【考点精讲】

考点一：整数

1整数及其运算

（1）概念

①整数

整数包括任意非零自然数（如1，2，3，4，5）以及它们的负数和0。整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。在整数系中，零和正整数统称为自然数。－1、－2、－3、…、－n、…（n为非零自然数）为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。

【例1】设m，n是正整数，则能确定m＋n的值。（　　）[2018年真题]

（1）1/m＋3/n＝1；

（2）1/m＋2/n＝1。

【答案】D

【解析】条件（1），1/m＋3/n＝1，则1/m＝1－3/n＝（n－3）/n，且n≠3，则m＝n/（n－3）＝1＋3/（n－3）。由于m为正整数，则n－3＝1或3，n＝4或6，对应的m＝4或2，m＋n的值恒为8，故条件（1）充分；条件（2），1/m＋2/n＝1，则1/m＝1－2/n＝（n－2）/n，且n≠2，则m＝n/（n－2）＝1＋2/（n－2），由于m为正整数，则2/（n－2）为正整数，则n－2＝1或2，n＝3或4，对应的m＝3或2，m＋n的值恒为6，故条件（2）充分。

【例2】已知M＝{a，b，c，d，e}是一个整数集合，则能确定集合。（　　）[2014年真题]

（1）a，b，c，d，e平均值为10；

（2）方差为2。

A．条件（1）充分，但是（2）不充分

B．条件（2）充分，但是（1）不充分

C．条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

D．条件（1）充分，条件（2）也充分

E．条件（1）和（2）单独不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分

【答案】C

【解析】显然条件（1）（2）单独均不充分，将条件（1）（2）联合起来，由（1）得a＋b＋c＋d＋e＝50。由（2）得：

（a－10）²＋（b－10）²＋（c－10）²＋（d－10）²＋（e－10）²＝10

a²＋b²＋c²＋d²＋e²－20（a＋b＋c＋d＋e）＋5×10²＝10

a²＋b²＋c²＋d²＋e²＝10－5×10²＋20（a＋b＋c＋d＋e）＝10－5×10²＋20×50＝510

因为10＝0＋1＋1＋4＋4，穷举可知8²＋9²＋10²＋11²＋12²＝510，故联立起来充分。

【例3】n/14是一个整数。（　　）[2008年GRK真题]

（1）n是一个整数，且3n/14也是一个整数；

（2）n是一个整数，且n/7也是一个整数。

A．条件（1）充分，但是（2）不充分

B．条件（2）充分，但是（1）不充分

C．条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

D．条件（1）充分，条件（2）也充分

E．条件（1）和（2）单独不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分

【答案】A

【解析】条件（1），3n/14是一个整数，因为3不是14的约数，所以n是14的倍数，则n/14是一个整数，充分；条件（2），举反例，设n＝7，则n/14不是一个整数，不充分。

②整除

设a，b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q，使得等式a＝bq成立，则称b整除a或a可以被b整除，此时，b称为a的因数，a称为b的倍数。如果这样的整数不存在，则称b不能整除a。

（2）整数的运算

①加、减运算

加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

②乘法运算

乘法交换律：a×b＝b×a；

乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）；

乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。

③除法计算

从被除数的首位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小。

（3）整除判定基本法则

①能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性。

a．能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；

b．能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；

c．能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；

d．一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；

e．一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数；

f．一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。

②能被3、9整除的数的数字特性。

a．能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除；

b．一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位数字相加后被3（或9）除得的余数。

【例】从1到100的整数中任取一个数，则该数能被5或7整除的概率为（　　）。[2016年真题]

A．0.02

B．0.14

C．0.2

D．0.32

E．0.34

【答案】D

【解析】1～100中尾数为5和0的数都可以被5整除，个数为20个；1～100中能被7整除的数有14个，其中35、70同时能被5和7整除；所以，1～100中能被5或7整除的数有20＋14－2＝32。则从1～100中任取一数能被5或7整除的概率为32÷100＝0.32。

2奇数、偶数

（1）奇数和偶数的概念

不能被2整除的整数称为奇数，如1、3、5、7、9、……

能被2整除的整数称为偶数，正的偶数又称双数。

所有整数不是奇数（正的奇数又称单数），就是偶数。当n是整数时，偶数可表示为2n；奇数则可表示为2n±1。

（2）奇数和偶数的性质

①奇数±奇数＝偶数；

②偶数±偶数＝偶数；

③偶数±奇数＝奇数；

④奇数±偶数＝奇数；

⑤奇数×奇数＝奇数；

⑥偶数×整数＝偶数；

⑦任意多个偶数的和或差都是偶数；

⑧单数个奇数的和是奇数，双数个奇数的和是偶数；

⑨除2外所有的正偶数均为合数；

⑩若干个整数的连乘积，如果其中有一个偶数，乘积必然是偶数，eg：2×3×5×7＝210，4×7×9＝252；

⑪偶数的平方被4整除，奇数的平方被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1。

【例1】在年底的献爱心活动中，某单位共有100人参加捐款。经统计，捐款总额是19000元，个人捐款数额有100元，500元和2000元三种。该单位捐款500元的人数为（　　）。[2011年真题]

