第一节 数学双基教学本质研究

一、数学双基教学的概念界定

（一）数学双基

2002年，张奠宙和李士锜指出“数学‘双基’指数学基础知识和数学基本技能，这是没有疑问的”。2006年张奠宙在《中国数学双基教学》绪论中再次明确“数学双基的定义是数学基本知识和基本技能，这不必也不能更改”。

何谓“基”？早在1962年，葛德生提及小学算术科的基础知识和基本技能时对“双基”中的“基”就作了本质探讨，他指出：“一、这些知识和技能，就数学学科本身来说，应该是重要的，而且是为以后继续学习所必需的；二、这些知识和技能是数学学科中以及在生活、生产中常用到的；三、这些知识和技能，对学生的培养和发展来说，是有需要而又有可能的。”该提法从数学学科、生活应用和学生发展等三个角度诠释了“基”，对本研究很有借鉴意义。

何谓“数学基本知识和基本技能”？我国“数学双基”的教学实践历史悠久，“数学基本知识和基本技能”的内涵也在不断丰富和发展。我国大多数学者认为“数学双基”概念是在1952年颁布的《中学数学教学大纲（草案）》中首次提出的。该草案模仿苏联教学大纲，强调要“教给学生数学的基础知识，并培养他们应用这种知识来解决各种实际问题所必需的技能和熟练技巧”。同年，《小学算术教学大纲（草案）》亦指出要“保证儿童自觉地和巩固地掌握算术知识和直观几何知识；使他们（儿童）获得实际运用这些知识的技能；培养和发展儿童的逻辑思维”。不难发现，两份草案中提及的“数学基础知识”均指向“基础性数学本体知识”；而“数学基本技能”则是指“应用数学基础知识来解决社会生活、生产中各种实际问题”。在我国古代、近代，乃至新中国成立初期的数学教学史上，这种对“数学基本技能”内涵的理解一直存在，并且由于中国传统数学是一种算法体系，其以解决社会生活、生产中的实际问题为目的，具有很强的实用性，故中国传统数学更重视“数学基本技能”。

1962年《小学算术基础知识教学和基本技能训练》中指出：“小学算术教材里讲的概念和规律（包括定义、公式、运算定律、运算性质、计算法则、解题步骤、画简单几何图形及测量的方法等）叫作基础知识；与之相关的计算、画图、测量叫作基本技能。可以这么说，所谓基础知识是从理解概念和规律的角度上来讲的，所谓基本技能是从运用概念和规律的角度上来讲的。”此处所指“数学基础知识”的内涵和外延更加清晰，而“数学基本技能”的内涵已然发生变化，这里的“基本技能”已不限于“实际应用”，而与“基础知识”融为一体，相辅相成。

1992年《九年义务教育初级中学数学教学大纲》中提及基础知识主要是指数学“概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”；基本技能是指“按照一定的程序和步骤进行运算、作图、画图和进行简单的推理”。

2003年，田中和徐龙炳从概念内涵和外延两个角度分别对“基础知识”“基本技能”进行了解读。先来看“基础知识”，从概念内涵角度，把是否划为基础知识的因素视为变量，指出这些变量包括：A——参加现代生产劳动和适应现代社会生活所必需；B——学习其他现代科学文化知识所必需；C——进一步学习数学的后继知识所必需；D——对形成科学世界观及培养良好的思想品德和个性品质所必需；E——为大多数学习者经过努力可接受；F——为升入高一级学校继续学习，衔接知识所需要；F——其他人文或地域的差别（如民族、地区）的影响。从概念外延角度，认为数学“基础知识”包括三个范围：知识——概念、公式、公理、定理、推论、法则、性质、符号等；方法——消元法、换元法、配方法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、图像法、分析法、综合法、演绎法、反证法等；思想——化归、变换、集合等。再来看“基本技能”，从概念内涵角度，田中等指出技能包括智慧技能、认知策略和动作技能，而数学技能基本上是前两类；从概念外延角度，田中等认为数学基本技能主要包括推理、运算和作图。

2004年，郑毓信提出“数学双基”的“结点说”。他基于认知角度，将数学的命题、概念、法则、公式等看成概念网络或知识网络中的结点，然后依据结点连接的广泛程度判定其重要性，进而区分出“数学基础知识”；同时，他依据问题解决时“产生式系统”应用的广泛程度，区分出“数学基本技能”。

“数学双基”概念随着时代的变化不断发展，存在两种主要趋势：第一种是“双基”名称保持不变，依据时代变化扩充“双基”内容；第二种是“双基”名称发生变化，如“三基”“四基”等。章建跃在2004年指出数学“双基”应发展为“四基”；史宁中在2006年厦门演讲时亦指出应把数学中的“双基”发展成为“四基”，并明确指出在“基础知识”和“基本技能”之外，增加“基本思想”和“基本活动经验”。

