第三章　生产理论

一、选择题

1．如果规模报酬不变，单位时间里增加了20%的劳动使用量；但保持资本量不变，则产出将（　　）。[对外经济贸易大学2015研]

A．增加20%

B．减少20%

C．增加大于20%

D．增加小于20%

【答案】D

【解析】规模报酬是指在其他条件不变的情况下，企业内部各种生产要素按相同比例变化时所带来的产量变化。企业的规模报酬变化可以分为规模报酬递增、规模报酬不变和规模报酬递减三种情况。规模报酬不变是指劳动和资本同时增加或减少N倍，产出也增加或减少N倍。因此，当仅仅增加20%的劳动供给，而不增加相应的资本供给，生产是无法增加20%的。

2．在完全竞争厂商的短期均衡产量上，AR小于SAC但大于AVC，则厂商（　　）。[浙江工商大学2012研]

A．亏损，立即停产

B．亏损，但应继续生产

C．亏损，生产或不生产都可以

D．获得正常利润，继续生产

【答案】B

【解析】由完全竞争厂商的短期均衡可知，当厂商的平均收益AR小于平均成本SAC但大于平均可变成本AVC时，厂商虽然亏损，但仍继续生产，因为只有这样，厂商才能在用全部收益弥补全部可变成本以后还有剩余，以弥补在短期内总是存在的不变成本的一部分。所以，在这种亏损情况下，生产要比不生产强。

3．在其他条件不变时，为生产一定产量所需投入的两种生产要素之间的各种可能组合的轨迹，被称为（　　）。[浙江工商大学2011研]

A．生产扩展线

B．等成本曲线

C．等产量曲线

D．短期生产函数曲线

【答案】C

【解析】等产量曲线是在技术水平不变的条件下生产一种商品在一定产量下的两种生产要素投入量的各种不同组合的轨迹，在这条曲线上的各点代表投入要素的各种组合比例，其中的每一种组合比例所能生产的产量都是相等的。

二、判断题

1．边际产出大于零，则总产量将随着投入的增加而上升，平均产量则不一定上升。（　　）[华南理工大学2011研]

【答案】对

【解析】边际产出大于零，意味着增加投入可以增加总产量，而平均产量则不一定增加。在生产的初始阶段，平均产量会随着投入的增加而增加；但当平均产量超过边际产量之后，平均产量会下降。

2．生产函数Q＝f（K，L）＝K1/4L1/4，则该生产过程呈规模报酬递增。（　　）[华南理工大学2011研]

【答案】错

【解析】柯布—道格拉斯生产函数为：Q＝ALαKβ，其中Q为产量，K和L分别为资本和劳动投入量，A为衡量技术水平的参数，α劳动力产出的弹性系数，β为资本产出的弹性系数。若α＋β＜1，表示该生产过程呈规模报酬递减。题中（1/4）＋（1/4）＝0.5＜1，因此该生产过程呈规模报酬递减。

三、概念题

1．规模报酬不变[武汉大学2014研]

答：规模报酬不变是指在技术水平和要素价格不变的条件下，当所有要素都按同一比例变动时，产量（或收益）增加同样的比例。如厂商的要素投入增加100%，产量的增加量也是100%。规模报酬不变原理是新古典经济学理论的核心内容，本质上意味着生产函数具有线性性质。由于其良好的数学性质，大部分生产函数都具有规模报酬不变的性质，如常见的Cobb-Douglas和CES生产函数等。

2．生产扩展线[中央财经大学2015研]

答：生产扩展线是指等成本线与等产量线的切点所形成的曲线，表明在生产要素价格和技术水平不变的条件下，当厂商调整产量或成本时，应沿着生产扩展线选择要素投入组合，因为生产扩展线上的每一点都会使厂商得到一定产量下的最小成本或一定成本下的最大产量。假定劳动和资本的价格不变，长期扩展线的情况如图2-3-1所示。

图2-3-1　生产扩展线图示

图2-3-1中有三条等产量曲线。当产量在I₁水平时，生产者均衡点为E₁，这是等成本线K₁L₁和I₁的切点，该点劳动对资本的边际替代率等于成本线的斜率。当产量在I₂水平时，生产者均衡点为E₂，这是等成本线K₂L₂和I₂的切点。该点的劳动对资本的边际替代率等于等成本线K₂L₂的斜率，和E₁点时相同，根据上述同样的道理，当产量不断扩大，依次类推，可以找出无数这样的均衡点。把所有的点连接起来形成的曲线，就是长期的生产扩展线，即图中的OE曲线。

3．柯布—道格拉斯生产函数[中央财经大学2016研；首都经济贸易大学2014研]

答：如果生产函数的形式为f（x₁，x₂）＝Ax₁ax₂b，我们就称这种生产函数为柯布—道格拉斯生产函数。其规模报酬的情况取决于a＋b的大小：当a＋b＞1时，规模报酬递增；当a＋b＝1时，规模报酬不变；当a＋b＜1时，规模报酬递减。

4．等产量曲线[中央财经大学2013研；浙江财经学院2012研；河北大学2012研]

答：（1）等产量线的定义

等产量曲线是在技术水平不变的条件下生产同一产量的两种生产要素投入量的所有不同组合的轨迹。等产量曲线如图2-3-2所示。

图2-3-2　等产量曲线

图2-3-2中，该产量既可以使用A点的要素组合（OL_a单位的劳动和OK_a单位的资本）生产出来，也可以使用B点的要素组合（OL_b单位的劳动和OK_b单位的资本）生产出来。

（2）等产量曲线的特征

①在同一坐标平面上的任何两条等产量曲线之间，可以有无数条等产量曲线。它们按产量大小顺次排列，越接近原点的等产量曲线所代表的产量越少，越远离原点的等产量曲线所代表的产量越多。

