第1部分　电子技术基础（数字部分）

第1章　逻辑代数基础

【基本要求、重点及难点】

本章介绍了数制与码制、逻辑代数基本运算、逻辑代数基本定律和常用公式、逻辑函数的表示方法、逻辑函数的最小项及标准表达式、逻辑函数的化简方法等。应熟练掌握数制间的相互转换、常用的BCD码、逻辑代数基本运算、逻辑代数基本定律和逻辑函数化简方法；正确理解格雷码、常用公式在逻辑函数化简的应用技巧、逻辑函数常用5种表示方法及相互转换；一般了解逻辑函数最大项及标准表达式、逻辑函数公式法化简和卡诺图法化简局限性。

【基本概念的分析】

大多数自然量都是模拟量；数字量可以精确地再生，而且存储方便。数字量在自然界中以模拟形式存在，但在用计算机或数字电路处理之前必须转化为数字形式。

数字系统中之所以使用二进制，是由于“1”和“0”很容易通过三极管的“导通”和“截止”来表示，也可表示电平的高低，“1”表示高电平“5V”，“0”表示低电平“0V”。

数制是多位数码中每一位的构成方法，以及从低位到高位的进位规则，其中包括十进制、二进制、八进制和十六进制等。在任何数制中，最低位的加权因子都是1。采用对应数位的数乘以相应加权因子求和的方法，可以将各种数制转换为十进制；利用基数除法或基数乘法，可以将十进制数转换为二进制数、八进制数或十六进制数。二进制数可以通过3位组合形式转换为八进制数，也可以通过4位组合形式转换为十六进制数，整数部分从最低有效位（LSB）开始组合，然后将每组数转换为八进制数或十六进制数，最后不足3位或4位时左边用0补足，小数部分从最高有效位（MSB）开始组合（最后不足3位或4位时右边用0补足），应熟练掌握数制间的相互转换。码制是为了便于记忆和处理，在编制代码时要遵循一定的规则，应掌握常用的BCD码。

逻辑运算中的三种基本运算是与、或、非运算，与其对应的表示方式有逻辑符号、逻辑表达式和真值表。基本逻辑运算是构成复合逻辑运算的基础。常用的复合逻辑运算有与非运算、或非运算、与或非、异或及同或运算，其中的与非、或非运算是通用运算。利用这些简单的逻辑关系可以组成更复杂的逻辑运算。

逻辑代数的基本定律与常用公式是推演、变换和化简逻辑函数的依据，有些与普通代数相同，有些则完全不一样，例如摩根定理、重叠律、非非律等，要特别注意记住这些特殊的定律。

逻辑函数常用的表示方法有真值表、函数表达式、逻辑图、卡诺图和波形图等。它们各有其特点，但本质相通，可以互相转换。尤其是由真值表到逻辑图和由逻辑图到真值表的转换，直接涉及数字电路的分析设计与综合问题，更加重要，一定要掌握。逻辑函数化简是应该熟练掌握的内容。