A．13名

B．18名

C．25名

D．30名

E．38名

【答案】A

【解析】设捐款100、500、2000的人数分别为x、y、z，由已知条件得：

由此可得

且x、y、z分别是非负整数。由4y＋19z＝90可得，z为小于5的偶数，则z只能取2或4。若z＝4，则由4y＋19z＝90可得y不是整数。

因此，将z＝2代入

解得y＝13，x＝85。因此，捐500元的有13名。

【例2】利用长度为a和b的两种管材能连接成长度为37的管道（单位：米）。（　　）[2016年真题]

（1）a＝3，b＝5；

（2）a＝4，b＝6。

A．条件（1）充分，但是（2）不充分

B．条件（2）充分，但是（1）不充分

C．条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

D．条件（1）充分，条件（2）也充分

E．条件（1）和（2）单独不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分

【答案】A

【解析】设长度为a和b的两种管材根数分别为x，y，则x、y均为非负整数。

条件（1）：当a＝3，b＝5时，方程3x＋5y＝37有非负整数解x＝9，y＝2，故条件（1）充分；

条件（2）：当a＝4，b＝6时，根据奇偶性可知，方程4x＋6y＝37没有非负整数解，故条件（2）不充分。

【例3】已知m，n是正整数，则m是偶数。（　　）[2012年真题]

（1）3m＋2n是偶数；

（2）3m²＋2n²是偶数。

A．条件（1）充分，但是（2）不充分

B．条件（2）充分，但是（1）不充分

C．条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

D．条件（1）充分，条件（2）也充分

E．条件（1）和（2）单独不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分

【答案】D

【解析】条件（1）：已知n是正整数，则2n是偶数；要使3m＋2n是偶数，则3m也必须是偶数；由于3是奇数，要使3m是偶数，则m必须是偶数，因此条件（1）充分。

条件（2）：2n²是偶数，要使3m²＋2n²是偶数，则3m²也必须是偶数；由于3是奇数，要使3m²是偶数，则m²必须是偶数，又已知m是正整数，所以m必须是偶数，因此条件（2）充分。

3质数、合数

（1）质数

质数又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1和本身两个因数的数）。

2是最小的质数，并且是唯一为偶数的质数。

【例1】设m，n是小于20的质数，满足条件|m－n|＝2的m，n共有（　　）。[2015年真题]

A．2组

B．3组

C．4组

D．5组

E．6组

【答案】C

【解析】20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，其中满足条件|m－n|＝2的{m，n}有|3－5|＝2，|5－7|＝2，|11－13|＝2，|17－19|＝2，所以满足要求的{m，n}有4组。

【例2】若几个质数（素数）的乘积为770，则它们的和为（　　）。[2014年真题]

A．85

B．84

C．28

D．26

E．25

【答案】E

【解析】770可分解为770＝7×110＝7×2×55＝7×2×5×11，这几个质数的和为：7＋2＋5＋11＝25。

【例3】p＝mq＋1为质数。（　　）[2013年真题]

（1）m为正整数，q为质数；

（2）m，q均为质数。

A．条件（1）充分，但是（2）不充分

B．条件（2）充分，但是（1）不充分

C．条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

D．条件（1）充分，条件（2）也充分

E．条件（1）和（2）单独不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分

【答案】E

【解析】条件（1）：m＝2，q＝7符合条件（1），但是p＝2×7＋1＝15不是质数，因此条件（1）不充分。

条件（2）：m＝2，q＝7符合条件（2），但是p＝2×7＋1＝15不是质数，因此条件（2）不充分；显然，将条件（1）（2）联合起来也不充分。

【例4】设a，b，c是小于12的三个不同的质数（素数），且|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝8，则a＋b＋c＝（　　）。[2011年真题]

A．10

B．12

C．14

D．15

E．19

【答案】D

【解析】由于a、b、c均为小于12的素数，可采用枚举法。小于12的素数只有2、3、5、7、11，由|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝8可知a、b、c可以是3、5、7的组合，因此a＋b＋c＝15。

