2.2　液体动力学方程

实际中的液压油总是流动的，所以除研究静止液体的形状外，还要研究液体运动时的规律。研究液体流动的基本方程包括连续性方程、伯努利方程和动量方程。

2.2.1　基本概念

在研究流动液体时，为了研究方便，将假设的既无黏性又无压缩性的液体称为理想液体。

液体流动时，若液体中任一点处的压力、速度和密度都不随时间而变化，则这种流动称为恒定流动（也称稳定流动）。反之，只要压力、速度或密度中有一个参数随时间变化，就称非恒定流动。

液体在管道中流动时，其垂直于流动方向的截面称为过流断面（或称通流截面）。

（1）流量　单位时间内流过某通流截面的液体的体积称为流量，用qV表示，流量的单位为m3/s，工程上也用L/min（L/min）。

（2）平均流速　液压传动是靠流动着的有压液体来传递动力，油液在油管或液压缸内流动的快慢称为流速。由于流动的液体在油管或液压缸的截面上的每一点的速度并不完全相等，因此通常说的流速都是平均流速，用v表示，流速单位为m/s。

（3）流动状态

①层流　层流是指液体流动时，液体质点没有横向运动，互不混杂，呈线状或层状的流动。

②紊流　紊流是指液体流动时，液体质点有横向运动（或产生小旋涡），做混杂紊乱状态的运动。

层流和紊流是两种不同的流态。层流时，液体的流速低，液体质点受黏性约束，不能随意运动，黏性力起主导作用，液体的能量主要消耗在液体之间的摩擦损失上。紊流时，液体的流速较高，黏性的制约作用减弱，惯性力起主导作用，液体的能量主要消耗在动能损失上。

③雷诺数　液体在圆形管路中的流动状态不仅与管内的平均流速v有关，还与管路的直径d、液体的运动黏度ν有关。实际上，液体流动状态是由雷诺数（Re）所决定的。

　　（2-6）

式中　d——管道直径，m；

v——液体流动速率，m/s；

ν——液体的运动黏度，m2/s。

雷诺数的物理意义：雷诺数是液流的惯性作用对黏性作用的比。当雷诺数较大时，说明惯性力起主导作用，这时液体处于紊流状态；当雷诺数较小时，说明黏性力起主导作用，这时液体处于层流状态。

雷诺数是液体在管路中流动状态的判别依据。液流由层流转变为紊流时的雷诺数和由紊流转变为层流时的雷诺数是不相同的，后者的数值要小，所以一般都用后者作为判断液流状态的依据，称为临界雷诺数，记作Rec。当液流的实际雷诺数Re小于临界雷诺数Rec时，液流为层流，反之为紊流。

2.2.2　连续性方程

液体流动的连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的一种具体表现形式。

如图2-7所示，密度为ρ的液体，在横截面不同的管路中定常流动时，设1、2两个不同的通流截面的面积分别为A1和A2，平均流速分别为v1和v2，那么，液体流动的连续性方程可表示为

v1A1=v2A2=常数　　（2-7）

式（2-7）说明液体在管路中作定常流动时（忽略管路变形），对不可压缩液体，流过各截面的体积流量是相等的（即液流是连续的）。因此在管路中流动的液体，其流速v和通流截面面积A成反比。

如图2-8所示，液压系统中的流量常指通过油管进入液压缸的流量。以流量为qV（m3/s）的液体进入液压缸推动活塞运动，取移动的活塞表面积为有效截面A（m2），显然，液压缸中的液体流动速度与活塞运动速度相等，且为液体平均流速度v，所以活塞的运动速度为：

v=qV/A　　（2-8）

当液压缸有效面积一定时，活塞的运动速度决定于输入液压缸的流量。

【例2-3】　如图2-8所示液压系统，液压泵流量qV=25L/min，向液压缸供油。已知液压缸活塞直径D=50mm，活塞杆直径d=30mm，进油管、回油管直径d1=d2=10mm，没有泄漏。求液压缸活塞运动速及进油管、回油管中油液的流速。能否直接用流量连续方程计算进油管、回油管中油液的流速？