【思考题分析解答】

1.1思考题

1.列举3个模拟量。

[答案]温度、压力、速度、质量、声音等。

提示：模拟量的变化在时间上和数值上都是连续的。

2.为什么计算机系统处理的量是数字量而不是模拟量？

[答案]因为数字量在计算机系统中容易存储和编译。

提示：计算机的键盘是按动的开关量或称数字量（“按”为1，“不按”为0）

1.2.1思考题

1.为什么数字电子技术中采用二进制？

[答案]因为它仅用两个数字“0”和“1”，可以用来表示两种不同的电平。

2.在二进制中，如何确定每个二进制位的加权因子？

[答案]用2的乘方（2n）。

提示：加权因子即为数制中的权值。

3.将（1101.0110）2转换为十进制数，将（43）10转换为二进制数。

[答案]（1101.0110）2=（13.375）10；（43）10=（101011）2。

4.八进制数每位允许使用的数是0～8吗？

[答案]不是。数制中的最大数码是N-1，八进制不可能有8这个数码。

提示：八进制有0、1、2、3、4、5、6、7这8个数字符号。

5.将（111011）2转换为八进制数，将（263）8转换为二进制数。

[答案]（111011）2=（73）8；（263）8=（10110011）2或（010110011）2。

提示：八进制数转换成二进制数时，最高位的0可以不写。

6.将（90）10转换为八进制数，将（300）10转换为十六进制数。

[答案]（90）10=（132）8；（300）10=（12C）16。

7.任何时候，将十进制数转换为其他数制都可以使用除基取余法吗？

[答案]不可以。只有整数部分可以采用除基取余法转换。

提示：应把整数和小数分开后采用不同方法转换。

8.将（01101011）2转换为十六进制数，将（E7）16转换为二进制数。

[答案]（01101011）2=（6B）16；（E7）16=（11100111）2。

1.2.2思考题

1. BCD码与二进制有什么不同？

[答案]BCD码是使用4位二进制为1组，来表示十进制数0至9；而二进制数可以任意位。

提示：应注意BCD码与二进制表示时有不同下标的。

2.将（947）10转换为BCD码，将（100001100111）BCD转换为十进制数。

[答案]（947）10=（100101000111）BCD；（100001100111）BCD=（867）10。

1.4思考题

1.利用摩根定理，可以证明或非运算等效于反相输入与运算。

[答案]或非F==；与运算AB；反相输入与运算。

2.对偶规则与反演规则有什么不同？

[答案]对偶规则是变量不变，其余要变；而反演规则是所有都要变。

3.应用何种基本定律来变换下列表达式？

（a）B+（D+E）=（B+D）+E；（b）CAB=BCA；（c）（B+C）（A+D）=BA+BD+CA+CD

[答案]（a）用的是结合律；（b）用的是交换律；（c）用的是分配律。

4.用运算规则中的一种来变换下列表达式：

（a）+AB=？　　（b）B+C=？

[答案]（a）+AB=+A；（b）B+C=B+C。

提示：利用了吸收律。

5.为什么在逻辑表达式的化简中摩根定理很重要？

[答案]在逻辑函数的化简和变换中，经常要用到这一对公式进行变换。

1.5思考题

1.什么是逻辑函数？什么是逻辑变量？逻辑变量的定义域是多少？

[答案]逻辑函数是描述输入逻辑变量和输出逻辑变量间的因果关系。逻辑变量是描述事件因果关系中所有的原因。逻辑变量的定义域：0和1。

2.逻辑函数有几种表示方法？相互如何转换？

[答案]表示方法：表达式、逻辑真值表、逻辑图、卡诺图和波形图。

转换：由真值表写出逻辑函数表达式；由逻辑函数表达式列出真值表；由逻辑函数表达式画出逻辑图；由逻辑图写出逻辑函数表达式等。

3.逻辑函数的标准表达式有几种？什么是最小项和最大项？它们有什么性质？

[答案]标准表达式有2种：最小项与或表达式和最大项或与表达式。

最小项：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。

最小项有以下性质：①在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1；②全体最小项之和为1；③任意两个最小项的乘积为0；④n个变量的最小项有n个相邻最小项。

最大项：在n个变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。

最大项有以下性质：①在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最大项的值为0；②全体最大项之积为0；③任意两个最大项之和为1；④n个变量的最大项有n个相邻最大项。

1.6思考题

1.逻辑函数有几种化简方法？各有什么特点？

[答案]公式化简法：是反复使用逻辑代数的基本定律和常用公式，消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数的最简表达式。其特点：化简方便，但需要能熟练掌握基本定律和常用公式，并有一定的应用技巧。

卡诺图化简法：化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，来消去不同的因子。其特点：容易化简，通常适用于4个逻辑变量以下的逻辑函数。

2.用卡诺图法进行逻辑函数化简时，应注意什么？无关项如何处理？

[答案]（1）圈越大越好。合并最小项时，圈的最小项越多，消去的变量就越多，因而得到的由这些最小项的公因子构成的乘积项也就越简单。

（2）每一个圈至少应包含一个新的最小项。合并时，任何一个最小项都可以重复使用，但是每一个圈至少都应包含一个新的最小项（未被其他圈圈过的最小项），否则它就是多余项。

（3）必须把组成函数的全部最小项圈完。每一个圈中最小项的公因子就构成了一个乘积项，一般地说，把这些乘积项加起来，就是该函数的最简与或表达式。

（4）有时需要比较、检查才能写出最简与或表达式。在有些情况下，最小项的圈法不止一种，因而得到的各个乘积项组成的与或表达式也会各不相同。虽然它们都包含了函数的全部最小项，但是谁是最简的，常常要经过比较、检查才能确定，而且，有时候还会出现表达式都同样是最简式的情况。