不同时代的不同学者基于不同视角对“数学双基”有着不同的解读，“数学双基”的内涵和外延也在不断丰富和发展。因本研究基于历史研究视角，故倾向于将“数学双基”放在特定历史背景中加以解读：从内涵上看，“数学双基”即“数学基础知识和基本技能”，其中“数学基础知识”是指当时历史背景下数学领域各种基础性本体知识；“数学基本技能”则是指当时历史背景下“应用数学基础知识来解决社会生活、生产中各种实际问题”。从外延上看，尽管不同时期不同历史背景下，对“基”的解读标准有所差异，但本研究认为“数学双基”应满足两个条件：其一，这些知识和技能应是当时所处历史时期相关的数学学科的基础知识和基本技能，为进一步学习数学奠定基础；其二，这些知识和技能应是当时社会生活、生产所必需的与数学相关的基础知识和基本技能。

（二）数学双基教学

“数学双基教学”即重视数学基础知识和基本技能的教学。前面已经提及，不同学者对“数学双基”内涵和外延的解读有所不同，但是学者们对于“重视数学基础知识和基本技能的教学”形成共识。那么，“数学双基教学”的本质到底是什么？不同的学者亦有着不同的观点。

先来看学者们对“双基教学”本质的解读，董远骞、汪潮、李涛等学者认为“双基教学”是一种教学理论。1984年，董远骞在《教学论》中专辟章节“双基论”，从“双基”的依据、特性等维度阐述“双基论”，并指出“双基论”是充满活力的理论，这是从我国教改经验和国外有用经验中汲取营养、不断充实的理论；1996年，汪潮等在《“双基论”的回顾与反思》中指出我国已经形成“双基教学理论”，该理论“把基础知识和基本技能作为普通中小学教学内容的核心”，该理论“植根于中国大地，对我国当代的课程实践产生了深刻的影响”;2009年，李涛在《新中国历次课程改革中的“双基”理论与实践探索》一文中提及“双基理论是在新中国60年的教育实践中形成的具有中国特色的课程理论”，初创期深受苏联教育教学理论的影响。不难发现，这些学者均认为“双基教学”是一种理论。

再来看学者们对“数学双基教学”本质的不同观点，张奠宙、张煜胤等学者倾向于把“数学双基教学”看作一种教学理论。张奠宙在《中国数学双基教学》的绪论中阐释了数学双基教学的理论框架，他指出数学双基教学包括纵向三个层次，分别是：双基基桩建设，双基模块教学，双基平台。其中双基模块教学是关键，其主要做法是：把“知识点”经过联结，形成“知识链”，然后通过“变式教学”构成“知识网络”，再提炼为“数学思想方法”，最终形成知识模块。在掌握双基模块的基础上，寻求双基的发展，这就是“双基平台”。张奠宙十分重视“双基平台”和“双基基础上的发展”，他认为“数学双基教学”作为一个特定的名词，其内涵不只限于双基本身，还包括在数学双基之上的发展。启发式、精讲多练、变式练习、提炼数学思想方法等都属于“发展”的层面，却又和数学双基密切相关。张奠宙明确指出：“中国数学双基教学，是关于如何在‘双基’基础上谋求学生发展的教学理论。”张煜胤等学者在《论中国数学双基教学的本质内涵》中指出“我们应把有显著成效的、符合国情的、适应中国师生意愿的、能贯穿于教学全过程的教学思想、方法、程序予以全面系统地研究，作出理性的科学分析，揭示出数学双基教学的内涵意义，构建起数学双基教学的理论体系”。这些学者都把“数学双基教学”视为一种教学理论，试图构建数学双基教学的理论框架和体系。

郑毓信、邵光华、顾泠沅、钱美兰等学者倾向于把“数学双基教学”看成一种教学方法或教学模式。郑毓信在《“双基”与“双基教学”：认知的观点》中指出“背诵定义、公式，重复操练，重视变式练习，精讲多练，讲深讲透，熟能生巧”等各种教学方法被看作与“数学双基教学”有直接联系，或者说，这些方法是构成“数学双基教学”的必然要求。邵光华、顾泠沅等学者认为“双基教学是注重基础知识、基本技能教学和基本能力培养的，以教师为主导、以学生为主体的，以学法为基础，注重教法，具有启发性、问题驱动性、示范性、层次性、巩固性特征的一种教学模式”。钱美兰在《有效教学理论下的数学双基教学和数学变式教学》中提及“数学双基教学模式”，认为该模式有六个教学环节，分别是：旧知复习新课导入—带着新问题新知探究—例题分析与讲解—作业巩固小结—课堂小结—课后作业布置，并且指出各个环节的目的和要求需清晰明确。

