第10章 跨时期选择
一、判断题
1利率上升必然引起给定正收入流现值的减少。（ ）
【答案】T
【解析】正收入流的现值为：m/（1＋r）。当利率上升，正收入流的现值必然减少。
2如果消费者可以以相同的利率进行借贷，那么消费者可以负担起一项消费现值等于收入现值的消费计划。（ ）
【答案】T
【解析】消费者以同样的利率进行借贷，那么预算约束方程为：c1＋c2/（1＋r）＝m1＋m2/（1＋r）。方程左边为消费的现值，右边为收入的现值。如果消费的现值等于收入的现值，消费是可行的。
3当利率是5%时，某消费者是一个净借款者，但利率是25%时，该消费者是一个净储蓄者。利率从5%增长至25%可能会使该消费者境况变坏。（ ）
【答案】T
【解析】如果利率下降后，消费者从贷款者变成了借款者，那么他的情况就无法判断是变好还是变坏。如图10-1所示，假设利率降低后，消费者的最优选择点为C点，此时消费者选择了在以前预算条件下无法选择的点，但这并不表明对消费者而言C点比A点境况更好，因而此时无法判断消费者的境况变化。同理，利率上升使得消费者由借款者变成了储蓄者，消费者的境况变化也是无法判断的。
图10-1 利率下降后消费者的境况变化
4如果利率小于通货膨胀率，理性人就不会存钱。（ ）
【答案】F
【解析】考虑通货膨胀因素，消费者跨期选择的效用最大化条件为：MRS1，2＝1＋ρ，其中ρ为实际利率。利率小于通货膨胀率，意味着ρ＜0。但是只要1＋ρ＞0，那么预算线与无差别曲线的切点仍可能位于禀赋点上方，即仍然可能会进行储蓄。
5若名义利率为3%，物价每年下降2%，则实际利率大约为5%。（ ）
【答案】T
【解析】由实际利率等于名义利率减去通货膨胀率，则实际利率为r＝i－π＝3%－（－2%）＝5%。
6假设消费者在时期1和时期2拥有的货币量为（m1，m2），并且假设消费者将货币从时期1转到时期2的唯一途径是通过不生息的储蓄，则他在时期2最多只能花费m2。（ ）
【答案】F
【解析】既然消费者可以通过不生息的储蓄来把时期1的货币转到时期2，又因为消费者在时期2拥有的货币量为m2，因此消费者在时期2的花费就完全可以大于m2。
7假定消费者的预算约束和对两个时期中每个时期的消费偏好已给定，如果消费者最初是一个贷款者，那么利率上升后他还是一个贷款者。（ ）
【答案】T
【解析】当消费者为一个贷款者时，本身说明其对未来消费偏好甚于对现期消费。而当利率上升时，说明现期消费的成本增加，这样将增强消费者对未来消费的偏好，故他将贷更多的款。
8在跨时期选择下，消费者的偏好同样有完全替代、完全互补以及良好性状的情况。（ ）
【答案】T
【解析】在跨时期选择下，如果消费者的偏好为完全替代，这说明消费者并不在乎是今天消费还是明天消费，此时边际替代率为－1；如果消费者的偏好为完全互补，这说明消费者想要使今天的消费量等于明天的消费量，他将不愿意用一个时期的消费来替代另一个时期的消费，而不管这样做对他是否值得；如果消费者的偏好为良好性状，这说明消费者愿意将今天一部分的消费来替代明天的消费，而究竟愿意替代多少，这又取决于其特有的消费形式。
9利率变动的效应分为两部分：一部分为替代效应，利率上升，替代效应趋于鼓励储蓄；另一部分为收入效应，收入效应趋于减少储蓄。（ ）
【答案】T
【解析】当利率上升时，当期的消费价格上涨，替代效应会减少当期的消费，因此趋向于鼓励储蓄；消费为正常品，利率上升导致收入增加，收入效应使得当期消费增加，从而趋于减少储蓄。
二、单项选择题
1如果现在与将来消费的都是正常商品，利率上升一定会使（ ）。
A．储蓄者存钱更多
B．借款者借钱更少
C．减少每个人的现在消费
D．每个人的境况更坏
【答案】B
