3.3 整体刚度矩阵的集成
3.3.1 整体刚度矩阵的集成
（1）结构的总体刚度方程
在得到单元的势能以后，需要进行离散单元的装配，以求出结构的总势能。对于结构的弹性问题，可以采用叠加原理，结构总势能由两个单元的势能相加而成：
（3-16a）
将2×2阶刚度矩阵扩展为3×3阶贡献矩阵，相应的节点位移阵及节点力阵也扩展为贡献矩阵，得：
（3-16b）
由最小势能原理，结构平衡时势能取驻值，
，得结构的总体刚度方程：
（3-17a）
式（3-17a）用矩阵表示为：
Kq=P （3-17b）
式中，K为结构的总体刚度矩阵；q为结构的节点位移矩阵；P为结构的节点力矩阵。
（2）结构刚度方程的物理意义
将结构刚度方程（3-17a）展开为3个方程为：
以上3个方程实际上表示结构3个节点的内、外力平衡方程，因此结构的刚度方程就是结构的总体平衡方程。
3.3.2 整体刚度矩阵的性质
（1）对称性
整体刚度矩阵中，Kij=Kji。这个性质非常重要，利用其对称性可以在计算机中只存贮矩阵的上三角部分或下三角部分。
（2）稀疏性
整体刚度矩阵K的绝大多数元素都是零，这是因为和某一个节点相关的节点数一般不会超过9个，而整个结构若有200个节点，则矩阵K一行中的非零子块数和该行的子块总数相比不大于9/200，即在5％以下。整体网格分的越细，则K的稀疏性越突出，利用这个特点可以设法只存贮K中非零元素，从而节省存储容量。
（3）带状分布规律
整体刚度矩阵K的非零元素分布在以往对角线为中心的带状区域内，如图3-3所示。在包括对角线元素在内的半个带状区域中，每行具有的元素叫做半带宽，用d表示，d可用式（3-18）计算：
d=（单元相邻节点号的最大差值+1）×f （3-18）
图3-3 刚度矩阵的带状分布
式中，f表示节点自由度数，显然对于平面问题f=2，对于三维问题f=3。在同一离散化模型中，不同的节点编码会得到不同的半带宽d。例如图3-4（a）和（b）具有相同的网格，但图3-4（a）中相邻节点最大差值为5，按式（3-18）计算，d=12；而图3-4（b）中相邻节点的最大差值为11，d=24。两者相差一倍，故为减少d的值，节点编码应尽量顺着整体网格的短边进行。
图3-4 结构相同网格的不同编码
（4）奇异性
整体刚度矩阵是个奇异矩阵。刚度矩阵为奇异阵的物理意义是：整体结构可在无约束的条件下作刚体运动，所以解题时，必须根据支承条件对整体刚度矩阵K进行修改，即处理边界条件。