实验4 半导体霍尔系数及电阻率测量
一、实验目的
1.了解霍尔效应原理及测量霍尔元件有关参数。
2.测绘霍尔元件的VH-Is，VH-IM曲线，了解霍尔电势差VH与霍尔元件控制（工作）电流Is、励磁电流IM之间的关系。
3.学习利用霍尔效应测量磁感应强度B及磁场分布。
4.判断霍尔元件载流子的类型，并计算其浓度和迁移率。
二、实验原理
1.霍尔效应
霍尔效应是导电材料中的电流与磁场相互作用而产生电动势的效应。1879年美国霍普金斯大学研究生霍尔在研究金属导电机构时发现了这种电磁现象，故称霍尔效应。后来曾有人利用霍尔效应制成测量磁场的磁传感器，但因金属的霍尔效应太弱而未能得到实际应用。随着半导体材料和制造工艺的发展，人们又利用半导体材料制成霍尔元件，由于它的霍尔效应显著而得到实用和发展，现在广泛用于非电量检测、电动控制、电磁测量和计算装置方面。在电流体中的霍尔效应也是目前在研究中的“磁流体发电”的理论基础。近年来，霍尔效应实验不断有新发现。1980年原西德物理学家冯·克利青（K.Von Klitzing）研究二维电子气系统的输运特性，在低温和强磁场下发现了量子霍尔效应，这是凝聚态物理领域最重要的发现之一。目前对量子霍尔效应正在进行深入研究，并取得了重要应用，例如用于确定电阻的自然基准，可以极为精确地测量光谱精细结构常数等。在磁场、磁路等磁现象的研究和应用中，霍尔效应及其元件是不可缺少的，利用它观测磁场直观、干扰小、灵敏度高、效果明显。
霍尔效应从本质上讲是运动的带电粒子在磁场中受洛伦兹力的作用而引起的偏转。当带电粒子（电子或空穴）被约束在固体材料中，这种偏转就会导致在垂直电流和磁场方向上产生的正负电荷在不同侧的聚积，从而形成附加的横向电场。
如图4-1所示，磁场B位于z的正向，与之垂直的半导体薄片上沿x正向通以电流IS（称为控制电流或工作电流），假设载流子为电子（N型半导体材料），它沿着与电流IS相反的x负向运动。由于洛伦兹力fL的作用，电子即向图中虚线箭头所指的位于y轴负方向的B侧偏转，并使B侧形成电子积累，而相对的A侧形成正电荷积累。与此同时，运动的电子还受到由于两种积累的异种电荷形成的反向电场力fE的作用。随着电荷积累量的增加，fE增大，当两力大小相等（方向相反）时，fL=-fE，则电子积累便达到动态平衡。这时在A、B两端面之间建立的电场称为霍尔电场EH，相应的电势差称为霍尔电压VH。
图4-1 霍尔效应示意图
设电子按均一速度
向图示的x负方向运动，在磁场B作用下，所受洛伦兹力为fL=-eB，式中e为电子电量，为电子漂移平均速度，B为磁感应强度。
同时，电场作用于电子的力为fE=-eEH=-eVH/l。式中，EH为霍尔电场强度；VH为霍尔电压；l为霍尔元件宽度。当达到动态平衡时，fL=-fE
（4-1）
设霍尔元件宽度为l，厚度为d，载流子浓度为n，则霍尔元件的控制（工作）电流为
（4-2）
由（4-1）、（4-2）两式可得
（4-3）
即霍尔电压VH（A、B间电压）与IS、B的乘积成正比，与霍尔元件的厚度成反比，比例系数RH=1/ne称为霍尔系数，它是反映材料霍尔效应强弱的重要参数，根据材料的电导率σ=neμ的关系，还可以得到
（4-4）
式中，ρ为材料的电阻率；μ为载流子的迁移率，即单位电场下载流子的运动速率。一般电子迁移率大于空穴迁移率，因此制作霍尔元件时大多采用N型半导体材料。
当霍尔元件的材料和厚度确定时，设
（4-5）
将式（4-5）代入式（4-3）中得
（4-6）
式中，KH为元件的灵敏度，它表示霍尔元件在单位磁感应强度和单位控制电流下的霍尔电势大小，单位为mV/（mA·T），一般要求KH愈大愈好。
若需测量霍尔元件中载流子迁移率μ，则有
（4-7）
将式（4-2）、式（4-5）、式（4-7）联立求得
（4-8）
其中，VI为垂直于IS方向的霍尔元件两侧面之间的电势差；EI为由VI产生的电场强度；L、l分别为霍尔元件长度和宽度。