【解析】如果一个人是储蓄者，利率上升后，他仍然会是一个储蓄者，此时他的境况变好。但是无法判断他是否储蓄更多，因为收入效应与替代效应方向相反；如果一个人是借款者，利率上升后，预算线绕禀赋点旋转，若消费者仍然做一个借款者，那么新的消费一定在禀赋点的右边初始消费的左边。此时借款者借钱将更少。
2某消费者的效用函数为u（c1，c2）＝min{c1，c2}，c1、c2分别为时期1和时期2的消费量。该消费者在时期1赚了189元，将会在时期2赚到63元。他可以10%的利率进行借贷，并且没有通货膨胀，则该消费者（ ）。
A．会存60元
B．会借60元
C．不会进行借贷
D．会存124元
【答案】A
【解析】根据效用函数可得：c1＝c2。消费者跨期消费的预算约束方程为：c1＋c2/（1＋r）＝m1＋m2/（1＋r）。则c1＋c2/（1＋10%）＝189＋63/（1＋10%），联立可得：c1＝c2＝129。因此，消费者第一期将会存60元。
3若消费者将时期1的一单位消费看作时期2的一单位消费的完全替代品，且实际利率为正值，则消费者（ ）。
A．只在时期1消费
B．只在时期2消费
C．每个时期消费相同
D．如果收入弹性大于1则在时期1的消费大于时期2，否则在时期2的消费大于时期1
【答案】B
【解析】消费者的效用函数为：u（c1，c2）＝c1＋c2，实际利率为正，说明名义利率大于通货膨胀率，选择把时期1的收入全部储存起来用于时期2的消费，能够使消费者的效用最大化。因此消费者只在时期2消费。
4若名义利率为5%，通货膨胀率为6%，则理性消费者（ ）。
A．由于实际利率是负的，不会储蓄
B．会储蓄少于其收入的1%
C．只由名义利率决定，不管通货膨胀率为多少都会储蓄相同的数量
D．即使实际利率为负也有可能储蓄
【答案】D
【解析】考虑通货膨胀因素，消费者跨期选择的效用最大化条件为：MRS1，2＝1＋ρ，其中ρ为实际利率。可知预算线的斜率为－（1＋ρ）。当ρ＞－1，随着实际利率越来越小，消费者可能更多地选择第一期消费，减少第二期消费，本题中ρ＝－1%，预算线还是向右下方倾斜的，因此尽管实际利率为负，但是只要1＋ρ＞0，那么预算线与无差异曲线的切点仍可能会位于禀赋点上方，即仍然可能会进行储蓄。
5某消费者在时期1的收入为300元，在时期2的收入为625元。她的效用函数为u（c1,c2）＝c10.8c20.2。其中c1、c2分别是她在时期1与时期2的消费量。利率为0.25。如果她出乎意料中了彩票，在时期2会得到奖金，即她的收入在时期2将为1250元，时期1的收入仍为300元，则她在时期1的消费量将会（ ）。
A．加倍
B．增加400元
C．增加150元
D．保持不变
【答案】B
【解析】效用函数为u（c1,c2）＝c10.8c20.2。则效用最大化条件为：
当第二期收入为625，跨期消费的预算约束为：c1＋c2/（1＋25%）＝300＋625/（1＋25%）＝800。与效用最大化条件联立可得：c1＝640，c2＝200；当第二期收入为1250，跨期消费的预算约束为c1＋c2/（1＋25%）＝1300。与效用最大化条件联立可得：c1＝1040，c2＝325。时期1的消费量增加400。
6若名义利率为80%，通货膨胀率为50%，则实际利率为多少？（ ）
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
【答案】B
【解析】设实际利率为ρ，则（1＋r）/（1＋ρ）＝1＋π，代入数据可得：ρ＝20%。
7若通货膨胀率比利率高，则（ ）。
A．应该在第一时期消费掉所有的财富
B．将钱藏在家里床底下会比存入银行更好（假定没有被偷的风险）
C．消费必然会少于当通货膨胀率比利率低时
D．以上都不对
【答案】D
