2.1.1　海岸线的长度问题

地理学上，地理单元的长度测量，是基本的问题。在20世纪60年代之前，人们理所当然地认为，一个国家海岸线的长度是完全确定的，其准确数值仅仅取决于测量的精度和误差而已。直到1967年，一位法国的数学家Mandelbrot在Science杂志上重新提出这个问题：“英国的海岸线有多长？”^［15］，他发现海岸线测量的问题比我们想象的要复杂得多。由于海水冲刷和陆地变迁，海岸都存在曲曲折折、大小不一的凹凸海湾，呈现出极其不规则的形状。图2-1展示了一张大自然中崎岖的海岸线的照片。

图2-1　大自然中崎岖的海岸线

任何人，无论测量多么认真细致，都不可能得到唯一的答案，因为事实上根本就不会有准确的答案。英国的海岸线长度是不确定的！它完全取决于测量时所用的尺度。假如某个人乘坐飞机在一万米高空沿海岸线飞行并进行测量，由于高空中不可能分辨出许多细小的海湾和海峡，所以测量得到的海岸线长度是有限的。为了提高精确度，又乘坐飞机在一千米高空沿海岸线飞行并进行测量，此时将会看清许多原来没有看到的细部，从而测量得到的海岸线长度将会大大增加，如此等等。图2-2表示测量标尺的变小，局部得到放大，将揭示出更多的不规则海岸特征。随着观测的角度不断接近海岸，采用的量度尺度越来越精密，海岸线就显露出更多的细节，进而获得的海岸线长度就越大。可以想象，如果以分子、原子量级的尺度为测量基本单位，测得的海岸线长度将是一个天文数字。这个结果虽然没有什么实际意义，但至少说明随测量尺度变得无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的。

图2-2　海岸线示意图（测量标尺的变小，局部得到放大，揭示出更多的不规则海岸特征）

图2-3表示英国海岸线缩影图，当测量标尺越小时，测量长度将越长。所以长度已不是描述海岸线的最好的定量特征变量，为了描述大自然中不规则的海岸线的特征，需要寻找其他的参量。

图2-3　英国海岸线缩影图（测量标尺越小，测量长度越长）

图2-4中对各国海岸线长度进行测量，结果发现，所有数据均满足如下关系

L（r）∝r^1-D　　（2-1）

图2-4　各国海岸线测量结果（引自Mandelbrot，Science，1967^［15］）

即

lg［L（r）］∝（1-D）lg（r）　　（2-2）

式中　r——测量标尺的长度；

L（r）——测量标尺长度为r时得到的海岸线总长度；

D——海岸线的分形维数。

根据测量的结果，D为大于1、小于2的分数，这样，随着测量标尺越来越小，海岸线的长度将会越来越大，甚至趋于无穷。

这是非常令人吃惊的结果！作为对比，我们可以进一步看看普通几何对象的情况。例如，如图2-5所示，用多边形的周长去近似计算圆的周长。不难看出，在这个逼近过程中，测量值仍然依赖于多边形的边长，多边形边长越小，测量值也会越大，但随着边长越来越小，多边形的周长将趋近于一个极限，即圆的周长。

图2-5　多边形逼近法测量圆周长

由此可见，描述光滑曲线长度的几何方法，无法准确描述自然界中海岸线的不规则特性。