②在同一坐标平面图上的任何两条等产量曲线不会相交。

③等产量曲线是凸向原点的，即等产量曲线的斜率的绝对值是递减的。它表示随着一种生产要素每增加一个单位，可以替代的另一种生产要素的数量将逐次减少。这一特征是由边际技术替代率递减规律所决定的。

（3）等产量曲线的经济含义

等产量曲线作为分析工具，与另一分析工具等成本线结合起来，研究生产者是如何选择最优的生产要素组合，从而实现既定成本条件下的最大产量，或者实现既定产量条件下的最小成本。

5．边际技术替代率[山东大学2016研；浙江财经大学2016、2014研；中央财经大学2011研；河北大学2011研]

答：在维持产量水平不变的条件下，增加一单位某种生产要素投入量时所减少的另一种要素的投入数量，被称为边际技术替代率，其英文缩写为MRTS。用ΔK和ΔL分别表示资本投入量的变化量和劳动投入量的变化量，则劳动对资本的边际技术替代率的公式为：MRTS_LK＝ΔK/ΔL或MRTS_LK＝dK/dL。

如图2-3-3所示，当要素组合沿着等产量曲线由A点按顺序移动到C、D和E点的过程中，劳动投入等量的由L₁增加到L₂、L₃和L₄。即：L₂－L₁＝L₃－L₂＝L₄－L₃，相应的资本投入的减少量为K₁K₂＞K₂K₃＞K₃K₄，这恰好说明了边际技术替代率是递减的。

图2-3-3　边际技术替代率递减

边际技术替代率之所以会出现递减趋势，是由于边际产量递减规律发挥作用的结果。首先由于等产量线凸向原点且斜率是递减的，这就意味着，在产量保持不变的条件下，随着一种要素的增加，另一种要素会减少。其次，由于边际产量是递减的，当某种要素增加一单位时，所引起的产量增加量是逐渐减少的。在维持产量不变的条件下，该要素所替代的其他要素数量就会减少。

6．边际报酬递减规律[中央财经大学2015、2012研；浙江财经学院2011研]

答：短期生产过程中，在技术水平不变的条件下，连续等量地把某一种可变生产要素增加到其他一种或几种数量不变的生产要素中去，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递减的。这就是边际报酬递减规律。

从理论上讲，边际报酬递减规律成立的原因在于：对于任何产品的短期生产来说，可变要素投入和固定要素投入之间都存在着一个最佳的数量组合比例。一旦生产要素的投入量达到最佳的组合比例时，可变要素的边际产量达到最大值。在这一点之后，随着可变要素投入量的继续增加，生产要素的投入量越来越偏离最佳的组合比例，相应的可变要素的边际产量便呈现出递减的趋势了。

边际报酬递减规律强调的是：在任何一种产品的短期生产中，随着一种可变要素投入量的增加，边际产量最终必然会呈现出递减的特征。

7．引致需求[广东商学院2011研]

答：在生产要素市场上，需求不是来自消费者，而是来自厂商。厂商购买生产要素不是为了自己的直接需要，而是为了生产和销售产品以获得收益。从这个意义上来说，对生产要素的需求不是直接需求，而是“间接”需求。更进一步来看，厂商通过购买生产要素进行生产并从中获得收益，部分取决于消费者对其所生产产品的需求。从这个意义上说，西方学者认为，生产要素的需求又是所谓的“派生”需求或“引致”需求。

相对而言，消费者对产品的需求称之为直接需求。企业对生产要素的需求不同于消费者对于商品的需求，在生产要素市场上，需求来自企业，而企业购买生产要素是为了生产，从中获得利润。企业购买生产要素并不是一次经济行为的终结。一个企业能否获得利润并不取决于其自身，而是取决于消费者对其所生产的产品的需求，要看消费者是否愿意为其产品支付足够的价格。如果不存在消费者对产品的需求，则厂商就无法从生产和销售中获得收益，从而也不会去购买生产资料和生产产品。或者说，消费者对产品的直接需求，引致和派生了厂商对生产要素的需求。某一种生产要素的需求曲线的形态，是从使用这种生产要素的最终产品的需求曲线派生出来的。

当然，在要素市场上，生产要素的价格仍然取决于企业对于生产要素的需求、要素所有者对生产要素的供给以及二者的相互作用。例如，在劳动市场上，劳动者必须决定是否工作和工作多少，而每个企业则必须决定使用多少劳动。但是，不同于产品市场，企业对生产要素的需求源于要素的生产能力，源于要素生产出的产品的价值。

8．里昂惕夫生产函数[厦门大学2006研]

答：里昂惕夫生产函数又称固定投入比例的生产函数，表示在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的。假定生产过程中只使用劳动和资本两种要素，则固定投入比例生产函数的通常形式为：Q＝min{L/u，K/v}，式中，Q为产量；L和K分别为劳动和资本的投入量；常数u、v＞0，分别为固定的劳动和资本的生产技术系数，它们分别表示生产一单位产品所需要的固定的劳动投入量和固定的资本投入量。里昂惕夫生产函数表示：产量Q取决于L/u和K/v这两个比值中较小的那一个，即使其中的一个比例数值较大，那也不会提高产量Q。里昂惕夫生产函数可用图2-3-4予以描述。

图2-3-4中，从原点出发经过a、b和c点的射线OR表示了这一固定投入比例生产函数的所有产量水平下最小要素投入量的组合。

图2-3-4　里昂惕夫生产函数

9．等成本线[山东大学2002研]

答：等成本线是在既定的成本和既定生产要素价格条件下生产者可以购买到的两种生产要素的各种不同数量组合的轨迹。假定要素市场上既定的劳动的价格即工资率为w，既定的资本的价格即利息率为r，厂商既定的成本支出为C，则成本方程为：C＝wL＋rK

