（3）2011年北京大学光华管理学院经济学（微观经济学部分）考研真题及详解
1．假设有两种商品X和Y，某消费者的效用函数具有以下形式：U（X，Y）＝ln（X＋3）＋ln（Y－2）。其中，X≥0，Y＞2。商品X的价格为p，Y的价格为q，消费者的收入为I。
（1）求出消费者关于X和Y的最优消费量，并说明I≥3p＋2q是使得X和Y存在有效需求量的必备条件。
（2）求出消费者对X和Y的需求收入弹性，X和Y是否属于奢侈品（luxury good）？
（3）X和Y是否有劣质品（inferior goods）或吉芬商品（Giffen goods）的情形？请给出严格的证明。
解：（1）消费者面临的问题可表示为：
构造拉格朗日辅助函数为：L（X，Y，λ）＝ln（X＋3）＋ln（Y－2）＋λ（I－pX－qY）。
消费者效用最大化的一阶条件为：
联立解得：X＝（I－2q－3p）/（2p），Y＝（I＋2q＋3p）/（2q）。
因为X≥0，所以（I－2q－3p）/（2p）≥0，即I≥2q＋3p是使得X和Y存在有效需求量的必备条件。
（2）X的需求收入弹性为：
因为eI（X）＞1，所以X为奢侈品。
Y的需求收入弹性为：
因为eI（Y）＜1，所以Y为必需品。
（3）∂X/∂I＝1/（2p）＞0，∂Y/∂I＝1/（2q）＞0，这表明X、Y的需求量都随收入的增加而增加，故两者都为正常品。
2．一个垄断厂商面临两种类型的消费者。第一类消费者的需求函数为p＝6－0.8q，第二类消费者的需求函数为p＝12－q。某市场上共有第一类消费者10人，第二类消费者20人。该厂商的边际成本始终为3。
（1）若厂商实行三级价格歧视，则对于两类消费者分别确定的价格和产量为多少？（5分）
（2）若厂商对于首次进入市场的消费者一次性收取固定费用F，对于消费者按价格p收取费用。若厂商需要保证两类消费者都能消费，那么最优的F和p是多少？若厂商只需要保证一类消费者能够消费，那么最优的F和p是多少？厂商会做出何种选择？（5分）
解：（1）第一类消费者的个人需求为：q1＝（30－5p1）/4，第二类消费者的个人需求为q2＝12－p2。因此，两个市场的需求分别为：Q1＝10q1＝75－25p1/2，Q2＝20q2＝240－20p2。
由三级价格歧视条件MR1＝MR2＝MC得：6－4Q1/25＝12－Q2/10＝3。
可解得，Q1＝75/4，Q2＝90，p1＝9/2，p2＝15/2。
（2）保证两类消费者都能消费的二部定价：
产品价格应当满足条件：3≤p＜6。给定价格时：
每个第一类消费者得到的消费者剩余为（1/2）×（6－p）×（6－p）/0.8＝（6－p）2/1.6；
每个第二类消费者得到的剩余为：（1/2）×（12－p）×（12－p）＝（12－p）2/2＞（6－p）2/1.6，所以给定价格下收取的固定费用F＝（6－p）2/1.6。所以厂商的总利润为：
此时，最优价格为p＝6－ε，固定费用F＝5ε2/8，ε为任意小的正数。
只保证一类消费者能消费的二部定价：
当只保证第二类消费者的消费时，为获取最大利润，应当将价格定为p＝3，此时每个第二类消费者得到的剩余为（12－3）2/2＝40.5。所以将固定费用设定为F＝40.5，此时厂商得到的利润为π′＝20×40.5＝810＞π。
所以，厂商会选择只保证第二类消费者消费的二部定价策略。
3．假设某企业为价格接受者，其成本函数为C（q1）＝（α＋βq1）2，其中α＞0，β＞0。
（1）求出该企业的供给函数；（3分）
（2）如果有两个企业，每个企业的成本函数都是C（q1）＝（α＋βq1）2，那么这两个企业的平均供给与价格是什么关系？如果企业数目为4，企业的平均供给与价格的关系如何？如果N趋于无穷大呢？（6分）
（3）假定市场需求曲线为p＝a－bQ，其中Q为市场总的需求量，a和b为正的常数，如果整个市场只有上述一个企业提供产品（假定企业仍然为价格接受者）。请求出市场均衡的价格，并说明存在唯一均衡的条件。（6分）