由于金属的电子浓度n很高，所以它的RH或KH都不大，因此不适宜作霍尔元件。此外元件厚度d愈薄，KH愈高，所以制作时，往往采用减小d的办法来增加灵敏度，但不能认为d愈薄愈好，因为此时元件的输入和输出电阻将会增加，这对锗元件是不希望的。
应当注意，当磁感应强度B和元件平面法线成一角度时（如图4-2），作用在元件上的有效磁场是其法线方向上的分量Bcosθ，此时
（4-9）
图4-2 磁感应强度B和元件平面法线成一角度时的霍尔效应
所以一般在使用时应调整元件两平面方位，使VH达到最大，即θ=0，VH=KHISBcosθ=KHISB。
由式（4-9）可知，当控制（工作）电流IS或磁感应强度B，两者之一改变方向时，霍尔电压VH的方向随之改变；若两者方向同时改变，则霍尔电压VH极性不变。
霍尔元件测量磁场的基本电路如图4-3所示，将霍尔元件置于待测磁场的相应位置，并使元件平面与磁感应强度B垂直，在其控制端输入恒定的工作电流IS，霍尔元件的霍尔电压输出端接毫伏表，测量霍尔电势VH的值。
图4-3 霍尔元件测量磁场的基本电路
在不同的温度范围，RH有不同的表达式。在本征电离完全可以忽略的杂质电流区，且主要只有一种载流子的情况，当不考虑载流子的统计分布时，对于P型半导体样品
（4-10）
式中，q为空穴电荷电量；p为半导体载流子空穴浓度。
对于N型半导体样品
（4-11）
式中，n为电子电荷电量。
考虑到载流子速度的统计分布以及载流子在运动中受到散射等因素的影响。在霍尔系数的表达式中还应引入霍尔因子A，则式（4-10）、式（4-11）修正为
P型半导体样品
（4-12）
N型半导体样品
（4-13）
A的大小与散射机理及能带结构有关。在弱磁场（一般为200mT）条件下，对球形等能面的非简并半导体，在较高温度（晶格散射起主要作用）情况下，A=1.18；在较低的温度（电离杂质散射起主要作用）情况下，A=1.93；对于高载流子浓度的简并半导体以及强磁场条件，A=1。
对于电子、空穴混合导电的情况，在计算RH时应同时考虑两种载流子在磁场偏转下偏转的效果。对于球形等能面的半导体材料，可以证明
（4-14）
式中，
，μp、μn分别为电子和空穴的迁移率；A为霍尔因子，A的大小与散射机理及能带结构有关。
从霍尔系数的表达式可以看出：由RH的符号可以判断载流子的型，正为P型，负为N型。由RH的大小可确定载流子浓度，还可以结合测得的电导率算出如下的霍尔迁移率μH
（4-15）
对于P型半导体μH=μP，对于N型半导体μH=μN。
霍尔系数RH可以在实验中测量出来，表达式为
（4-16）
式中，VH、IS、d、B分别为霍尔电势、样品电流、样品厚度和磁感应强度，单位分别为伏特（V）、安培（A），米（m）和特斯拉（T）。但为与文献数据相对应，一般所取单位为UH伏（V）、IS毫安（mA）、d厘米（cm）、B高斯（Gs），则霍尔系数RH的单位为厘米3/库仑（cm3/C）。
但实际测量时，往往伴随着各种热磁效应所产生的电位叠加在测量值UH上，引起测量误差。为了消除热磁效应带来的测量误差，可采用改变流过样品的电流方向及磁场方向予以消除。
2.霍尔系数与温度的关系
RH与载流子浓度之间有反比关系，当温度不变时，载流子浓度不变，RH不变，而当温度改变时，载流子浓度发生，RH也随之变化。实验可得|RH|随温度T变化的曲线。
3.半导体电导率
在半导体中若有两种载流子同时存在，其电导率σ为
（4-17）
实验中电导率σ可由下式计算出
（4-18）
式中，ρ为电阻率；I为流过样品的电流；Vσ、l分别为两测量点间的电压降和长度；a为样品宽度；d为样品厚度。
三、实验设备与材料
CVM200为变温霍尔效应测试系统，见图4-4。
图4-4 CVM200变温霍尔效应测量系统
该仪器系统由可换向永磁体、CME12H变温恒温器、TC202控温仪、CVM-200霍尔效应仪等组成。
系统的主要技术指标如下。