成本方程相对应的等成本线如图2-3-5所示。

图2-3-5　等成本线

图2-3-5中，横轴上的点C/w表示既定的全部成本都购买劳动时的数量，纵轴上的点C/r表示既定的全部成本都购买资本时的数量，连接这两点的线段就是等成本线。它表示既定的全部成本所能购买到劳动和资本的各种组合。

等成本线以内区域中的任何一点，表示既定的全部成本都用来购买该点的劳动和资本的组合以后还有剩余；等成本线以外的区域中的任何一点，表示用既定的全部成本购买该点的劳动和资本的组合是不够的；惟有等成本线上的任何一点，才表示用既定的全部成本能刚好购买到的劳动和资本的组合。

10．扩展线[江西财经大学2005、2007研；中南大学2003研]

答：在生产要素的价格、生产技术和其他条件不变时，如果企业改变成本，等成本线就会发生平移；如果企业改变产量，等产量曲线就会发生平移。这些不同的等产量曲线将与不同的等成本线相切，形成一系列不同的生产均衡点。这些生产均衡点的轨迹就是扩展线。如图2-3-6所示。

图2-3-6中的曲线ON是一条扩展线。由于生产要素的价格保持不变，两要素的价格比例是固定的，又由于生产均衡的条件为两要素的边际技术替代率等于两要素的价格比例，所以，在扩展线上的所有的生产均衡点上边际技术替代率都是相等的。

图2-3-6　扩展线

扩展线表示：在生产要素价格、生产技术和其他条件不变的情况下，当生产的成本或产量发生变化时，厂商必然会沿着扩展线来选择最优的生产要素组合，从而实现既定成本条件下的最大产量，或实现既定产量条件下的最小成本。扩展线是厂商在长期扩张或收缩生产时所必须遵循的路线。

四、简答题

1．在既定成本下，理性厂商如何选择最大产量下的最优要素组合？[对外经济贸易大学2016研]

答：在既定成本下，理性厂商选择的最大产量下的最优要素组合是等成本线与等产量曲线相切的要素组合。

在图2-3-7中，有一条等成本线AB和三条等产量曲线Q₁、Q₂和Q₃。等成本线AB的位置和斜率决定于既定的成本量C和既定的两要素的价格比例w/r。由图中可见，唯一的等成本线AB与其中一条等产量曲线相切于E点，该点就是生产的均衡点。它表示：在既定成本条件下，厂商应该按照E点的生产要素组合进行生产，即劳动投入量和资本投入量分别为L₁和K₁，这样，厂商就会获得最大的产量。

图2-3-7　产量最大化

如图2-3-7所示，等产量曲线Q₃代表的产量虽然高于等产量曲线Q₂，但唯一的等成本线AB与等产量曲线Q₃既无交点又无切点，表明产量Q₃是企业在既定成本下无法实现的产量，因为厂商利用既定成本只能购买到位于等成本线AB上或等成本线AB以内区域的要素组合。等产量曲线Q₁虽然与等成本线AB相交于a、b两点，但等产量曲线Q₁所代表的产量是比较低的。因为，此时厂商在不增加成本的情况下，只需由a点出发向右或由b点出发向左沿着既定的等成本线AB改变要素组合，就可以增加产量。所以，只有在唯一的等成本线AB和等产量曲线Q₂的相切点E，才是实现既定成本条件下的最大产量的要素组合。任何更高的产量在既定成本条件下都是无法实现的，任何更低的产量都是无效率的。

2．生产要素包括哪些？[广东财经大学2015研]

答：生产要素是指进行社会生产经营活动时所需要的各种社会资源，它是维系国民经济运行及市场主体生产经营过程中所必须具备的基本因素。

（1）在西方经济学中，生产要素一般被划分为劳动、土地、资本和企业家才能这四种类型。

①劳动是指人类在生产过程中体力和智力的总和。

②土地不仅仅指一般意义上的土地，还包括地上和地下的一切自然资源，如江河湖泊森林海洋矿藏等等。

③资本可以表示为实物形态和货币形态，实物形态又被称为投资品或资本品，如厂房，机器，动力燃料，原材料等等；资本的货币形态通常称之为货币资本。

④企业家才能通常指企业家组建和经营管理企业的才能。

（2）随着科技的发展和知识产权制度的建立，技术、信息也被视作相对独立的要素投入生产。

①技术是人类在实践基础上通过经验总结、科学研究和实验等方式创造和发明出来的可以直接地改进生产或改善生活的知识和技能。

②信息是人们对外界事物的某种了解和认识，用以消除不确定性，它是人类认识的一种成果。而经济信息是人类对社会生产、交换、分配和消费等活动特征和规律性的认识，其中的部分内容具有特殊的使用价值，可作为商品成为市场交易的对象。

3．生产三阶段的划分以及最优生产阶段的选择。[对外经济贸易大学2015研；河北大学2012研]

答：根据短期生产的总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线之间的关系，可将短期生产划分为三个阶段，如图2-3-8所示。

图2-3-8　一种可变生产要素的生产函数的产量曲线

在第Ⅰ阶段，产量曲线的特征为：劳动的平均产量始终是上升的，且达到最大值C′点；劳动的边际产量上升达最大值B′点，然后，开始下降，且劳动的边际产量始终大于劳动的平均产量；劳动的总产量始终是增加的。这说明：在这一阶段，不变要素资本的投入量相对过多，生产者增加可变要素劳动的投入量是有利的。或者说，生产者只要增加可变要素劳动的投入量，就可以较大幅度地增加总产量。因此，任何理性的生产者都不会在这一阶段停止生产，而是连续增加可变要素劳动的投入量，以增加总产量，并将生产扩大到第Ⅱ阶段。