解：（1）因为该企业为价格接受者，所以：p＝MC（q1）＝2β（α＋βq1）①
（2）因为每个企业都是价格接受者，所以对于任意的企业i（i＝1，2…，N）都有：
p＝MC（qi）＝2β（α＋βqi）②
即：qi＝p/（2β2）－（α/β）③
将③式连加可得：
④
即：
所以平均产出为：
（3）由题设可知：p＝a－bQ＝MC（Q）＝2β（α＋βQ），解得：Q＝（a－2αβ）/（2β2＋b），p＝（2aβ2＋2αβb）/（2β2＋b）。
4．衡量行业集中度的一个重要指标是赫芬达尔指数，其表达式为
，其中αi为各企业的市场份额。考虑采用古诺竞争的企业，设市场总产量为Q，价格为p，需求价格弹性为ε，πi为企业i的利润，每个企业都有不变的边际成本ci。
（1）证明：市场总利润与总销售额之比等于赫芬达尔指数与需求弹性之比，即
。（10分）
（2）证明：
。（10分）
证明：设厂商i的产量为qi（i＝1，2…，N），则：
而：
所以：dp/dqi＝－p/εQ
考虑古诺均衡，厂商i的最大化利润问题为：
一阶条件是：
所以有：p－pqi/（εQ）－ci＝0。
即：p＝（pαi/ε）＋ci。
（1）由上式可知：ci＝p[1－（αi/ε）]，所以：πi＝（p－ci）qi＝αipqi/ε。
则：
证毕。
（2）由（1）知：（p－ci）/p＝αi/ε，所以：
证毕。
5．对于某一起盗窃案件有k个目击证人。每个目击证人可以选择告发盗窃犯，也可以选择不告发。由于目击证人都很忙，因此选择告发会带来一些不便，但是将罪犯绳之以法又是大家希望看到的结果。对于每个目击证人而言，罪犯被抓获产生的效用为4；而罪犯逃脱的效用为0，目击证人告发罪犯本身会带来1的负效用。罪犯被抓获的充要条件是有人告发罪犯。
（1）求出所有的纯战略纳什均衡。（6分）
（2）若只有两个目击证人，求出混合战略纳什均衡。（7分）
（3）在k个目击证人的情况下，混合战略纳什均衡具有对称性，求此均衡，并求出罪犯被抓获的概率。（7分）
解：（1）①若所有人都不告发。对于一个特定的人i，别人都不告发，那么i的最优选择是告发，因此所有人都不告发不是纳什均衡。
②若有且只有一人告发。假定i告发，那么对于i来说，别人都不告发，则自己告发是最优选择；对于i≠j来说，给定i已经告发，那么j就不会告发。因此“有且只有一个人告发”是纳什均衡。
③若有至少两个人告发。假设i、j都告发，那么给定i告发，j再选择告发显然不是最优选择。“至少有两人告发”也不是纳什均衡。
以上穷尽了所有纯战略，因此整个博弈有k个纳什均衡：在每个纳什均衡情况下有且只有一个目击证人告发。
（2）目击者博弈的战略表达式如表1所示：
表1 两个目击者博弈战略表达式
设目击者1告发的概率为p，目击者2告发的概率为q。
目击者2告发所得到的期望效用为3p＋3（1－p）＝3，目击者2不告发得到的期望效用为4p＋0＝4p。在均衡状况下，目击者2是否告发得到的期望效用相同，所以p＝3/4。
目击者1告发所得到的期望效用为3q＋3（1－q）＝3，目击者1不告发得到的期望效用为4q＋0＝4q。在均衡状况下，目击者1是否告发得到的期望效用相同，所以q＝3/4。
综上所述，混合战略纳什均衡为：两个目击者都以3/4的概率选择“告发”，以1/4的概率选择“不告发”。
（3）设第i人告发的概率为pi，其中i＝1，2，…，N。
若i选择“告发”，无论怎样他都可得效用3；
若i选择“不告发”，则其他人都不告发的概率
，至少有一人告发的概率为
则i的期望收益为：
混合战略纳什均衡下，i在选择“告发”或选择“不告发”的（期望）效用应相等，即：
或：
由对称性知，p1＝p2＝…＝pk，所以（1－pi）k－1＝1/4，解之得，pi＝1－（1/4）1/（k－1），其中i＝1，2，…，k。所以无人告发的概率为
因此至少有一人告发，也就是罪犯被抓获的概率为[1－（1/4）1/（k－1）]。