1.2 课后习题详解
1．（1）在0℃及101.325 kPa下，纯干空气的密度为1.293×10-3g·m-3，试求空气的表观摩尔质量；
（2）在室温下，某氮气钢瓶内的压力为538 kPa，若放出压力为100 kPa的氮气160 dm3，钢瓶内的压力降为132 kPa，试估计钢瓶的体积。设气体近似作为理想气体处理。
解：（1）根据理想气体状态方程，有
即
（2）根据Dalton分压定律，在相同体积，相同压力条件下，可得
根据理想气体状态方程，在相同温度条件下，可得
则
因此钢瓶体积为39.4dm3。
2．两个体积相同的烧瓶中间用玻管相通，通入0.7 mol氮气后，使整个系统密封。开始时，两瓶的温度相同，都是300 K，压力为50 kPa，今若将一个烧瓶浸入400 K的油浴内，另一烧瓶的温度保持不变，试计算两瓶中各有氮气的物质的量和温度为400 K的烧瓶中气体的压力。
解：两体积相同的烧瓶中，在温度为300K，压力为50kPa的条件下通入0.7mol氮气，则两烧瓶中均有(0.7/2)mol＝0.35（mol）的氮气。
根据理想气体状态方程，烧瓶的体积为
将一个烧瓶浸入400K油浴中，另一烧瓶保持300K。当两烧瓶平衡后，两烧瓶的压力相等，对应的两烧瓶体积也相等，设400K的烧瓶中氮气的物质的量为n1，300K烧瓶中氮气的物质的量为n2，则有
，
，
又因为充入氮气的总量为0.7mol，则
，代入上式得
，
400K烧瓶中的压力为
即400K烧瓶中氮气的物质的量为0.3mol，压力为57kPa，另一烧瓶中氮气的物质的量为0.4mol。
3．在293 K和100 kPa时，将He（g）充入体积为1 dm3的气球内。当气球放飞后，上升至某一高度，这时的压力为28 kPa，温度为230 K，试求这时气球的体积是原体积的多少倍?
解：在气球可承受范围内，将He（g）充入，此时气球内压力、温度均与外界相等，即p1＝100kPa，T1＝293K，V1＝1dm3；当上升至某一高度，p2＝28kPa，T2＝230K时，根据理想气体状态方程，有
，因此
4．有2.0 dm3潮湿空气，压力为101.325 kPa，其中水气的分压为12.33 kPa。设空气中O2（g）和N2（g）的体积分数分别为0.21和0.79，试求
（1）H2O（g），O2（g），N2（g）的分体积；
（2）O2（g），N2（g）在潮湿空气中的分压力。
解：（1）在潮湿空气中，水气的分压为12.33kPa。
根据Dalton分压定律，有
根据Amagat分体积定律，有
（2）由Dalton分压定律，知
5．3.45ｇH2（g）放在10 dm3的密闭容器中，从273 K加热到373 K，问需提供多少能量？H2（g）的根均方速率是原来的多少倍？已知H2（g）的摩尔等容热容
。
解：已知H2（g）的摩尔等容热容
，因H2在密闭容器中加热，所以能量为
由根均方速率公式
得
6．计算293 K和373 K时，H2（g）的平均速率、根均方速率和最概然速率。
解：在293K时，H2（g）的平均速率为
根均方速率为
最概然速率为
因此，有
同理，在373K时，有
由
可得
7．计算分子动能大于10 kJ的分子在总分子中所占的比例。
解：若在298K时有
即
则分子动能大于10kJ的分子在总分子中几乎没有。
8．在一个容器中，假设开始时每一个分子的能量都是2.0×10-21J，由于相互碰撞，最后其能量分布适合于Maxwell分布。试计算：
（1）气体的温度；
（2）能量介于1.98×10-21J到2.02×10-21J之间的分子在总分子中所占的分数。（由于这个区间的间距很小，故用Maxwell公式的微分式）
解：（1）由题意可知，每一个分子的能量为
。
则1mol分子的平均平动能为
又因为
，所以
（2）由于各分子的能量
，微分得
，代入下式
可得
9．根据速率分布公式，计算分子速率在最概然速率以及大于最概然速率1.1倍（即
）的分子在总分子中所占的分数（由于这个区间的间距很小，可用微分式）。
解：分子速率在最概然速率
以及
之间的分子在总分子中的所占分数为
10．在293 K和100 kPa时，N2（g）分子的有效直径约为0.3 nm，试求
（1）N2（g）分子的平均自由程；
（2）每一个分子与其他分子的碰撞频率；
（3）在1.0 m3的体积内，分子的互碰频率。
解：（1）N2（g）分子的平均自由程只有一个分子移动，则其平均自由程为
根据理想气体状态方程，有
n为单位体积内的分子个数，所以
（2）由
得每一个分子与其他分子的碰撞频率为
（3）根据分子的互撞次数公式
，可得
11．在一个容积为0.5m3的钢瓶内，放有16 kg温度为500 K的CH4（g），试计算容器内的压力。
（1）用理想气体状态方程；