邝孔秀、宋乃庆等学者倾向于把“数学双基教学”看成一种教学体系。邝孔秀、宋乃庆在《新课程背景下的小学数学双基教学：现状与反思》中基于“国培计划”小学数学骨干教师研修班的调查，从教学目的、教学内容、教学方法和师生关系等四个方面刻画“数学双基教学”，指出：“我国小学数学双基教学在教学目的上仍以升学为基本指向，注重常规问题解法的掌握，追求解题速度，而问题解决能力、对数学的兴趣等仍未得到足够的重视；教学内容以教材为主要来源，注意引入数学故事和趣味活动，课内外练习并不明显以常规数学题、模仿性练习为主；教学方法重视学习教材，常用问答式教学，知识新授既重视复习、教师讲解，也重视适当引入教学情境，变式、小步子、一题多解、提炼解题模式等解题教学经验得到了继承，但给学生思考的机会和时间不够；教师在师生关系中仍居主导地位。”可见，邝孔秀、宋乃庆等学者把“数学双基教学”视为一个教学系统，而教学目的、教学内容、教学方法和师生关系等则是“数学双基教学”的四个要素，该观点对本研究有一定的借鉴意义。

本研究认为“数学双基教学”是指重视数学基础知识和基本技能的教学，其思想之核心特征是重视“基础性”“实用性”和“掌握性”。本研究基于前人的分析，从横向和纵向两个维度对“数学双基教学”的本质进行剖析。从横向看，“数学双基教学”是一个教学系统，主要包括数学双基教学师生观、教学目的、教学内容、教学方法和教学评价等五要素，该系统存在于一定环境中，系统各要素互相作用，形成稳定结构。从纵向看，“数学双基教学”是一种教学理论，该理论的形成和发展有着悠久的历史，并且主要历经四个历史时期：数学双基教学思想萌芽期，数学双基教学体系创立期，数学双基教学制度成型期，以及新时代背景下数学双基教学创新期。

二、数学双基教学的特征研究

张奠宙、田中等学者在《中国数学双基教学》一书中总结了我国数学双基教学的四个特点：记忆通向理解形成直觉，运算速度保证高效思维，逻辑演绎保持严谨准确，“重复”通过变式得以发展。这里提及的“记忆”“理解”“直觉”“速度”“准确”“重复”“变式”等词汇是对我国数学双基教学特征的典型概括。

邵光华、顾泠沅等从“外部特征”和“内隐特征”两个维度对双基教学的特征进行了概括，指出：双基教学外部结构特征包括课堂结构、课堂控制、教学目标、课程观和理论体系的开放性等五个方面；双基教学内隐特征则包括启发性、问题驱动性、示范性、层次性和巩固性等五个方面。

张煜胤等从数学双基教学的理性基础观、数学双基教学的文化整合观和数学双基教学注重科学发展观三方面探讨数学双基教学的特征。在谈及数学双基教学的理性基础观中指出：“数学双基教学从教育意义上应具备几个交融性特征作用：速度确定效率意义；记忆顺化理解意义；表述顺应逻辑发展意义；题型加方法生成熟练意义；问题变式衍化能力增长意义；引导控制孕育成功的意义。”

童莉、宋乃庆等在《彰显数学教育的基础性——美国数学课程焦点与我国“数学双基”的比较及思考》一文中对中美数学教育进行比较，明确了数学双基教学在“目的提出”和“内容选取”上表现出来的重视“掌握性”和“经验性”的特征，指出：在目的提出上，数学双基教学主要是“使教师明确教的内容，使学生明确学的内容，通过教师的教和学生的学，最终使学生掌握这些基本数学知识与技能，为学生的进一步发展打好坚实的基础”，并且较多使用知识与技能的目标动词“掌握”；在内容选取上，数学双基教学往往是以“是否有利于学生的进一步发展，是否有利于解决日常生活生产问题，是否为人们逐渐达成的共识来确定的”。

张红从教学文化的角度对数学双基教学的特征进行了分析，指出我国数学双基教学根植于自己的文化传统，其教学文化的特色表现为：课堂上，教师讲启、学生听练是数学双基教学课堂的主要组织形式；教学活动上，系统讲解、解题、复习、变式练习、考试等成为常规教学活动，构成了数学双基教学的一道道独特的文化风景；教学关系上，表现出学生服从教师，学习围绕教学的特点，而师生对大纲教材的一种服从关系也是数学双基教学文化的一个特色。

从以上关于我国数学双基教学的特征分析中可看出，一部分学者是从我国数学教学实践出发总结数学双基教学的特色，一部分学者或者从历史文化的角度，或者从中西比较的角度来剖析双基数学教学特征。本研究基于历史研究视角，将我国数学双基教学放在历史的、国际的背景中，纵向考察其历史发展轨迹，横向分析其与西方数学教学之差异，从而更好地理解并诠释我国数学双基教学之特征，并在此基础上概括我国数学双基教学思想之核心特征。