【解析】考虑通货膨胀因素，消费者跨期选择的效用最大化条件为：MRS1，2＝1＋ρ，其中ρ为实际利率。可知预算线的斜率为－（1＋ρ）。A项，当ρ＞－1，随着实际利率越来越小，消费者可能更多地选择第一期消费，减少第二期消费，此时消费者不可能在第一期消费掉所有的财富，否则就不能使效用最大化；B项，存入银行至少还可以得到名义利率，而自己储存起来则损失更多；C项，假设消费者在第一时期储蓄，实际利率下降，第一期消费具有负的替代效应和正的收入效应，因此，消费可能增加也可能减少。
8用（C1，C2）表示消费者在时期1和时期2的消费量，并假设每个时期的消费价格为1，每个时期拥有的货币量为（m1，m2），如果允许消费者按利率r借贷货币，那么下列说法错误的是（ ）。
A．此时消费者在时期2的消费为C2＝m2＋（1＋r）（m1－C1）
B．当m1＝C1时，消费者处于“波洛厄尼斯点”
C．当m1－C1＜0时，消费者是贷款者，即储蓄者
D．此时消费者的预算线为C1＋C2/（1＋r）＝m1＋m2/（1＋r）
【答案】C
【解析】A项，由于每个时期消费的价格为1，所以时期1储蓄的货币为m1－C1，在利率为r的情况下，这笔储蓄到时期2就变成了（1＋r）（m1－C1），因此时期2的消费为m2＋（1＋r）（m1－C1）。B项，当m1＝C1时，消费者既不储蓄，也不借款，这种情况下，消费者处于“波洛厄尼斯点”。C项，消费者在时期1的收入小于消费，因此消费者向别人借款，而不是贷款。D项，将A项中的表达式调整变形即可得到该条预算线。
9下列哪个情况中居民会增加他们的储蓄量？（ ）
A．预期的未来收入小于现期收入，或利率下降
B．预期的未来收入小于现期收入，或利率上升
C．预期的未来收入大于现期收入，或利率下降
D．预期的未来收入大于现期收入，或利率上升
【答案】B
【解析】AC两项，当利率上升时，当期的消费价格上涨，替代效应会减少当期的消费，因此趋向于鼓励储蓄，利率下降时则相反；BD两项，居民的现期收入大于居民的未来预期收入，为了平滑消费，居民必然会增加当期储蓄。
10关于跨时期选择的比较静态分析，下列说法错误的是（ ）。
A．如果用横轴代表时期1，纵轴代表时期2，那么利率上升一定使消费者预算线变得更为陡峭
B．如果消费者初为贷款者，那么在利率上升时，消费者的状况会变差
C．如果消费者初为贷款者，那么在利率下降时，他在时期2的消费肯定减少
D．如果消费者初为借款者，那么在利率下降时，消费者的状况一定改善
【答案】B
【解析】消费者初为贷款者，在利率上升时，如果他仍然选择做一个贷款者，那么他的境况会变好。
11假设某个消费者只活两个时期，在时期1他能够获得收入400000，在时期2他会退休，并靠他的储蓄生活。该消费者具有柯布-道格拉斯形式的效用函数，其中C1是他时期1的消费量，C2是他时期2的消费量。实际利率是r。那么（ ）。
A．如果利率上升，该消费者在时期1将会储蓄更多
B．如果利率上升，该消费者在时期1将会储蓄更少
C．利率变化的影响是不确定的，但是消费者肯定会根据利率的变化重新确定每一期的消费量
D．利率的变化不会影响他的储蓄量
【答案】D
【解析】消费者的预算约束为：C1＋C2/（1＋r）＝400000，设柯布-道格拉斯的效用函数为：
U（C1,C2）＝C1αC2β
构造拉格朗日函数为：
效用最大化的一阶条件为：
解得：C1＝[α/（α＋β）]×400000。时期1的消费量C1不会随着利率的变化而变化，因此利率变化也不影响其储蓄量。
三、简答题
1请画图说明一个借款者当利率上升以后是否一定还是一个借款者，并简要说明原因。
答：当利率上升以后，一个借款者可能仍然做一个借款者，也有可能使借款者变成一个贷款者。理由如下：
图10-2 利率上升对借款者的影响
