2.2.1　Hausdorff维数

分形维数有多种定义和求法。在数学上，Hausdorff维数的数学定义最为严密。本书不从数学上详述其定义的方法，这里仅仅对此做一简单说明。

Hausdorff创立了Hausdorff维数，记为D_f。对于一个D_f维的几何对象，若对每个棱边长度都缩小L倍，则这个几何对象的数量相应的增大N倍。D_f、L、N三者的关系可以表述为：

　　（2-4）

两边取对数后，得到

　　（2-5）

式中　D_f——Hausdorff维数；

L——几何对象边长的缩小倍数；

N——几何对象数量的增大倍数。

这里D_f不必是整数，对具有奇异结构的分形结构，其维数一般是分数。

为了便于理解Hausdorff维数的测量原理，可以通过对传统欧氏几何体的维数测量加以说明。图2-13所示为欧氏几何的Hausdorff维数测量过程。

图2-13　欧氏几何的Hausdorff维数测量

首先，对于一条线段来说，随着观测尺度的变化，当该线段的长度缩小比例为2倍时，线段将分割为2段；当该线段的长度缩小比例为3倍时，线段将分割为3段。则该线段的Hausdorff维数为

对于一个平面（如正方形）来说，随着观测尺度的变化，当该线段的长度缩小比例为2倍时，正方形每个边将分割为2段，正方形则分割为4个小正方形；当该线段的长度缩小比例为3倍时，正方形每个边将分割为3段，正方形则分割为9个小正方形。则该线段的Hausdorff维数为

对于一个立方体（如正方体）来说，随着观测尺度的变化，当该线段的长度缩小比例为2倍时，正方体每个边将分割为2段，正方体则分割为8个小正方形；当该线段的长度缩小比例为3倍时，正方体每个边将分割为3段，正方体则分割为27个小正方形。则该线段的Hausdorff维数为

可以看出，对于传统的欧氏几何来说，Hausdorff维数也正是欧氏几何的拓扑维数。