2.1.4 梯度下降算法

1.梯度下降算法的原理

机器学习中很多问题的求解本质上都是求解优化相关的问题，找到合适的参数以期最小化损失函数值。求解类似的优化问题，有很多成熟的方法可以参考，梯度下降就是一种经典的方法。它利用梯度信息，通过不断迭代调整参数来寻找合适的解。

对于一个多元函数f（x），梯度定义为对其中每个自变量的偏导数构成的向量，用f'（x）表示，如式（2.6）所示：

考查f（x+Δx）在x处的泰勒展开，如式（2.7）所示：

要想使得f（x+Δx）<f（x），忽略高阶项，就需要f'（x）TΔx<0，也就是说，满足这个条件就可以使得函数值减小，进一步地，f'（x）TΔx=||f'（x）T||·||Δx||·cosθ，取Δx=–αf'（x），可保证更新后的x可以使得函数值减小，这里α是一个超参数，用于调整每次更新的步长，称为学习率。

机器学习中优化的目标是最小化损失函数，通过梯度下降的方法进行求解的过程分为以下几步，算法过程如代码清单2-1所示。首先，通过随机初始化为需要求解的参数赋初值，作为优化的起点；接下来，使用模型对所有样本进行预测，计算总体的损失值；然后利用损失值对模型参数进行求导，得到相应的梯度；最后基于梯度调整参数，得到迭代之后的参数。重复上述过程，直到达到停止条件。

作一个形象的比喻，梯度下降算法就像是一个人下山，他在山顶，想要达到山脚，但是山上的浓雾很大，他分不清下山的路，必须利用自己周围的信息去找到下山的路径，这时候就可以使用梯度下降算法。具体来说就是，以他当前所处的位置为基准，找到这个位置最陡峭的方向，然后朝着这个方向往山下走，每走一段路就重复上述步骤，最后就能成功到达山脚了。

梯度下降算法

2.随机梯度下降算法

前面介绍的梯度下降算法需要首先计算所有数据上的损失值，然后再进行梯度下降，这种方式在数据规模比较大时是比较低效的。主要体现在3个方面，一是数据规模大时，模型计算所有样本的时间增加；二是随着数据维度的增加，梯度计算的复杂度也会增加；三是虽然可以基于所有样本得到准确的梯度值，但是仅需进行一次参数更新，我们称这样的梯度下降算法为批梯度下降（Batch Gradient Descent）。

如果不使用全量的样本来计算梯度，而使用单一样本来近似估计梯度，就能极大地减少计算量，提高计算效率，但是这种方法是否能保证一定收敛呢？可以证明，这种算法的收敛性是可以保证的，这种方法称为随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）。

具体来说就是，每次从训练集中随机选择一个样本，计算其对应的损失和梯度，进行参数更新，反复迭代。这种方式在数据规模比较大时可以减小计算复杂度，从概率意义上来说单个样本的梯度是对整个数据梯度的无偏估计，但是它存在着一定的不确定性，因此收敛速率相比批梯度下降得更慢。

改进的方法是每次使用多个样本来估计梯度，这样可以减小不确定性，提高收敛速率。这种方法称为小批量随机梯度下降（mini-batch SGD），其中每次迭代选取的样本数量称为批大小（batch size），算法步骤如下所示。

小批量随机梯度下降