如图10-2所示，c1＞m1，表明消费者是一个借款者。原有的跨期预算约束线为AB，利率的上升会使得跨期预算约束线围绕初始禀赋点（m1，m2）点顺时针旋转到EF，变得更陡峭。当利率上升后，消费者可以选择新的最优消费束为E1，表明消费者从一个借款者变成一个贷款者；消费者可以选择新的最优消费束为E2，表明消费者仍然是一个借款者。
2很多人认为，造成美国金融危机的真正原因是美国人的“过度消费”，也就是说，在消费者跨期选择模型中美国人是借钱者，而不是储蓄者。
（1）画出借钱者的跨期选择模型，并讨论利率变化对借钱者的影响；
（2）解释为什么说导致美国人过度消费的一个重要诱因是美联储的低利率政策（提示：利率下降可能使一个储蓄者变成借钱者）；
（3）如果存在着“借贷约束”（当前消费不能超过当前收入），上述模型会发生什么变化？
答：（1）借钱者的跨期选择模型如图10-3所示。借款者的第一期消费大于第一期收入。
当利率下降时，因为消费者一开始是借款者，那么这意味着借款的成本降低，他仍然会选择做一个借款者。
当利率上升时，对于一个借款者来说，这意味着他下一时期必须支付更多的利息。这种效应促使他在时期1减少借款，从而减少消费。因此，他可能会转而做一个贷款者。但是，如果他继续做一个借款者，那么在新的利率水平下，他的福利一定会减少，如图10-3所示。
图10-3 利率上升使一个借款者的境况变坏
（2）如果消费者一开始是借款者，那么，利率下降使得他的真实收入增加（还债的利息减少），因此他会增加当期的消费；同时，利率下降意味着未来的消费价格上升，替代效应同样会增加当期消费。因此，他仍然是一个借款者。另一方面，如果消费者是一个贷款者，那么利率下降时他有可能转变为一个借款者，增加当期消费。所以说美联储的低利率是导致美国人过度消费的一个重要诱因。
（3）存在“借贷约束”的情况下，跨期选择模型如图10-4所示。消费者的第一期消费必须小于等于第一期的收入。如果消费者在没有“借贷约束”时是一个借款者，那么在存在“借贷约束”的情况下，消费者只能将当期收入完全消费，即其选择禀赋点进行消费。当利率下降时，消费者不受影响；当利率上升时，有可能会改变使其变为贷款者。另一方面，如果消费者在没有“借贷约束”时是一个贷款者，那么当利率上升时，消费者仍然是一个贷款者；当利率下降时，消费者会增加当期消费，但由于存在“借贷约束”，他最多只能在禀赋点进行消费。
图10-4 “借贷约束”下的跨期选择模型
3（1）证明：如果当前和未来消费的都是正常商品，利率上升肯定会使储蓄者选择在第二期消费更多。
（2）如果当前和未来消费的都是正常商品，利率上升一定会使储蓄者储蓄更多吗？为什么？
（3）仿照消费的替代效应与收入效应推导跨期选择的总效应公式，并结合图形加以说明。
证明：（1）假设当前和未来的消费分别为C1和C2，当前和未来的收入分别为m1和m2，利率为r，则有以下关系：C1＝m1－S，C2＝m2＋（1＋r）S。由于该参与人为储蓄者，则S＞0，从而储蓄者的第二期消费与利率呈正相关关系，所以利率上升会使储蓄者选择在第二期消费更多。
（2）不一定。一般来说，刚开始随着利率的上升储蓄者会增加第二期消费和第二期储蓄。随着利率上升到一定数量以后，利率的上升会使两期的消费都增加并减少第一期的储蓄。
由C1＝m1－S，C2＝m2＋（1＋r）S，可得：C1＋C2/（1＋r）＝m1＋m2/（1＋r），C1＝m1－C2/（1＋r）＋m2/（1＋r），则：
对于储蓄者来说，必有C1＜m1，若只有两期，则对应有C2＞m2。此时有：
但由于无法获知二期消费对利率的反应程度，因此dC1/dr的符号未知。即当利率上升时，储蓄者可能储蓄更多，也可能储蓄更少。