（2）合数

比1大但不是素数的自然数称为合数。eg：4、6、8、9、10、12、14。

1和0既非素数也非合数。

4公倍数、公约数

（1）公倍数

①概念

公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数。

②求两个数最小公倍数的方法

首先将两个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。

eg：求45和30的最小公倍数。

45＝3×3×5

30＝2×3×5

不同的质因数是2，3，5。3，5是他们两者都有的质因数，由于45有两个3，30只有一个3，所以计算最小公倍数的时候乘两个3。即45和30的最小公倍数为2×3×3×5＝90。

（2）公约数

①概念

如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的公约数。公约数中最大的称为最大公约数。

②求两个数最大公约数的方法

首先把两个数的质因数写出来，最大公约数等于它们所有的相同质因数的乘积。

eg：求45和30的最大公约数。

45＝3×3×5

30＝2×3×5

相同的质因数是3，5。所以，45和30的最大公约数为3×5＝15。

【例1】将长、宽、高分别为12、9、6的长方体切割成正方体，且切割后无剩余，则能切割成相同正方体的最少个数为（　　）。[2017年真题]

A．3

B．6

C．24

D．96

E．648

【答案】C

【解析】要求切割成相同正方体的个数最少，则正方体边长最大为12、9、6的最大公约数3，所以正方体最少个数为12/3×9/3×6/3＝4×3×2＝24。

【例2】某种同样的商品装成一箱，每个商品的重量都超过1千克，并且是1千克的整数倍，去掉箱子重量后净重210千克，拿出若干个商品后，净重183千克，则每个商品的重量为（　　）千克。[2010年GRK真题]

A．1

B．2

C．3

D．4

E．5

【答案】C

【解析】拿出的若干商品重量为27，因此单个商品的重量一定是27的约数，选项中只有C项的3才是27的约数。

考点二：分数、小数、百分数

1分数

将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数称为分数，表示这样的一份的数称为分数单位。分数中间的一条横线称为分数线，分数线上面的数称为分子，分数线下面的数称为分母，读作几分之几。

【例1】某人需要处理若干份文件，第1小时处理了全部文件的1/5，第二小时处理了剩余文件的1/4，则此人需要处理的文件数为25份。（　　）[2017年真题]

（1）前两小时处理了10份文件；

（2）第二小时处理了5份文件。

A．条件（1）充分，但是（2）不充分

B．条件（2）充分，但是（1）不充分

C．条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

D．条件（1）充分，条件（2）也充分

E．条件（1）和（2）单独不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分

【答案】D

【解析】设此人需要处理的文件为x份。则第1小时处理了（1/5）x份，第二小时处理了（4/5）x×1/4＝（1/5）x份。

条件（1）：（1/5）x＋（1/5）x＝10⇒x＝25，因此，条件（1）充分；

条件（2）：（1/5）x＝5⇒x＝25，因此，条件（2）也充分。

【例2】现有一批文字材料需要打印，两台新型打印机单独完成此任务分别需要4小时与5小时，两台旧型打印机单独完成任务分别需要9小时与11小时，则能在2.5小时内完成此任务。（　　）[2011年真题]

（1）安排两台新型打印机同时打印；

（2）安排一台新型打印机与两台旧型打印机同时打印。

A．条件（1）充分，但是（2）不充分

B．条件（2）充分，但是（1）不充分

C．条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

D．条件（1）充分，条件（2）也充分

E．条件（1）和（2）单独不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分

【答案】D

【解析】条件（1）：若安排两台新型打印机分别同时打印，则可在小时内完成任务。因此，条件（1）充分；

条件（2）：安排一台单独需要5小时完成的新型打印机与两台旧型打印机同时打印，新型打印机2.5小时内能完成1/2的工作量，剩下1/2的工作量由两台旧型打印机完成，因此可在小时内完成。因此，条件（2）充分。

2小数

小数是实数的一种特殊的表现形式，所有分数都可以表示成小数，小数中的圆点称为小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。其中整数部分是零的小数称为纯小数，整数部分不是零的小数称为带小数。

eg：0.63是纯小数，1.59是带小数。

3百分数

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也称为百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而采用符号“%”（称为百分号）来表示。

【例1】某商品的定价为200元，受金融危机的影响，连续两次降价20%后的售价为（　　）。[2012年真题]

A．114元

B．120元

C．128元

D．144元

E．160元

【答案】C

【解析】连续两次降价后的售价＝200×（1－20%）×（1－20%）＝128（元）。

【例2】2007年，某市的全年研究与试验发展（R&D）经费支出300亿元，比2006年增长20%，该市的GDP为10000亿元，比2006年增长10%，2006年，该市的R&D经费支出占当年GDP的（　　）。[2011年真题]