①磁场：大于3500Gs；②样品电流：2nA～200mA；③测量电压：2μV～19.999mV；④控温精度：可达±0.2℃/30min（与实验技巧有关）；⑤最小分辨率：0.01℃/K；⑥变温范围：80～320K；⑦恒温器液氮容量：200mL；⑧静态液氮保持时间：4～6h（与预抽真空有关）。
其他材料：本系统自带有两块样品，样一是美国Lakeshore公司HGT-2100高灵敏度霍尔片，厚度为0.18mm，最大工作电流≤10mA，室温下的灵敏度为55～140mV/kg；样二为锑化铟，厚度为1.11mm，最大电流为60mA，其在低温下是典型的P型半导体，而在室温下又是典型的N型半导体，相应的测试磁场并不高，但霍尔电压高，降低了对系统仪表灵敏度、磁铁磁场的要求。
四、实验内容与步骤
1.常温下测量霍尔系数RH和电导率σ
（1）打开电脑、霍尔效应实验仪Ⅰ及磁场测量和控制系统Ⅱ电源开关（以下简称Ⅰ或Ⅱ；如Ⅱ电流有输出，则按一下Ⅰ复位开关，电流输出为零）。
（2）将霍尔效应实验仪Ⅰ，＜样品电流方式＞拨至“自动”，＜测量方式＞拨至“动态”，将Ⅱ＜换向转换开关＞拨至“自动”。按一下Ⅰ复位开关，电流有输出，调节Ⅱ电位器，至电流为一定电流值时测量磁场强度（亦可将Ⅱ开关拨至手动，调节电流将磁场固定在一定值，一般为200mT即2000Gs）。
（3）将测量样品杆放入电磁铁磁场中（对好位置）。
（4）进入数据采集状态，选择电压曲线。如没有进入数据采集状态，则按一下Ⅰ复位开关后进入数据采集状态。记录磁场电流正反向的霍尔电压V3、V4、V5、V6。可在数据窗口得到具体数值。
（5）将Ⅰ＜测量选择＞拨至σ，记录电流正反向的电压V1、V2。
（6）计算霍尔系数RH，电导率σ等数据。
2.变温测量霍尔系数RH和电导率σ
（1）将I＜测量选择＞拨至“RH”，将＜温度设定＞调至最小（往左旋到底，加热指示灯不亮）。
（2）将测量样品杆放入杜瓦杯中冷却至液氮温度。
（3）将测量样品杆放入电磁铁磁场中（对好位置）。
（4）重新进入数据采集状态（电压曲线）。
（5）系统自动记录随温度变化的霍尔电压，并自动进行电流和磁场换向。到了接近室温时调节＜温度设定＞至最大（向右旋到底）。也可一开始就加热测量。
（6）到加热指示灯灭，退出数据采集状态。保存霍尔系数RH文件。
（7）将Ⅰ＜测量选择＞拨至“σ”。
（8）将测量样品杆放入杜瓦杯中冷却至液氮温度。
（9）将测量样品杆拿出杜瓦杯。
（10）重新进入数据采集状态。
（11）系统自动记录随温度变化的电压，到了接近室温时调节＜温度设定＞至最大。
（12）当温度基本不变时，退出数据采集状态。保存电导率σ文件。
五、注意事项
1.请戴手套取液氮，防止冻伤。
2.实验完毕后，一定将中心杆旋松，防止由于热膨胀系数不同，卡住聚四氟乙烯绝热塞，损坏恒温器。
3.霍尔元件及二维移动标尺易于发生折断、变形等损坏，应注意避免受挤压、碰撞等。实验前应检查两者及电磁铁是否松动、移位，并加以调整。
4.霍尔电压VH测量的条件是霍尔元件平面与磁感应强度B垂直，此时VH=KHISBcosθ=KHISB，即VH取得最大值。仪器在组装时已调整好，为防止搬运、移动中发生的形变、位移，实验前应将霍尔元件移至电磁铁气隙中心，调整霍尔元件方位，使其在IM、IS固定时，达到输出VH最大。
5.为了不使电磁铁过热而受到损害或影响测量精度，除在短时间内读取有关数据，通以励磁电流IM外，其余时间最好断开励磁电流开关。
6.仪器不宜在强光照射下、高温、强磁场和有腐蚀气体的环境下工作和存放。
六、数据记录及处理
1.数据记录
测一组室温数据，在液氮温度下，间隔10K变温测量，再记录6组数据。
2.数据处理
计算出室温下两样品的霍尔系数、载流子浓度、电阻率、霍尔迁移率。
计算出变温条件下两样品的电阻率，以温度为横坐标，电阻率为纵坐标，在坐标纸上做ρ-t关系曲线。
七、思考题
1.如何根据电场、磁场、霍尔电压的方向来判定半导体的导电类型？
2.测量样品的霍尔系数时怎样才能消除副效应？