2.2 变分原理与加权余量法
2.2.1 变分原理
连续介质问题中经常存在着和微分方程及边界条件不同的但却是等价的表达形式，变分原理就是这种表达形式之一。现在讨论一个连续介质问题的变分原理，首先建立一个标量泛函，它表达成一个积分形式：
（2-22）
式中，u是未知函数；F和E是特定的算子；Ω是求解域；Γ是Ω的边界；Π则被称为未知函数u的泛函。连续介质问题的解u使泛函Π对微小的变化δu取驻值，即泛函的变分等于零：
δΠ=0 （2-23）
这种求得连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。
以广泛用于有限元变分基础的最小势能原理为例，说明变分原理和微分方程及边界条件的等价性。弹性体系统的总势能可表示为：
（2-24）
在所有区域内满足几何关系、在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的势能取最小值，此即最小势能原理。
由上式变分条件（或能量取极值条件），δΠp=0（或
），可得：
由Gauss定理可得：
由于在位移边界上δu=0，S=Sσ+Su，所以可表达成：
（2-25）
由变分的任意性，可得力平衡方程及力边界条件。
早期的有限元法建立在虚功原理和最小势能原理基础上，随着认识的加深，各国学者建立了基于不同变分原理的有限元法。如基于最小势能原理及其修正形式；基于最小余能原理及其修正形式；基于Hellinger-Reissner二场广义变分原理及其修正形式；基于Hu-Washizu三场广义变分原理及其修正形式等。
2.2.2 加权余量法
对于已知工程中问题的微分方程及边界条件，但变分的泛函尚未找到或根本不存在，就无法应用上节介绍的变分原理来建立有限元方程。基于微分方程等效积分形式的加权余量法是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法，它是一种独立的数值求解方法，可以用加权余量法来建立有限元方程。
（1）微分方程的等效积分形式
工程中很多问题的实质可以归结为未知函数应满足的微分方程及边界条件，表示为未知函数u在域Ω内满足微分方程组（表示成向量形式）：
A（u）=0 （2-26）
在边界Γ（Ω的边界）上满足边界条件：
B（u）=0 （2-27）
设V及
是任意的函数向量，则积分形式：
（2-28）
对所有的V和
都成立，就是等效于满足微分方程式（2-26）及边界条件式（2-27），我们把式（2-28）称为微分方程的等效积分形式。
（2）微分方程的等效积分弱形式
在很多情况下可以对式（2-28）进行分部积分得到另一种形式：
（2-29）
其中，C，D，E，F是微分算子，它们所包含的导数的阶数比式（2-28）中的A低，这样可降低对函数u的连续性要求，但却提高了V及
的连续性要求。由于在式（2-28）中对V及
并无连续性要求，但适当提高它们的连续性要求并不困难，因为它们都是可选择的函数。这种降低对函数u的连续性要求的做法，在有限元法中是非常重要的，因为这大大降低了单元的构造难度。式（2-29）称为微分方程式（2-26）及边界条件式（2-27）的等效积分弱形式。从形式上看弱形式对函数u的连续性要求降低了，但却常常比原始的微分方程更逼近精确解。
（3）加权余量法
对于微分方程式（2-26）及边界条件式（2-27）所表达的物理问题，未知场函数u可以采用近似函数来表示。近似函数是带有待定参数的已知函数，一般形式是：
（2-30）
式中，ai为待定参数；Ni为已知的试探函数（基函数或形函数）。把式（2-30）代入式（2-26）及式（2-27）将产生残差（也称为余量）R及
：
（2-31）
在式（2-28）中我们用n个规定的函数来代替任意函数V及
，即：
（2-32）
就可以得到近似的等效积分形式：
（2-33）
也可以写成余量的形式：
（2-34）
式（2-33）或式（2-34）的意义是通过选择待定参数a，强迫余量在某种平均意义上等于零。Wj和
称为权函数。余量的加权积分等于零就得到了一组求解方程，用以求解近似解的待定系数a，从而得到原问题的近似解。
对于等效积分弱形式［式（2-29）］，同样可以达到它的近似形式：
（2-35）
使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法，它是求微分方程近似解的一种有效方法。按照对权函数的选择不同就得到不同的加权余量法，并赋以不同的名称。常用的加权余量法有配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法，其中伽辽金法最为常用。伽辽金法将试探函数选为权函数，即：
（2-36）