解：液压泵的流量全部经进油管进入液压缸，由连续性方程可求得

进油管油液流速：

活塞运动速度：

用连续性方程计算液压缸回油管中油液流速：

所以　

不能直接用流量连续方程计算进油管、回油管中油液的流速，因为液压缸活塞将进油管和回油管隔开，液流已不连续。

2.2.3　伯努利方程

伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种具体表现形式。研究液体流动时必须考虑到黏性的影响，这使问题相当复杂，所以在开始分析时，可以假设液体没有黏性，寻找出液体流动的基本规律后，再考虑黏性作用的影响，并通过实验验证的办法对所得出的结论进行补充或修正。对液体的可压缩性问题也可以用这种方法处理。

（1）理想液体的伯努利方程　理想流体的伯努利方程表示为式（2-9）或式（2-10）的形式：

　　（2-9）

　　（2-10）

式（2-9）、式（2-10）中的第一项代表液体具有的动能，第二项代表液体具有的位能，第三项代表液体具有的压力能。

理想液体伯努利方程说明：理想液体作稳定流动时具有三种能量，即动能、位能和压力能。在同管路的任一截面上，动能、位能和压力能三种能量之间可以相互转化，但总能量保持不变，三者之和为一常数。

（2）实际液体的伯努利方程　实际液体是有黏性的，流动时会因内部摩擦而产生能量损耗。另外，管路的局部形状和尺寸的突然变化，使液体流动受到扰动，也会产生能量损耗。因此，实际液体流动时有能量损失。设两断面间流动的液体单位质量的能量损失为hW。

另外，在推导理想流体伯努利方程时，认为通流截面的各点流速相等，但实际并非如此。因此，对动能部分引入修正系数α1、α2进行相应修正。这样，实际液体伯努利方程可表示为

　　（2-11）

【例2-4】　如果如图2-9所示，液压泵的吸油口真空度不够，将导致液压泵吸油不足，影响液压系统正常工作。设油箱液面压力为p1，液压泵吸油口处的绝对压力为p2，泵吸油口距油箱液面的高度为h（吸油高度）。分析吸油高度的影响因素，并计算液压泵吸油口的真空度。

解：以油箱液面1—1截面为基准，泵的吸油口为2—2截面。对该两个截面建立实际液体的伯努利方程，则有：

考虑到如下情况：

①油箱液面与大气接触，故p1为大气压力，即p1=pa；

②v1为油箱液面下降速度，由于v1远远小于v2，可近似为v1=0；

③h1=0，h2=h；

④泵吸油口处液体的流速v2等于液体在吸油管内的流速；

⑤ΔpW为吸油管路的能量损失。

因此，上式可简化为：

所以，泵的吸油高度h和真空度pa-p2如下：

由此可见，泵的吸油高度与以下因素有关。

①减小油压力p2可以增大吸油高度，但吸油压力p2越小，吸油空真空度越大，当p2小到空气分离压力时，就会产生气穴，引起噪声。因此，为避免泵的吸油口产生气穴，泵的安装高度不能过高。

②加大吸油管直径，降低流速v2可减少动能的损失，从而增加吸油高度。

③减少液压流动中的压力损失，也能增加吸油高度。

为确保液压泵吸油充分，一般要求液压泵安装高度h<0.5m。

液压泵吸油口处的真空度体现了液压泵的吸油能力，由三部分组成：把油液提升到高度h所需的压力、将静止液体加速到v2所需的压力、吸油管路的压力损失。

2.2.4　动量方程

动量方程是动量定理在流体力学中的具体应用。在液压传动中，要计算液流作用在固体壁面上的力时，应用动量方程求解比较方便。

由动量定理可知：作用在物体上的外力等于物体在受力方向上的变化率，即

对于在管道内作稳定流动的液体，若忽略其可压缩性，可将m=ρqVΔt代入上式。并考虑以平均流速代替实际流速会产生误差，因而引入动量修正系数β，则上式变成

　　（2-12）

式中　∑F——作用在液体上所有外力矢量和；

　v1、v2——液流在前、后两个过流断面处的平均流速矢量；

β1、β2——动量修正系数，层流β=1.33，紊流β=1。

式（2-12）是个矢量方程，在运算中要按指定方向列动量方程，如在x方向的动量方程可写成

　　（2-13）

式（2-13）中的∑Fx是液流所受到的作用力，但在工程上往往需要的是固体壁面所受到的液流作用力，即∑Fx的反作用力∑F'x（称为稳态液动力）。

　　（2-14）