三、计算题

1某消费者效用函数为u（x，y）＝xy，消费者最初收入为100。分别考虑商品x的价格从p_x＝2下降为p_x′＝1；从p_x＝1上升为p_x′＝2。两种价格变化下斯勒茨基替代效应和收入效应相同吗？

解：两种价格变化下斯勒茨基替代效应和收入效应不同。

由消费者的效用函数可得需求函数为：x＝m/（2p_x），y＝m/（2p_y）。

（1）从p_x＝2下降为p_x′＝1的斯勒茨基收入效应和替代效应

设m′为恰好能支付得起原最优消费束的货币收入，可得：

m′＝m＋x（p_x，m）×（p_x′－p_x）＝100＋25×（1－2）＝75

则斯勒茨基替代效应为：∆x^s＝x（p_x′，m′）－x（p_x，m）＝75/（1×2）－100/（2×2）＝12.5。

收入效应为：∆xⁿ＝x（p_x′，m）－x（p_x′，m′）＝100/（1×2）－75/（1×2）＝12.5。

（2）从p_x＝1上升为p_x′＝2的斯勒茨基收入效应和替代效应

设m′为恰好能支付得起原最优消费束的货币收入，可得：

m′＝m＋x（p_x，m）×（p_x′－p_x）＝100＋50×（2－1）＝150

则斯勒茨基替代效应为：∆x^s＝x（p_x′，m′）－x（p_x，m）＝150/（2×2）－100/（1×2）＝－12.5。

收入效应为：∆xⁿ＝x（p_x′，m）－x（p_x′，m′）＝100/（2×2）－150/（2×2）＝－12.5。

因此，两种价格变化下斯勒茨基替代效应与收入效应刚好互为相反数。

2某消费者效用函数为u（x，y）＝xy，消费者最初收入为100，如果商品x的初始价格p_x＝2，现在变为p_x′＝1，计算价格变动对商品x的希克斯替代效应和收入效应。

解：由消费者的效用函数可得需求函数为：x＝m/（2p_x），y＝m/（2p_y）。因此初始的最优选择为：x＝100/（2×2）＝25，y＝100/（2p_y）＝50/p_y，u₀＝xy＝25×50/p_y。

收入不变，价格变动后，x′＝100/（2×1）＝50，即总效应为x′－x＝50－25＝25。

希克斯替代效应要求保持消费者的效用不变。当p_x′＝1时，消费者应该选择消费束（x″，y″），此消费束需要满足x″y″＝25×50/p_y，且1/p_y＝y″/x″，联立解得：x″＝25×2^1/2，即希克斯替代效应为x″－x＝25×2^1/2－25＝25（2^1/2－1）≈10.36。

则希克斯收入效应＝总效应－希克斯替代效应＝25－（25×2^1/2－25）＝25（2－2^1/2）≈14.64。