（3）消费者的跨期收入和消费通过利率联系起来，实际利率的变动能够影响消费者的跨期消费决策。现实中存在两种情况，即消费者在第一期有可能进行储蓄或者借贷，为了简化分析，这里只讨论储蓄的情况。假定消费者在第一期储蓄，由于预算约束线的斜率为－（1＋r），r上升会使得预算约束线围绕两期收入的组合（y1，y2）点顺时针旋转，变得更陡峭，从而影响消费者在两个时期的消费决策。如图10-5所示，随着r的上升，预算约束线由AB顺时针旋转为A′B′，最优消费组合由E0点移动到E1点，即第一期消费减少，第二期消费增加。
图10-5 真实利率变动对消费决策的影响
实际利率上升对消费的影响可分解为两种效应：收入效应和替代效应。收入效应即利率的上升使得消费者实际收入增加，从而可以向更高的无差异曲线移动，并把增加的收入分摊到两期消费中。替代效应即两期消费的相对价格变动造成两期消费量的变动。在第一期储蓄的前提下，利率的上升会使得第二期消费相对于第一期消费变得更便宜。也就是说由于储蓄赚到的利息更多，消费者减少1单位第一期消费可得到更多的第二期消费，则消费者应该在第一期减少消费，而在第二期增加消费。
显然，在利率上升的情况下，收入效应和替代效应都增加了第二期的消费，但两种效应对第一期消费的影响是相反的，可能增加也可能减少第一期消费。因此，利率的上升既可能刺激也可能抑制储蓄，这取决于收入效应和替代效应的相对规模。
将当期消费看作商品1，第二期消费看作商品2，价格分别为p1和p2，设x1（p1，m（p1））是商品1的需求函数，p2保持不变，货币与禀赋的关系为m（p1）＝p1y1＋p2y2，则有：
由斯勒茨基方程得：
本题中有
将上述两式共同代入原方程中，可得：
可得跨期选择的总效用公式为：
四、计算题
1某消费者的效用函数为u（c1,c2）＝c11/2＋2c21/2。其中c1、c2分别是她在时期1与时期2的消费量。她在每个时期都可以赚得100单位的消费品，并可以按10%的利率进行借贷。
（1）写出该消费者的预算方程。
（2）若该消费者不进行借贷，则她对现在与未来消费品的边际替代率是多少？
（3）若该消费者进行最佳数量的借款或者储蓄，则她在时期2的消费对时期1的消费的比率是多少？
解：（1）跨期消费的预算方程为：c1＋c2/（1＋r）＝m1＋m2/（1＋r）；
代入数据：c1＋c2/（1＋10%）＝100＋100/（1＋10%）；
整理可得：1.1c1＋c2＝210。
（2）因该消费者不进行借贷，故每个时期的消费正好等于收入，即c1＝100，c2＝100。此时，边际替代率为：
因此若她不进行借贷，则她对现在与未来消费品的边际替代率是1/2。
（3）构造拉格朗日函数为：
L＝c11/2＋2c21/2－λ（1.1c1＋c2－210）
效用最大化的一阶条件为：
前两式相除可得：c2/（4c1）＝1.21。因此她在时期2的消费是时期1消费的4.84倍。
2消费者的效用函数为u（c1,c2）＝c10.4c20.6。在第1期和第2期的收入分别为m1＝100元和m2＝180元，利率为r，求：
（1）第1期和第2期的最优消费分别是多少？
（2）r分别取什么值时，该消费者在第1期将借入、借出，或者既不借入也不借出？
（3）当利率r变化时，会对第1期和第2期的消费产生什么影响？
解：（1）求解效用最大化问题即：
构造拉格朗日函数：
效用最大化的一阶条件为：
解得c1＝40＋72/（1＋r），c2＝168＋60r。
故第1期和第2期的最优消费分别是C1＝40＋72/（1＋r），C2＝168＋60r。
（2）当c1＜m1，即c1＝40＋72/（1＋r）＜100时，可得r＞0.2，此时消费者借出；
当c1＝m1，即c1＝40＋72/（1＋r）＝100时，可得r＝0.2，此时消费者既不借出也不借入；
当c1＞m1，即c1＝40＋72/（1＋r）＞100时，可得r＜0.2，此时消费者借入。
（3）因为
所以当利率r上升时，第1期消费下降，第2期消费上升；当利率r下降时，第1期消费上升，第2期消费下降。
