3.6　消除趋势波动分析（DFA）方法

DFA（detrended fluctuation analysis）分析方法，即消除趋势波动分析法，是一种改进的随机步进的均方根分析方法，这种方法最初是由Peng等提出的^［41］。近几年，该方法在广泛学科领域中得到了发展和应用，被证明是检测非平稳时间序列的长程相关特征的最重要、最可靠的工具之一^{［42～46］}。从动力学角度讲，这种方法中变换的序列仍然残留有原序列的痕迹，与原序列保持相同的持久性或反持久性；同时，变换后能够滤除自身演化的趋势成分，剩下的离差序列主要是波动成分。因而，较其他分形分析方法，如谱分析和R/S分析而言，它具有两个优点：一是能够检测出包含于表面上看来不平稳的时间序列中内在的自相似性；二是能够避免检测出由于外在趋势而导致的明显的自相似性，即可消除人造非平稳时间序列中的伪相关现象。DFA方法的具体算法如下^{［28，41～46］}：

首先，对原始序列中的数据进行积分，积分方法如下：

　　（3-21）

式中　x_i——所需研究的时间序列；

i——时间序列中某一数据的序号，其取值范围为i=1，2，…，N；

N——时间序列的总长度；

k——积分序列中某一数据的序号，其取值范围为k=1，2，…，N；

——原始序列的平均值；

y（k）——积分信号。

其次，将积分信号y（k）等间隔地分成时间长度为n的数据段。在每一小段里，利用最小二乘法进行直线拟合，得到最小平方直线，作为这一段里数据的局部趋势。所有最小平方直线组合在一起，成为趋势信号（k），（k=1，2，…，N）。

然后对于给定的时间尺度n，用积分信号减去趋势信号，得到波动信号，具体如下：

　　（3-22）

式中　F（n）——时间尺度n下对应的波动信号。

最后，取不同的时间尺度n，重复上述两步，得到不同时间尺度n下的F（n）。通常情况下，F（n）都会随着n增加而增大。在双对数坐标下做出lgn～lg（F（n））曲线，如果满足线性关系，则存在幂律关系

F（n）∝n^α　　（3-23）

式中　α——自相似性参数，即DFA指数。

α可以表明所分析的时间序列是否具有分形性质：α=0.5时，表示研究的时间序列不存在长期相关性，任意时刻的值与前一时刻的值无关，即序列是随机的为白噪声。当α不等于0.5时，意味着时间序列中存在长期相关性，时间序列的观测值之间不是独立的，每个观测值都带着它之前所发生的所有事件的“记忆”，具体情况还可以进一步区分如下：0.5＜α＜1时，表明时间序列中存在持久的、长时程幂律形式的相关性，即过去检测的值若呈增加（减小）的趋势，未来检测的值也将呈现相同的趋势。α越接近1，这种持久性的行为就越强；若0＜α＜0.5，则意味着序列具有反持久性的长期幂律相关性，说明时间序列在前一个期间呈现增加（减小）的趋势，则在后一个期间可能存在相反的趋势，α越接近0，这种反持久性的行为就越强；当α=1时，序列为1/f噪声；当α＞1时，表明序列中相关性存在但不是幂律关系形式；而当α=1.5时，则时间序列则为布朗噪声。