表1-1-73 非奇异矩阵、正交矩阵、伴随矩阵
表1-1-74 矩阵的初等变换
表1-1-75 初等矩阵及其与初等变换的关系
注：若矩阵B可由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称矩阵B与A等价。
表1-1-76 矩阵的秩
表1-1-77 逆矩阵的计算
表1-1-78 线性方程组
常用几何体的面积、体积及重心位置
S——重心位置；An——全面积；A——侧面积；V——体积
表1-1-79