在第Ⅱ阶段，劳动的平均产量开始下降，劳动的边际产量减小至0，即L₄点，总产量缓慢上升至最高点D，此时的劳动产量达到最大值。

在第Ⅲ阶段，产量曲线的特征为：劳动的平均产量继续下降，劳动的边际产量降为负值，劳动的总产量也呈现下降趋势。这说明：在这一阶段，可变要素劳动的投入量相对过多，生产者减少可变要素劳动的投入量是有利的。因此，这时即使劳动要素是免费供给的，理性的生产者也不会增加劳动投入量，而是通过减少劳动投入量来增加总产量，以摆脱劳动的边际产量为负值和总产量下降的局面，并退回到第Ⅱ阶段。

由此可见，任何理性的生产者既不会将生产停留在第Ⅰ阶段，也不会将生产扩张到第Ⅲ阶段，所以，生产只能在第Ⅱ阶段进行。在生产的第Ⅱ阶段，生产者可以得到由第Ⅰ阶段增加可变要素投入所带来的全部好处，又可以避免将可变要素投入增加到第Ⅲ阶段而带来的不利影响。因此，第Ⅱ阶段是生产者进行短期生产的决策区间。

4．假设一个企业生产某种商品需要两种投入品，投入品X和投入品Y，生产函数为Q＝min{X，2Y），这里Q表示商品的产量，X和Y分别表示投入品X和投入品Y的使用量。请画出企业的等产量曲线图。[中央财经大学2015研]

答：令Q＝min{x,2y}＝Q₀。当x＞2y时，min{x,2y}＝2y＝Q₀；当2y＞x时，min{x,2y}＝x＝Q₀。即

如图2-3-9所示，作一条射线y＝0.5x。对于给定的任意产量Q₀，在射线左上方，有y＞0.5x，故x＝Q₀；在射线右下方，有y＜0.5x，故y＝0.5Q₀。两部分的连线即为产量为Q₀时的等产量线。改变产量Q₀即可得到一系列等产量线。

图2-3-9　企业的等产量曲线图

5．请问在两种可变生产要素条件下厂商是如何实现生产要素的最优组合（生产者均衡）的？[首都经济贸易大学2014研]

答：如同生产者在既定成本条件下会力求实现最大的产量，生产者在既定的产量条件下也会力求实现最小的成本。这可以用图2-3-10来说明。图中有一条等产量曲线Q和三条等成本线AB、A′B′和A″B″。惟一的等产量曲线Q代表既定的产量。三条等成本线具有相同的斜率（即表示两要素的价格是既定的），但代表三个不同的成本量，其中，等成本线AB代表的成本大于等成本线A′B′代表的，等成本线A′B′代表的成本大于等成本线A″B″代表的。惟一的等产量曲线Q与其中一条等成本线A′B′相切于E点，这就是生产的均衡点或最优要素组合点。它表示：在既定的产量条件下，生产者应该选择E点的要素组合（OK_L，OL₁），才能实现最小的成本。在最小成本点E，要素的边际技术替代率之比等于要素的价格之比。即，厂商根据“边际产出＝边际成本”的原则来配置资源。

图2-3-10　两种可变生产要素在既定产量下的最优组合

6．什么是规模收益递减，为什么会出现规模收益递减？[首都经济贸易大学2014研]

答：（1）规模收益递减

在生产理论中，通常是以全部的生产要素都以相同的比例发生变化来定义企业的生产规模的变化，因此企业的规模收益递减分析属于长期生产理论问题。相应地，规模收益递减是指在其他条件不变的情况下，企业内部各种生产要素按相同比例增加时所带来的产量增加的比例小于各种生产要素增加的比例，可以用等产量曲线图来表示，如图2-3-11所示。

图2-3-11　规模收益递减

图2-3-11表示规模收益递减：例如由G点到H点，两要素增加的比例为

Q由100提高到200，产量增加的比例是100%，产量增加的比例小于两要素增加的比例，在规模收益递减的情况下有OG＜GH＜HI。

可以用数学公式来定义规模收益递减，令生产函数Q＝f（L，K）。如果f（λL，λK）＜λf（L，K），其中，常数λ＞0，则生产函数Q＝f（L，K）具有规模报酬递减的性质。

（2）规模收益递减的原因

产生规模收益递减的主要原因是由于企业生产规模过大，使得生产的各个方面难以得到协调，从而降低了生产效率。它可以表现为企业内部合理分工的破坏，生产有效运行的障碍，获取生产决策所需的各种信息的不易等等。

7．简述边际报酬递减规律的内容。[广东财经大学2014研；中央财经大学2014研；对外经济贸易2012研]

答：边际报酬递减规律是指对一种可变生产要素的生产函数来说，边际产量表现出先上升而后下降的特征。在技术水平不变的条件下，在连续等量地把某一种可变生产要素增加到其他一种或几种数量不变的生产要素上去的过程中，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递减的。这就是边际报酬递减规律。边际报酬递减规律是短期生产的一条基本规律。

边际报酬递减规律成立的原因在于：对于任何产品的短期生产来说，可变要素投入和固定要素投入之间都存在着一个最佳的数量组合比例。在开始时，由于不变要素投入量给定，而可变要素投入量为零，因此，生产要素的投入量远远没有达到最佳的组合比例。随着可变要素投入量的逐渐增加，生产要素的投入量逐步接近最佳的组合比例，相应的可变要素的边际产量呈现出递增的趋势。一旦生产要素的投入量达到最佳的组合比例时，可变要素的边际产量达到最大值。在这一点之后，随着可变要素投入量的继续增加，生产要素的投入量越来越偏离最佳的组合比例，相应的可变要素的边际产量便呈现出递减的趋势。

边际报酬递减规律强调的是：在任何一种产品的短期生产中，随着一种可变要素投入量的增加，边际产量最终必然会呈现出递减的特征。或者说，该规律提醒人们要看到在边际产量递增阶段后必然会出现的边际产量递减阶段。