（2）由van der Waals方程。已知CH4（g）的常数
，
，
。
解：（1）根据理想气体状态方程，可得
（2）根据VanderWaals方程，可得
12．已知CO2（g）的临界温度、临界压力和临界摩尔体积分别为：Tc＝304.3K，pc＝73.8×105Pa，
试计算
（1）CO2（g）的van der Waals常数a，b的值；
（2）313 K时，在容积为0.005 m3的容器内含有0.1 kgCO2（g），用van der Waals方程计算气体的压力；
（3）在与（2）相同的条件下，用理想气体状态方程计算气体的压力。
解：（1）常数a，b的值：
（2）根据VanderWaals方程
可得
（3）根据理想气体方程，可得
13．热膨胀系数的定义为：
试列式表示热膨胀系数与温度、体积的关系。
（1）设气体为理想气体；
（2）设气体为van der Waals气体。
解：（1）假设气体为理想气体，则根据理想气体状态方程，有
，从而
。
所以
此时热膨胀系数与温度的倒数成正比。
（2）设气体为vander Waals气体，则将vander Waals方程
写成
所以
则此时热膨胀系数与体积有一定的关系。
14．NO（g）和CCl4（g）的临界温度分别为177 K和550 K，临界压力分别为64.7×105Pa和45.5×105Pa。试用计算回答：
（1）哪一种气体的van der Waals常数a较小？
（2）哪一种气体的van der Waals常数b较大？
（3）哪一种气体的临界体积较大？
（4）在300 K和10×105 Pa的压力下，哪一种气体更接近理想气体？
解：（1）因为
，所以
故NO（g）的vander Waals常数a较小。
（2）因为
，所以
故CCl4（g）的van der Waals常数b较大。
（3）由于临界体积
，且由题（2）可知CCl4（g）的Van der Waals常数b较大，由此可知CCl4（g）的临界体积较大。
（4）两种气体的对比压力与对比温度分别为
查压缩因子图知，
，ZCCl4与1相差较多。
因此，在300K，
的条件下，NO（g）接近理想气体。
15．273 K和100 kPa时，有1mol某实际气体符合Virial型状态方程，
，已知第二Virial系数
。试求该气体在这时所占的体积。
解：由于气体符合Virial型状态方程
，则利用前两项求解
，得1mol该气体的体积为
16．373K时，1.0 kgCO2（g）的压力为5.07×103 kPa，试用下述两种方法计算其体积。
（1）用理想气体状态方程式；
（2）用压缩因子图。
解：（1）利用理想气体状态方程式计算其体积，得
（2）查表知，CO2（g）临界温度，临界压力分别为
根据压缩因子图，可得Z＝0.88，则1 mol气体的体积为
所以
17．在273 K时，1 mol N2（g）的体积为7.03×10-5 m3，试用下述几种方法计算其压力，并比较所得数值的大小。
（1）用理想气体状态方程式；
（2）用van der waals气体状态方程式；
（3）用压缩因子图（实测值为4.05×104 kPa）
解：（1）由理想气体状态方程式得
（2）根据vanderWaals气体状态方程，有
，查表得
vanderWaals常数为
所以
（3）查表得，
则
，
根据压缩因子图，Z＝1.35所以
。
18．348 K时，0.3 kg NH3（g）的压力为1.61×103kPa，试用下述两种方法计算其体积。试比较哪种方法计算出来的体积与实测值更接近（已知实测值为28.5dm3）。已知在该条件下NH3（g）的临界参数为：Tc＝405.6 K，pc＝1.13×104 kPa；van derWaals气体常数：a＝0.417 Pa·m6·mol-2，b＝3.71×10-5 m3·mol-1。
（1）用van der Waals气体状态方程式；
（2）用压缩因子图。
解：（1）根据vander Waals气体状态方程
，有
（2）
，
由压缩因子图知，Z＝0.93所以，
由此可见，采用压缩因子图计算出来的体积和实测值更接近。
19．在Bessemar（柏塞麦）燃烧中充以含碳量为3％的铁10000 kg。
（1）若使所有的碳完全燃烧，计算要通入27℃、100 kPa的空气的体积。假定1/5的碳燃烧生成CO2（g），4/5的碳燃烧生成CO（g）；
（2）求炉内放出各气体的分压力。
解：（1）
若碳完全燃烧，其中，1/5生成CO2，4/5生成CO，则根据
可得
由于在空气中
，则有
所以，需要的空气体积为
（2）计算得
20．制硫酸时需只制备SO2（g）。在一定的操作情况下，每炉每小时加入硫30kg，通入过量的空气（使硫燃烧完全），所产出的气体混合物中含氧的摩尔分数为0.10，试问每小时要通入20℃、100 kPa的空气的体积？