A．1.75%

B．2%

C．2.5%

D．2.75%

E．3%

【答案】D

【解析】设2006年该市的GDP为x亿元，R&D经费支出为y亿元，则由题意可得：

即2006年该市的R&D经费支出占当年GDP的2.75%。

考点三：比与比例

1比

比就是由一个前项和一个后项组成的除法算式，只不过把“÷”改成了“:”（比号）而已。但除法算式表示的是一种运算，而比则表示两个数的关系。

2比例

表示两个比相等的式子称为比例。判断两个比能不能组成比例，要看它们的比值是不是相等。组成比例的四个数，称为比例的项；两端的两项称为比例的外项；中间的两项称为比例的内项。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。eg：在7:9＝21:27中，其中7与27称为比例的外项，9与21称为比例的内项，且有：7×27＝9×21＝189。

（1）正比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个数的比值（商）一定，两种量就称为正比例的量，他们的关系称为正比例的关系。如果用字母x、y表示两种关联的量，用k表示它们的比值，成正比例关系可以表示为：y:x＝k，k为定值。

eg：y:x＝8可以变形为：y÷x＝8，y＝8x。

（2）反比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就称为反比例的量，他们的关系称为反比例关系。如果用字母x、y表示两种关联的量，用k表示它们的乘积，成反比例关系可以表示为：x×y＝k，k为定值。

eg：xy＝2可以变形为：y＝2/x。

（3）比例的性质

若a:b＝c:d（b，d≠0），则有：

①ad＝bc；

②b:a＝d:c（a，c≠0）；

③a:c＝b:d；c:a＝d:b；

④（a＋b）:b＝（c＋d）:d；

⑤a:（a＋b）＝c:（c＋d）（a＋b≠0，c＋d≠0）；

⑥（a－b）:（a＋b）＝（c－d）:（c＋d）（a＋b≠0，c＋d≠0）。

（4）解比例

求比例的未知项，称为解比例，解比例需要运用比例的基本性质。因为两外项的积等于两内项的积，所以可以把两个外项和内项互相乘起来，再来解这个方程。

eg：x:3＝9:27

解：27x＝3×9，27x＝27，x＝1。

【例1】某家庭在一年总支出中，子女教育支出与生活资料支出的比为3:8，文化娱乐支出与子女教育支出为1:2。已知文化娱乐支出占家庭总支出的10.5%，则生活资料支出占家庭总支出的（　　）。[2016年真题]

A．40%

B．42%

C．48%

D．56%

E．64%

【答案】D

【解析】由题可得，文化娱乐支出:子女教育支出:生活资料支出＝3:6:16，所以，生活资料支出占家庭总支出的比例为：10.5%×16/3＝56%。

【例2】若实数a，b，c满足a:b:c＝1:2:5，且a＋b＋c＝24，则a²＋b²＋c²＝（　　）。[2015年真题]

A．30

B．90

C．120

D．240

E．270

【答案】E

【解析】由已知条件可设a＝x，b＝2x，c＝5x，根据a＋b＋c＝24，解得x＝3，所以a＝3，b＝6，c＝15，所以a²＋b²＋c²＝3²＋6²＋15²＝270。

【例3】某人驾车从A地赶往B地，前一半路程比计划多用时45分钟，平均速度只有计划的80%。若后一半路程的平均速度为120km/h，此人还能按原定时间到达B地，A、B两地相距（　　）。[2015年真题]

A．450km

B．480km

C．520km

D．540km

E．600km

【答案】D

【解析】根据题意可知，前半段路程的计划速度与实际速度比为5:4，则计划时间与实际时间之比为4:5。又因计划时间与实际时间相差45分钟，则计划时间为45×4＝180（分钟）。由“原定时间到达B地”说明后半段路程少用45分钟，即实际用时135分钟。后半段计划时间与实际时间之比为4:3。则计划速度与实际速度之比为3:4。实际速度为120km/h，则计划速度为90km/h。全程计划时间180×2＝360（分钟）＝6（小时），全程＝6×90＝540（km）。

【例4】某容器中装满了浓度为90%的酒精，倒出1升后用水将容器充满，搅拌均匀后倒出1升，再用水将容器注满，已知此时的酒精浓度为40%，则该容器的容积是（　　）。[2014年真题]

A．2.5升

B．3升

C．3.5升

D．4升

E．4.5升

【答案】B

【解析】设容器的容积为x升，则由题意得：第一次倒出1升后的浓度为

第二次倒出1升后的浓度为

解得：x＝3（升）。

考点四：数轴与绝对值

1数轴

数轴是个一维的图，整数作为特殊的点均匀地分布在一条线上。所以说数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。其中，原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素。例如：