8．已知生产函数Q＝AL1/3K2/3，其中Q表示产量，A是技术参数，L是投入的劳动量，K表示投入的资本。

（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬是递增、递减还是不变？为什么？

（2）在短期生产中，该函数是否受劳动边际报酬递减规律支配？为什么？[浙江财经学院2011研]

答：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬是不变的。具体原因如下：

柯布－道格拉斯生产函数的一般形式为：Q＝ALαKβ

式中，Q代表产量，L和K分别代表劳动和资本，A、α和β为三个参数，且0＜α，β＜1。参数α和β的经济含义是：α和β分别表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性，α为劳动所得在总产量中所占的份额，β为资本所得在总产量中所占的份额。如果α＋β＝1，则生产为规模报酬不变；如果α＋β＜1，则生产为规模报酬递减；如果α＋β＞1，则生产为规模报酬递增。

本题中，α＋β＝1，即在长期生产中，该生产函数的规模报酬是不变的。

（2）在短期生产中，该生产函数受劳动边际报酬递减规律支配。原因如下：

在短期生产中，资本K是不变的。

已知生产函数Q，对L求一阶导数，即：

然后，对L再次求导，得：

因此，该生产函数Q的劳动边际报酬MP_L递减，也即，短期生产中，该函数受劳动边际递减规律的支配。

五、计算题

1．假定厂商的生产函数为Q＝2L1/2K1/2，其中Q表示产量，K和L分别表示厂商的资本品存量和雇佣的劳动数量，请问：

（1）该企业的规模报酬递增、递减还是不变？

（2）如果资本品存量固定在9个单位上（即K＝9），劳动价格为每单位2元，资本品价格为每单位r元，那么该企业雇佣的最优劳动数量如何随资本品价格而变化？[浙江财经大学2015研]

解：（1）设劳动力L和资本K扩大x倍，则产量变为2（xL）1/2（xK）1/2＝2xL1/2K1/2＝xQ，即产量同比例扩大了x倍，因此该企业是规模报酬不变的。

（2）由题知，成本线为C＝2L＋9r，产量线为Q＝6L1/2；

平均成本有：

最优的劳动数量应该满足平均成本AC最小；

要满足一阶条件为零，即

解得L＝9/2r；因此企业雇佣的最优劳动力应按L＝9/2r的比例随资本品价格发生变化。

2．已知某厂商的生产函数为Q＝L3/8K5/8，其中Q表示产量，L和K表示投入的两种生产要素的数量；又设生产要素L和K的价格分别为P_L＝3元，P_K＝5元。

（1）求产量Q＝10时的最低成本支出和使用的L和K的数量。

（2）求在总成本不高于160元的条件下的最大产量及此时使用的L和K的数量。

（3）该生产函数规模报酬是递增、递减还是不变？[浙江财经大学2014研]

答：（1）厂商生产既定产量使其成本最小的要素投入组合要求满足MP_L/P_L＝MP_K/P_K；对于生产函数Q＝L3/8K5/8，有

代入均衡条件，得

简化得L＝K；代入产量Q＝L3/8K5/8＝10，求得L＝K＝10；

此时最低成本支出为TC＝3L＋5K＝80。

（2）厂商花费既定成本使其产量最大的要素投入组合同样满足MP_L/MP_K＝P_L/P_K；上小题已求得，L＝K；将其总成本为160元时的成本方程3L＋5K＝160，求得L＝K＝20；此时最大产量为Q＝L3/8K5/8＝20。

（3）设劳动力L和资本K扩大x倍；则产量变为（xL）3/8（xK）5/8＝xL3/8K5/8＝xQ，即产量同比例扩大了x倍；因此该企业是规模报酬不变的。

3．假设某企业生产函数为Q＝L3/4K1/4，劳动的价格ω＝3，γ＝1。求利润最大化情况下最优的生产要素组合？若成本C＝4000时，企业实现最大产量时的L、K、Q的均衡值？[河北大学2013研]

答：（1）当边际成本＝边际收益时，企业实现利润最大化。对于生产要素而言，要素的价格就是成本，要素的产出就是收益，因此当生产要素组合满足条件MP_L/MP_K＝ω/γ时，利润最大化。

即K＝L时，利润最大化。

（2）由题可知，C＝ωL＋γK＝3L＋K＝4000，则K＝4000－3L。

由（1）可知，Q＝K＝L＝1000。因此，C＝4000时，企业实现最大产量时的L＝1000，K＝1000，Q＝1000。

4．A和B为两个小镇提供咖啡服务的厂商，边际成本相同，均为常数，记为C，市场的需求曲线是P＝a－Q。

（1）如果两个厂商在满足古诺模型的假设下同时选择产量，求两个厂商的均衡产量和价格；

（2）如果两个厂商相互勾结，其产量与价格又是什么？[北京航空航天大学2012研]

解：（1）令Q_A和Q_B分别为市场对A、B两个寡头厂商的产品需求量，即Q＝Q_A＋Q_B，那么市场的需求曲线为P＝a－Q＝a－（Q_A＋Q_B）。

对于A寡头厂商来说，其利润等式为：

π_A＝TR_A－TC_A＝P·Q_A－C·Q_A＝[a－（Q_A＋Q_B）]·Q_A－C·Q_A

A寡头厂商利润最大化的一阶条件为：

∂π_A/∂Q_A＝－2Q_A＋（a－C－Q_B）＝0

解得：Q_A＝（a－C－Q_B）/2①

类似地，对于B寡头厂商来说，有：π_B＝[a－（Q_A＋Q_B）]·Q_B－C·Q_B

B寡头厂商利润最大化的一阶条件为：

∂π_B/∂Q_B＝－2Q_B＋（a－C－Q_A）＝0

解得：Q_B＝（a－C－Q_A）/2②

由①②式解得均衡产量Q_A＝Q_B＝（a－C）/3，均衡价格P＝（a＋2C）/3。

（2）若两个厂商相互勾结，那么两个厂商的总的利润为：π＝P·Q－C·Q＝（a－Q）·Q－C·Q

利润最大化的条件为：dπ/dQ＝－2Q＋a－C＝0

解得：Q＝（a－C）/2，P＝（a＋C）/2。此时两个厂商的均衡产量为：Q_A＝Q_B＝（a－C）/4，均衡价格为P＝（a＋C）/2。

5．假设一个企业在某个时期的生产函数可以写为Q＝L3/4K1/4，设P_L＝3，P_K＝5，求总成本为140时该企业的产量Q、L和K。[武汉大学2014研]