解：
若混合气体中
，则空气通过硫燃烧炉时消耗了
，同时生成的SO2占空气混合气体的摩尔分数
，则有
所以每小时需要通入的空气体积为
21．发生炉煤气（producer gas）系以干空气通过红热的焦炭而获得。设若有92％的氧变为CO（g），其余的氧变为CO2（g）。
（1）在同温同压下，试求每通过一单位体积的空气可产生发生炉煤气的体积；
（2）求所得气体中
的摩尔分数。（空气中各气体的摩尔分数为
，
，
，
）
（3）每燃烧1 kg的碳，计算可得20℃，100 kPa下的发生炉煤气的体积。
解：（1）假设空气中O2的摩尔分数为0.21，则一单位空气（V）中含有0.21V的O2，0.79V的其他气体。O2通过红热焦炭分别生成CO、CO2。
则
则
（2）假设空气的体积为V，则同温、同压下，根据等体积定律，有
根据题（1）可知
（3）设空气为nmol，则
故
同理，由（1）题可知发生炉煤气为
则：
22．在压力100 kPa时，当温度为1572℃时锑蒸气的密度是同温同压下空气密度的12.43倍，在温度为1640℃时，密度为同温同压下空气的11.25倍。
（1）用上述数据分别求出每一式量（1formula weight，即1 mol Sb）所能产生的蒸气的物质的量。
（2）假定锑蒸气中仅有
和
两种分子，试求各温度下，两种蒸气的摩尔分数。
解：（1）根据理想气体状态方程
，可得
。
同温同压下，
则在100kPa，1572℃条件下
根据质量守恒定律，有
同理，在1640℃时
（2）假设Sb2的摩尔分数为
，则Sb4的摩尔分数为1－。
所以，在1572℃条件下
即蒸气Sb2的摩尔分数为0.52，蒸气Sb4的摩尔分数为1－0.52＝0.48。
同理，在1640℃条件下
即蒸气Sb2的摩尔分数为0.66，蒸气Sb4的摩尔分数为
。
23．设在一垂直的柱体中充满理想气体，当高度为0和h时，气体的压力分别为P0和P，试根据理想气体定律以及流体静力学原理（hydrostatic principle），即：任一密度为
的流体，当高度增加bh时，其压力的减小值－dp等于单位横截面上该流体的重量（以力的单位表示之）。
（1）试证明对于理想气体，其表示式与Boltzmann公式相同；
（2）求高于海平面2000 m处的气压，假定在海平面的压力为100 kPa，且把空气看作是摩尔质量为29.0g/mol的单一物种。
解：（1）设在高度为h处气体的压力为p，高度
处气体的压力为
。已知其压力的减少值－dp等于单位横截面上该流体的重量，则
气体符合理想气体公式，把
代入上式得
假设在0～h的高度范围内温度不变，对上式积分，
可得
表示式与Boltzmann公式相同。
（2）假设温度不变，T＝273K，根据Boltzmann公式，有
24．在地球表面干空气的组成用摩尔分数表示为：
＝0.21,＝0.78,
＝0.0094,
＝0.0003,因空气有对流现象，故可假定由地球表面至11 km的高空，空气的组成不变。在此高度处的温度为－55℃。今假定在此高度以上空气的温度恒为－55℃，且无对流现象，试求
（1）在高于地球表面60 km处气体
,
,
,
的摩尔分数；
（2）该高度处的总压力。
解：（1）由题设可知，由地球表面至11 km的高空，空气的组成不变。设距地球表面11 km处空气压力为p0，则各气体的分压为：
设高度为h时的压力为p，则
所以海拔60 km处各气体的压强为
则60 km处，各气体的摩尔分数为
（2）假定地球表面压力为100 kPa，温度为0℃，在11 km高空的温度为－55 ℃，取其平均温度为－27.5℃，在此范围内空气的组成不变，则11 km高空的压力p0为
所以60 km高空的总压为
25．由于离心力的作用，在离心力场中混合气体的组成将发生变化。今有一长为80 cm的长管，管内装有等分子数的氢气和氧气的混合气体，将长管放置在一个水平盘上，管的中部固定在盘中垂直的中心轴上，今以每分钟3000转的速度使盘在水平面上旋转，并设周围环境的温度保持为20℃。
（1）求由于旋转的原因在管之两端，每一个氧气分子以及每一个氢气分子的动能。
（2）在达到平衡后，试根据Boltzmann公式分别计算两种气体在管端和管中央处的浓度比。
（3）假定设法保持在管之中心部位氢气和氧气的浓度比为1：1，总压力为100 kPa（例如在管的中部即旋转轴中心处，缓慢通入浓度比为1：1的氢气氧气混合气体），试计算平衡后在管端处氢气和氧气的摩尔比。（离心力
，m为质点的质量，l是中心与管端的距离，
是质量的角速度）
解：（1）因为，
，所以
。（mi为O2分子和H2分子的质量）
（2）向心力为：
类似于重力场，可以使用Boltzmann公式
（3）因为
，则
。