无关项处理：无关项与最小项相邻时，可以与最小项合并化简，独立无关项可以略去。

【自我测试题分析解答】

一、选择题（请将下列题目中的正确答案填入括号内）

1.c；2.c；3.b；4.a；5.c；6.c；7.a；8.a；9.c；10.c；11.a；12.c；13.c；14.b；15.a、a。

二、判断题（正确的在括号内打√，错误的在括号内打×）

1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.√；8×；9.√；10√。

三、分析计算题

1.解：比特：二进制位数的最小单位。

字节：8个比特组成的一组数，称为一个字节（byte）。

2.解：（1111111111）2=（1023）10。

3.解：（1）5610=1110002=708=3816；

（2）43910=1101101112=6678=1B716；

（3）128110=101000000012=24018=50116。

4.解：（1）F=+B+B=A+B。

提示：用了二次吸收律。

（2）F=CD+ABD+D=AD（C+B+）=AD。

提示：用了吸收律、互补律和01律。

5.解：由题目可画出卡诺图，如图1.1.1所示。

图　1.1.1

（1）F=+B；（2）F=CD+AC+。

【习题分析解答】

一、选择题（请将下列题目中的正确答案填入括号内）

1.b；2.b；3.c；4.c；5.c；6.b；7.b；8.a；9.a；10.a。

二、判断题（正确的在括号内打√，错误的在括号内打×）

1.√；2.√；3.√；4.×；5.√；6.√；7.×；8.√。

三、分析计算题

1.解：可以（通过采样和量化）。

2.解：数字信号：物理量的变化在时间和数值上都是离散的，这一类物理量称为数字量，这种数字量的信号叫数字信号。它是一种离散信号，或者说是不连续变化的信号。

数字电路：传输、处理数字信号的电路。

数字电路特点：基本单元电路比较简单，对元件的精度要求不高，便于电路集成化、系列化生产，并具有使用方便、可靠性高、价格低廉等优点。

3.解：二进制数是在数字电路中应用最广的计数体制。特点：只有0和1两个数字符号，所以计数的基数为2。

其特点是各位数的权值是2的幂，低位和相邻高位之间的进位关系是“逢二进一”。

因为有0和1两个数字符号，所以很容易表示数字电路的两种工作状态。

4.解：用4位二进制数组成一组代码来表示0～9十个数字，这种代码称为二-十进制代码（Binary Coded Decimal），简称BCD码。常见的BCD码有3种：8421码、2421码和余3码。有权码是每一位都有固定数值的码，8421码和2421码是有权码，而余3码是无权码，格雷码也是无权码。

5.解：（51.25）D=（110011.01）B=（63.2）O=（33.4）H=（01010001.00100101）8421BCD。

6.解：（1）（A4）H<（165）D<（246）O<（10100111）B。

（2）（001001010111）8421BCD<（100000001）B<（258）D<（103）H。

7.解：（1011.01）2=（11.25）10；（101101）2=（45）10；（27）8=（23）10；（5B）16=（91）10。

8.解：（13）10=（1101）2；（39.375）10=（100111.011）2；（75.5）10=（1001011.1）2。

9.解：（10101101）2=（255）8=（AD）16；（100101011）2=（453）8=（12B）16；

（11100011.011）2=（343.3）8=（E3.6）16；（110.1101）2=（6.64）8=（6.D）16。

10.解：（78）10=（01111000）8421=（10101011）余3码；

（5423）10=（0101010000100011）8421=（1000011101010110）余3码；

（760）10=（011101100000）8421=（101010010011）余3码。

11.解：（1）001000012：A超温，C超压；（2）C016=110000002：D超温超压；

（3）88H=100010002：B、D超压；（4）0248=000101002：B、C超温；

（5）4810=00110000002：C超温超压。

12.解：（1）=B+；（2）=（+）（A+）。

13.解：（1）F'=（+）；（2）F'=；（3）F'=[B+C（D+E）]。

14.解：列真值后得：（1）当A、B、C取值为001、011、110、111时，F的值为1。

（2）当A、B、C取值为011时，F的值为1。

15.解：列真值后得：（1）F1=F2；（2）F1=。

16.解：F=∑m（0，1，3，4，6，7）=ΠM（2，5）。

17.解：（1）F（A，B，C）=C++B+=C+=1；

（2）F（A，B，C，D）=CD+ABD+D=AD（C+B+）=AD（C+B+）=AD；

（3）F=++++ABCD=+ABCD=1；

（4）F=AB+AD++A　=AB+　++AD+　=A+；

（5）F=+AC+BC++E+CF=+AC+B（C+E）+　+CF

=+AC+BC+BE+　+CF=+AC+BE+　+C（B+F）

=+AC+BE+　+CB+CF=+（A+B）C+CF+BE+　

=+C+CF+BE+　=+C+BE+　=+C+BE+　；

（6）F=+BD+CDE+D=+BD+AD+CDE+D=+D。

18.解：由题画出各自的卡诺图，如图1.1.2和图1.1.3所示。合并最小项后得：

（1）AC+BC+BD；（2）++；（3）+BD+；

（4）F（A，B，C，D）=++；（5）F（A，B，C，D）=+AC+；

图　1.1.2

图　1.1.3

（6）F（A，B，C，D）=B++ACD+；（7）F（A，B，C，D）=+AB+D+AC。

19.解：互补（反函数），卡诺图略。

20.解：由题画出各自的卡诺图，如图1.1.4所示。合并最小项后得：

图　1.1.4

（1）F（A，B，C，D）=+D+D；

（2）F（A，B，C，D）=+BD+或F（A，B，C，D）=+BD+。

21.解：由题画出各自的卡诺图，如图1.1.5所示。合并最小项后得：

图　1.1.5

（1）F（A，B，C，D）=+BD；（2）F（A，B，C，D）=CD++C；

（3）F（A，B，C，D）=+D+或F（A，B，C，D）=+D+；

（4）F（A，B，C，D）=++C。

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