图1-1

【例1】一辆出租车有段时间的营运全在东西走向的一条大道上，若规定向东为正向，向西为负向。且知该车的行驶的公里数依次为－10、6、5、－8、9、－15、12，则将最后一名乘客送到目的地时该车的位置是（　　）。[2008年MBA真题]

A．在首次出发地的东面1公里处

B．在首次出发地的西面1公里处

C．在首次出发地的东面2公里处

D．在首次出发地的西面2公里处

E．仍在首次出发地

【答案】B

【解析】出租车每次走的距离构成一个数列，将最后一名乘客送到目的地时该车的位置为该数列的和，即－10＋6＋5－8＋9－15＋12＝－1。

【例2】f（x）有最小值2。（　　）[2008年MBA真题]

（1）f（x）＝|x－5/12|＋|x－1/12|；

（2）f（x）＝|x－2|＋|4－x|。

A．条件（1）充分，但是（2）不充分

B．条件（2）充分，但是（1）不充分

C．条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

D．条件（1）充分，条件（2）也充分

E．条件（1）和（2）单独不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分

【答案】B

【解析】可将绝对值的意义看成是数轴上两点间的距离。条件（1），f（x）几何意义为点x到点5/12的距离和点x到点1/12的距离之和，最小值为5/12－1/12＝1/3，不充分。条件（2），f（x）几何意义为点x到点2的距离和点x到点4的距离之和，最小值为4－2＝2，充分。

2绝对值

在数轴上，表示一个数的点到原点的距离称为这个数的绝对值，绝对值用“||”来表示。在数轴上，表示数a的点到数b的点之间的距离，称为a－b的绝对值，记作|a－b|。

eg：图1-1中－5的绝对值为|－5|＝5，5－（－3）的绝对值为|5－（－3）|＝|5＋3|＝8。

【例1】已知a、b、c为三个实数，则min{|a－b|，|b－c|，|a－c|}≤5。（　　）[2017年真题]

（1）|a|≤5，|b|≤5，|c|≤5；

（2）a＋b＋c＝15。

A．条件（1）充分，但是（2）不充分

B．条件（2）充分，但是（1）不充分

C．条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

D．条件（1）充分，条件（2）也充分

E．条件（1）和（2）单独不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分

【答案】A

【解析】条件（1），由绝对值的几何意义可知，a，b，c均为[－5，5]上的点。

可设极值，令a＝5，若要使|a－b|，|a－c|均大于5，则b和c均为[－5，0）上的点，则|b－c|＜5，则条件（1）充分。

条件（2）不充分，举例：a＝30，b＝0，c＝－15，推不出结论。

【例2】已知a，b是实数，则|a|≤1，|b|≤1。（　　）[2013年真题]

（1）|a＋b|≤1；

（2）|a－b|≤1。

A．条件（1）充分，但是（2）不充分

B．条件（2）充分，但是（1）不充分

C．条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

D．条件（1）充分，条件（2）也充分

E．条件（1）和（2）单独不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分

【答案】C

【解析】条件（1）：取a＝－4，b＝3，虽满足|a＋b|＝1≤1，但|a|＝4，|b|＝3，显然不满足|a|≤1，|b|≤1，因此条件（1）不充分；

条件（2）：取a＝4，b＝3，虽满足|a－b|＝1≤1，但|a|＝4，|b|＝3，显然不满足|a|≤1，|b|≤1，因此条件（2）不充分；

将条件（1）（2）联合来，由|a＋b|≤1且|a－b|≤1得（a＋b）²≤1且（a－b）²≤1，即a²＋2ab＋b²≤1且a²－2ab＋b²≤1，可得2（a²＋b²）≤2。由于a²≥0且b²≥0，因此|a|≤1且|b|≤1，因此条件（1）（2）联合起来充分。

【例3】若实数a，b，c，满足

则abc＝（　　）。[2011年真题]

A．－4

B．－5/3

C．－4/3

D．4/5

E．3

【答案】A

【解析】由于等式左边每项都大于或等于零，则可得左边整式中的三项都为0，因此：

可得abc＝－4。

【例4】已知实数a，b，x，y满足

和|x－2|＝y－1－b²，则3^x＋y＋3^a＋b＝（　　）。[2009年真题]

A．25

B．26

C．27

D．28

E．29

【答案】D

【解析】将

|x－2|＝y－1－b²

两式相加得到：

（两个绝对值相加不可能为负）

可得a＝b＝0，则

即x＝2。

将x＝2，a＝0代入

可得到y＝1，故x＋y＝3。

因此3^x＋y＋3^a＋b＝28。