3考虑费雪两期消费模型：如果消费者可以以rb＞0的利率储蓄，以rs＞0的利率借贷，并且rs＞rb，那么：
（1）在消费者第一期收入大于第一期消费的情况下，其预算约束是什么？
（2）在消费者第一期收入小于第一期消费的情况下，其预算约束是什么？
（3）画出消费者可以选择的第一期和第二期消费的组合。
（4）加上消费者的无差异曲线。说明三种可能的结果：一是消费者有储蓄，二是消费者有借贷，三是消费者既无储蓄也无借贷。
解：（1）在消费者第一期消费小于第一期收入的情况下，该消费者是一个储蓄者，它面临着利率rb。他的预算约束是C1＋C2/（1＋rb）＝Y1＋Y2/（1＋rb）。
（2）在消费者第一期消费大于第一期收入的情况下，该消费者是一个借贷者，它面临着利率rs。他的预算约束是C1＋C2/（1＋rs）＝Y1＋Y2/（1＋rs）。
（3）图10-6中画出了两条预算约束线，它们在点（Y1，Y2）相交，在这点，消费者既不是储蓄者也不是借贷者。阴影部分代表消费者可以选择的第一期与第二期的消费组合。
图10-6 借贷制约
（4）图10-7描绘了三种情况。图10-7（a）显示了一个储蓄者的无差异曲线与点（Y1，Y2）左边的预算线相切的情况。图10-7（b）显示了一个借贷者的无差异曲线与点（Y1，Y2）右边的预算线相切的情况。图10-7（c）显示了一个既无储蓄又无借贷的消费者的情形：消费者可以达到的最高的无差异曲线是经过点（Y1，Y2）的。
（a）消费者是储蓄者
（b）消费者是借贷者
（c）消费者既无储蓄又无借贷
图10-7 三种可能的结果
如果消费者是储蓄者，则第一期的消费取决于[Y1＋Y2/（1＋rb）]，即两个时期的收入Y1、Y2和利率rb。
如果消费者是一个借贷者，则第一期的消费取决于[Y1＋Y2/（1＋rs）]，即两个时期的收入Y1、Y2和利率rs。
如果消费者既不是储蓄者又不是借贷者，则第一期的消费只取决于Y1。
4假定消费者只进行两期选择。消费者的两期收入分别为Y1和Y2，两期的消费分别是C1和C2，利率为r；消费者的效用函数为U＝αC1C2＋β，两期结束后，消费者的收入与消费均为0。证明：
（1）1期消费与2期收入同方向变化，与利率反方向变化；
（2）1期储蓄与2期收入反方向变化；
（3）2期消费与1期收入、2期收入以及利率都是同方向变化。
证明：消费者行为目标是效用最大化，即：
max U（C1，C2）＝αC1C2＋β
s.t. Y1（1＋r）＋Y2＝C1（1＋r）＋C2
构造拉格朗日函数为：
L＝αC1C2＋β－λ[Y1（1＋r）＋Y2－C1（1＋r）－C2]
求条件极值可以解出：
第一期消费为
则第一期储蓄为
第二期消费为C2＝0.5[Y1（1＋r）＋Y2]。
从而可得：
（1）
所以1期消费与2期收入同方向变化。
所以1期消费与利率反方向变化。
（2）
所以1期储蓄与2期收入反方向变化。
（3）
所以2期消费与1期收入、2期收入以及利率都是同方向变化。
5在一个只有消费者进行借贷的债券市场上，假设存在200个消费者。消费者具有相同的两期消费效用函数U＝C1·C2，其中C1表示第一期的消费，C2表示第二期消费。我们假定其中有100个消费者，具有预期的收入流为I1＝14000，I2＝10000。而其余的消费者具有预期收入流为I1＝9000，I2＝16000，其中I1、I2分别表示消费者第一期和第二期的收入。计算该债券市场处于均衡时的市场利率。
解：令市场利率为r。消费者的最优规划为：
构造拉格朗日函数：
效用最大化的一阶条件为：
根据以上等式，求解得：
由于消费者只具有两期消费，所以消费者将在第一期持有债券，第二期债券持有量为0。消费者对于债券的超额需求为：
当两类消费者对于债券的超额总需求为0时，债券市场处于均衡。即有：
解得：r≈0.13。
即该证券市场处于均衡时的市场利率为13%。