解：由总成本140可得到式①：3L＋5K＝140；

假设该企业达到生产均衡，即在既定成本下，产量实现最大化，则满足MP_L/P_L＝MP_K/P_K，由于生产函数为Q＝L3/4K1/4，得到

整理得式②：L＝5K；联立式①②，得到L＝35，K＝7，代入生产函数中得到Q≈23.4；故该企业的产量Q为23.4，投入的L为35，K为7。

6．假设厂商的生产函数为y＝10L2－L3。

（1）求厂商生产合理区域。

（2）已知价格P＝1和工资w＝12，求最优要素使用量。[华南师范大学2011研]

解：（1）厂商生产合理区域是指平均产量最大值点（此时边际产量等于平均产量）到边际产量为0的点之间的区域。

平均产量AP_L＝y/L＝10L－L2，令其一阶导数为0，得平均产量最大时的劳动投入量为L＝5。

边际产量MP_L＝y′＝20L－3L2，令其为0，得边际产量为0时的劳动投入量为L＝20/3（舍去0值），因此厂商生产合理区域为5＜L＜20/3。

（2）利润函数为π＝TR－TC＝Py－wL＝10L2－L3－12L，令其一阶导数为0，得π′＝20L－3L2－12＝0，可得：L₁＝6,L₂＝2/3（舍去，因为这是利润最小化的投入量），所以最优要素投入量为L＝6。

7．假设一家厂商用两种生产要素生产一种产品，其生产函数为y＝（X₁－1＋X₂－1）－1/2，其中X₁和X₂代表要素1和2的投入数量。产品和要素的价格分别为p、r₁和r₂。请按下面的要求回答问题：

（1）判断该生产技术的规模经济状况；

（2）计算两种要素的边际技术替代率MRTS₁₂；

（3）计算该厂商对要素1和2的需求；

（4）如果要素的价格上涨，讨论该厂商利润将发生怎样变化。[中国人民大学2009研]

解：（1）根据生产函数可判断生产技术的规模经济状况，即有：

f（αX₁，αX₂）＝[（αX₁）－1＋（αX₂）－1]－1/2＝α1/2（X₁－1＋X₂－1）－1/2＝α1/2f（X₁，X₂）＜αf（X₁，X₂）

所以，该生产技术为规模经济递减。

（2）要素1对要素2的边际技术替代率为：

（3）根据厂商利润最大化条件可知：

　①

再根据利润π＝py－r₁X₁－r₂X₂，分别对X₁、X₂求偏导，则有：

　②

联立①②可得：

所以，厂商对要素2和1的需求之比为（r₁/r₂）1/2。

（4）如果要素价格上涨，在成本不变的条件下，产量会减少，因而利润会下降。

8．分别求出下列生产函数的扩展线方程。（要求列出适当的计算过程）[东北财经大学2011研]

（1）Q＝5L0.75K0.25

（2）Q＝KL/（K＋L）

（3）Q＝min（3L，K）

解：（1）对于生产函数Q＝5L0.75K0.25来说，有：

MP_K＝1.25L0.75K－0.75

MP_L＝3.75L－0.25K0.25

由最优要素组合的均衡条件MP_L/MP_K＝P_L/P_K，可得：

整理得：

此即为该生产函数的扩展线方程。

（2）对于生产函数Q＝KL/（K＋L）来说，有：

由最优要素组合的均衡条件MP_L/MP_K＝P_L/P_K，可得：

整理得：

此即为该生产函数的扩展线方程。

（3）生产函数Q＝min（3L，K）是固定投入比例的生产函数，厂商按照L/K＝1∶3的固定投入比例进行生产，且厂商的生产均衡点在直线K＝3L上，即厂商的长期扩展线函数为K＝3L。

六、论述题

1．柯布—道格拉斯生产函数在何种情况下是规模报酬递减的？该函数满足边际报酬递减规律吗？解释边际报酬递减与规模报酬递减的区别。[武汉大学2015研]

答：（1）柯布—道格拉斯生产函数最初是由美国数学家柯布和经济学家道格拉斯共同探讨投入和产出的关系式而创造的生产函数，是用来预测国家和地区工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，该函数以其简单的形式描述了经济学家所关心的一些性质，在经济理论的分析和实证研究中都具有一定意义。该生产函数的一般形式为：Q＝ALαKβ

其中，Q为产量，L和K分别为劳动和资本投入量，A为综合技术水平，α是劳动产出的弹性系数，β是资本产出的弹性系数，0＜α，β＜1。

根据α和β的组合情况，有三种类型：①α＋β＞1，称为递增报酬型；②α＋β＜1，为递减报酬型；③α＋β＝1，为不变报酬型。

因此当α＋β＜1时，是规模报酬递减的。此时，对"l＞1，有：

F（lL，lK）＝A（lL）α（lK）β＝lα＋βALαKβ＜lALαKβ＝lF（L，K）

在其他条件不变的情况下，增加投入时，产量增加的比例小于生产要素增加的比例。

（2）柯布—道格拉斯生产函数满足边际报酬递减规律

①若生产函数是规模报酬递减的，即产量变动幅度小于要素投入的变动幅度，其总产量曲线在图形上表现为凸向左上方。生产规模递减的主要原因是企业生产规模扩大，生产各个方面难以得到有效协调，从而降低了生产效率，它可以表现为企业内部合理分工的破坏，生产有效运行的障碍，获取生产决策所需的各种信息不易等等。

②边际报酬递减指在技术水平不变的条件下，在连续等量地把一种可变生产要素增加到一种或几种数量不变的生产要素上去的过程中，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递减的。出现边际报酬递减规律的主要原因是，随着可变投入的不断增加，不变投入和可变投入的组合比例变得越来越不合理。

（3）规模报酬递减与边际报酬递减的比较

规模报酬递减与边际报酬递减都是生产理论中的概念，论述的都是企业产量如何随生产要素的变化而变化，但是两个概念有明显的区别：

①规模报酬递减是指厂商生产要素的增加比例大于产量增加比例，论及的是厂商生产规模变化对厂商效益的影响问题，论述的对象是厂商规模。边际报酬递减的前提是不变要素已经固定不变的情况下，可变要素变化对产量的影响。

②规模报酬递减是长期中厂商扩大生产规模所引起的产量或收益的变化的一种情况。企业只有在长期内才可能变动全部生产要素，进而变动生产规模。因此，企业的规模报酬递减分析属于长期生产理论问题。边际报酬递减是假设其他生产要素不变的情况下，一种可变生产要素变化对产量的影响，属于短期生产理论问题。

2．试从生产规模、生产要素投入等角度分析，完全竞争市场中理性的生产者应如何组织生产。[对外经济贸易大学2014研]

答：完全竞争市场是指有无数个厂商生产同质产品的市场，该市场上每个厂商都是价格的接受者，而市场上理性生产者进行生产的目的是为了获得最大的利润。

（1）从生产规模的角度分析

生产规模的确定需要由收益情况来定。如果规模收益呈递增趋势，则生产规模应继续扩大，增加使用各种要素的数量；如果规模收益呈递减趋势，则生产规模应缩小，直到处于规模收益不变阶段。

生产者选择最优规模时，其基本的原则是MR＝MC，即边际收益等于边际成本。因为如果MR＞MC，每增加一单位产品所增加的收益大于这一单位的成本，厂商有利可图，必然扩大产量；如果MC＞MR，每增加一单位产品所增加的收益小于这一单位的成本，厂商会亏损，必然减少产量。只有MR＝MC时，厂商既不扩大，也不缩小产量，而是维持产量，表明该赚的利润都已赚到，即实现了生产者利润最大化的目标。

（2）从生产要素投入角度分析

①对于单一可变生产要素的情况，厂商的最优生产投入量应该在生产的第二阶段，即在生产要素的平均产量下降且边际产量大于零的阶段。

因为在第一阶段，平均产量递增，如果继续增加该要素的投入量，总产量和平均产量会相应增加，理性的生产者自然不会停留在该阶段；而在第三阶段，边际产量为负，如果减少要素的投入量，总产量会相应地增加，所以理性的生产者也不会停留在这个阶段。至于生产者在第二阶段中何处达到收益最大值则取决于要素投入所能带来的收益与其花费的成本的比较。如果要素的投入带来的边际收益等于其导致的边际成本，则其达到最佳投入数量，否则，就需要增加或减少投入量。

②对于两种及两种以上的可变生产要素的情况，其投入比例取决于边际技术替代率MRTS和各要素的价格，当MRTS＝w/r时，要素的投入比例为最佳。

在等产量线和等成本线的切点处能够满足边际技术替代率MRTS与各要素的价格之比相等的条件，即二者相切之处决定最佳比例。其表现为等产量线和等成本线的无数个切点上，这些切点构成生产的扩展线。理性的生产者应选择生产曲线上的哪一点取决于产品的价格和要素的规模收益状况。

3．结合图形说明厂商在既定产量条件下实现最小成本的最优要素组合原则。[浙江工商大学2012研]

答：（1）实现最小成本的最优要素组合原则

为了实现既定产量条件下的最小成本，厂商应该通过对两要素投入量的不断调整，使得花费在每一种要素上的最后一单位的成本支出所带来的边际产量相等。

（2）结合图形说明

图2-3-12　既定产量条件下成本最小的要素组合

如图2-3-12所示，有一条等产量曲线Q和三条等成本线AB、A′B′和A″B″。惟一的等产量曲线Q代表既定的产量。三条等成本线具有相同的斜率（即表示两要素的价格是既定的），但代表三个不同的成本量，其中，等成本线AB代表的成本大于等成本线A′B′代表的，等成本线A′B′代表的成本大于等成本线A″B″代表的。惟一的等产量曲线Q与其中一条等成本线A′B′相切于E点，这就是生产的均衡点或最优要素组合点。它表示：在既定的产量条件下，生产者应该选择E点的要素组合（OK₁，OL₁），才能实现最小的成本。具体原因分析如下：

①等成本线A″B″虽然代表的成本较低，但它与既定的等产量曲线Q既无交点又无切点，它无法实现等产量曲线Q所代表的产量。等成本曲线AB虽然与既定的等产量曲线Q相交于a、b两点，但它代表的成本过高，通过沿着等产量曲线Q由a点向E点或者由b点向E点的移动，都可以获得相同的产量而使成本下降。所以，只有在切点E，才是在既定产量条件下实现最小成本的要素组合。

②进一步具体地分析等产量曲线Q与等成本线AB的两个交点a点和b点。

首先，如果厂商开始时在a点进行生产。由图2-3-12可见，在a点，等产量曲线的斜率的绝对值大于等成本线的斜率的绝对值，它表示在a点上的两要素的边际技术替代率大于两要素的价格之比。譬如说，当MRTS_LK＝－dK/dL＝3/1＞2/1＝w/r时，根据不等式的左边，在生产过程中，在维持产量水平不变的前提下，厂商可以用1单位的劳动去替代3单位的资本（因为MRTS_LK＝－dK/dL＝3/1）。而根据不等式的右边，在生产要素市场上，3单位资本的购买成本却可以购买到1.5单位的劳动（因为w/r＝2/1），于是，厂商因节省0.5单位劳动的购买成本而得利。

其次，如果厂商开始时在b点进行生产。由图2-3-12可见，在b点，等产量曲线的斜率的绝对值小于等成本线的斜率的绝对值，它表示在b点上的两要素的边际技术替代率小于两要素的价格之比。譬如说MRTS_LK＝－dK/dL＝2/4＜2/1＝w/r。这时，厂商可以在生产过程中用2单位的资本去替代4单位劳动，并保持相同的产量水平（因为MRTS_LK＝－dK/dL＝2/4），而在生产要素市场上4单位劳动的购买成本却可以购买到8单位的资本（因为w/r＝2/1）。于是，厂商因节省6单位资本的购买成本而得利。

由此可见，只要MRTS_LK＞w/r，厂商就会不断地用劳动去替代资本，即在图中沿着等产量曲线Q由a点不断向E点靠近；只要MRTS_LK＜w/r，厂商就会不断地用资本去替代劳动，即在图中沿着等产量曲线Q由b点不断向E点靠近。在以上的调整中，厂商可以不断以更低的成本来生产相同的产量，最后，厂商在MRTS_LK＝w/r时实现生产均衡。在图中，既定的等产量曲线Q和等成本线A′B′的切点E便是生产的均衡点。在均衡点E有：MRTS_LK＝w/r，它表示：厂商应该选择最优的生产要素组合，使得两要素的边际技术替代率等于两要素的价格之比，从而实现既定产量条件下的最小成本。

由于边际技术替代率可以表示为两要素的边际产量之比，所以，上式可以写为：MRTS_LK＝MP_L/MP_K＝w/r

进一步，可以有：MP_L/w＝MP_K/r

它表示：为了实现既定产量条件下的最小成本，厂商应该通过对两要素投入量的不断调整，使得花费在每一种要素上的最后一单位的成本支出所带来的边际产量相等。

4．通过生产理论中的等产量曲线与等成本曲线的关系来说明生产者的均衡点（要以图形辅助）。[浙江工商大学2011研]

答：（1）等产量曲线和等成本曲线的定义

等产量曲线是在技术水平不变的条件下。生产同一产量的两种生产要素投入量的所有不同组合的轨迹。

等成本曲线是在既定的成本和既定生产要素价格条件下，生产者可以购买到的两种生产要素的各种不同数量组合的轨迹。

（2）既定成本条件下的产量最大化

假定在一定的技术条件下厂商用两种可变生产要素劳动和资本生产一种产品，且劳动L的价格w和资本K的价格r是已知的，厂商用于购买这两种要素的全部成本C是既定的。企业要选择最优的劳动投入量和资本投入量的组合使既定的成本获得最大的产量。把厂商的等产量曲线和相应的等成本线画在同一个平面坐标系中，就可以确定厂商在既定成本下实现最大产量的最优要素组合点，即生产的均衡点。

图2-3-13　既定成本条件下的产量最大化

在图2-3-13中，有一条等成本线AB和三条等产量曲线Q₁、Q₂和Q₃。等成本线AB的位置和斜率决定于既定的成本量C和既定的已知的两要素的价格比例w/r。由图2-3-13中可知，惟一的等成本线AB与其中一条等产量曲线Q₂相切于E点，该点就是生产的均衡点。它表示：在既定成本条件下，厂商应该按照E点的生产要素组合进行生产，即劳动投入量和资本投入量分别为OL₁和OK₁，这样，厂商就会获得最大的产量。

在生产均衡点E有：MRTS_LK＝w/r，它表示：为了实现既定成本条件下的最大产量，厂商必须选择最优的生产要素组合，使得两要素的边际技术替代率等于两要素的价格比例。这就是两种生产要素的最优组合的原则。因为边际技术替代率可以表示为两要素的边际产量之比，所以，上式可以写为：MRTS_LK＝MP_L/MP_K＝w/r

进一步，可以有：MP_L/w＝MP_K/r。

它表示：厂商可以通过对两要素投入量的不断调整，使得最后一单位的成本支出无论用来购买哪一种生产要素所获得的边际产量都相等，从而实现既定成本条件下的最大产量。

（3）既定产量条件下的成本最小化

如同生产者在既定成本条件下会力求实现最大的产量，生产者在既定的产量条件下也会力求实现最小的成本。图2-3-14中有一条等产量曲线Q和三条等成本线AB、A′B′和A″B″。惟一的等产量曲线Q代表既定的产量。三条等成本线具有相同的斜率（即表示两要素的价格是既定的），但代表三个不同的成本量，其中，等成本线AB代表的成本大于等成本线A′B′代表的，等成本线A′B′代表的成本大于等成本线A″B″代表的。惟一的等产量曲线Q与其中一条等成本线A′B′相切于E点，这就是生产的均衡点或最优要素组合点。它表示：在既定的产量条件下，生产者应该选择E点的要素组合（OK₁，OL₁），才能实现最小的成本。

这是因为，等成本线A″B″虽然代表的成本较低，但它与既定的等产量曲线Q既无交点又无切点，它无法实现等产量曲线Q所代表的产量。等成本曲线AB虽然与既定的等产量曲线Q相交于a、b两点，但它代表的成本过高，通过沿着等产量曲线Q由a点向E点或者由b点向E点的移动，都可以获得相同的产量而使成本下降。所以，只有在切点E，才是在既定产量条件下实现最小成本的要素组合。

同理，在均衡点E有：MP_L/w＝MP_K/r

它表示：为了实现既定产量条件下的最小成本，厂商应该通过对两要素投入量的不断调整，使得花费在每一种要素上的最后一单位的成本支出所带来的边际产量相等。

图2-3-14　既定产量条件下成本最小的要素组合