第二章　数量关系

第一节　解题策略

一、考点精讲

（一）代入法

代入法是《职业能力测验》中最为常见的解题方法之一，是将题目的选项直接代入题干来判断正误的方法。代入法有效地避开了寻找题目中各种等量关系这一环节，而是对题目做“定性分析”，所依据的是数学运算题是“客观单选题”这一特性。运用代入法，必然要与排除法相结合，故此法又称“代入排除法”。它的好处是：即使考生不会解题，也能用代入法得出正确的答案。代入法有多种形式，包括：

1．直接代入法

直接将选项代入题干中进行验证的方法，适用题型包括同余、不定方程、多位数、年龄、和差倍比等。

【例】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，点完细蜡烛需要1小时，点完粗蜡烛需要2小时。有一次停电，将这样两支蜡烛同时点燃。来电时，发现两支蜡烛所剩长度一样，则此次停电共停了（　　）。

A．10分钟

B．20分钟

C．40分钟

D．60分钟

【答案】C

【解析】因为细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，且点完细蜡烛需1个小时，则所求的时间应在30分钟和60分钟之间，把各选项代入，只有当停电时间为40分钟时符合题意。因此答案选C。

2．特殊值代入法

将题干中某种未知量设为特殊值（设置时通常要考虑到方便计算），然后代入题中，求出结果。

【例】一辆汽车以60千米/时的速度从A地开往B地，它又以40千米/时的速度从B地返回A地，则汽车行驶的平均速度为（　　）千米/小时。

A．50

B．48

C．30

D．20

【答案】B

【解析】假设AB两地距离为120千米，则A地开往B地用了2小时，从B地返回A地用了3小时，来回总路程为240千米，则汽车行驶的平均速度为240÷5＝48千米/小时。

3．代入法的其他形式

代入法经常和排除法、估算法、猜证结合法、设方程算法等综合运用。

【例】四个连续的自然数的积为1680，它们的和为（　　）。

A．26

B．52

C．20

D．28

【答案】A

【解析】设四个自然数中最小的为x，则四个自然数分别为：x，x＋1，x＋2，x＋3，则4个自然数的和为4x＋6，即4个数的和减去6能被4整除，代入选项，只有A符合。

（二）数字特性法

数字特性法是指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种“数字特性”，从而达到排除错误选项的方法。

掌握数字特性法的关键，是掌握一些最基本的数字特性规律。（下列规律仅限自然数内讨论）

1．奇偶运算基本法则

（1）基础

①奇数±奇数＝偶数；

②偶数±偶数＝偶数；

③偶数±奇数＝奇数；

④奇数±偶数＝奇数。

（2）推论

①任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

②任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

【例】某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？（　　）

A．33

B．39

C．17

D．16

【答案】D

【解析】答对的题目＋答错的题目＝50，是偶数，则答对的题目与答错的题目的差也应是偶数，D项，16为偶数，符合题意。

2．整除判定基本法则

（1）能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

①能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；

②能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；

③能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；

④一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；

⑤一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数；

⑥一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。

（2）能被3、9整除的数的数字特性

①能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

②一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

【例】下列四个数都是六位数，X是比10小的自然数，Y是零，一定能同时被2、3、5整除的数是多少？（　　）

A．XXXYXX

B．XYXYXY

C．XYYXYY

D．XYYXYX

【答案】B

【解析】这个六位数能被2、5整除，则末位为0；这个六位数能被3整除，则六位数各位数字和是3的倍数，因此答案选B。

3．倍数关系核心判定特征

（1）如果a:b＝m:n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。

（2）如果a:b＝m:n（m，n互质），则a±b应该是m±n的倍数。

（3）如果x＝y（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。

【例】在招考公务员中，A、B两岗位共有32个男生、18个女生报考。已知报考A岗位的男生数与女生数的比为5:3，报考B岗位的男生数与女生数的比为2:1，报考A岗位的女生数是（　　）。

A．15

B．16

C．12

D．10

【答案】C

【解析】报考A岗位的男生数与女生数的比为5:3，则报考A岗位的女生人数是3的倍数，A项，如果报考A岗位的女生数为15，则报考A岗位的男生为25人，不符合题意，C项，报考A岗位的女生为12人，男生为20人，符合题意。

（三）赋值法

1．定义

根据题目的具体情况，对某些未知量赋予确定的值，再推出其他相关量及最终结果的方法，所赋的实际值不影响最终的结果。当题目某些量没有给出具体数值，而只给出比例关系，且具体数值对最终结果没有影响时，一般考虑使用赋值法。

2．应用

（1）当题目某些量没有给出具体数值，而只给出比例关系，且具体数值对最终结果没有影响时，一般考虑使用赋值法。

（2）赋值法以便于运算、取整运算为原则。若题干中有分数，则赋值要选取分母的倍数；

（3）若题干中有比例特征，则根据比例倍数进行赋值。

（4）赋值法主要应用于分数应用题、工程问题、行程问题、费用问题等题型中。

【例】2013年某种货物的进价为15元/公斤，2011年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20%，问2014年该货物的进口价格是每公斤多少元？

A．10

B．12

C．18

D．24

【答案】B

【解析】设2013年的货物进口量为100公斤，则2013年的进口金额为15×100＝1500元。根据题意，2014年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20%，则2014年的货物进口量＝100×（1＋0.5）＝150公斤。2014年的进口金额＝1500×1.2＝1800元。则2014年该货物的进口价格为1800÷150＝12元/公斤。

（四）构造极端法

在做数量关系题目时，经常会遇到题后的设问中包含着“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“最轻”、“最重”、“最高”、“最低”等字样，对于这类问题，通常首先分析题意，然后构造出满足题目要求的最极端的情况。

【例】调研人员在一次市场调查活动中收回了435份调查问卷，其中80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码。那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份，才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者？（　　）

A．101

B．175

C．188

D．200

【答案】C

【解析】根据题意，最差情况是：①抽取的恰好全部是20%未填手机号码的问卷，共有87份；②再次抽取的手机号码后两位全不同，这类情形根据排列组合原理为102，共100份。故至少需抽到188份才能保证符合条件。因此答案选C。

（五）方程法

1．定义

列方程法，是解答行测数量关系试题最基本的方法，当试题里面出现未知量，并且存在等量关系的时候，可以采用列方程的方法来解答。在使用列方程法解答试题时，首先要理清题目中的数量关系，然后设置合理的未知数。

2．应用

（1）虽然方程组中有多个变量，却不一定要把每个变量都解出来；

（2）在方程组的多个变量中，可以用各种方法消掉很多个变量，最后只留下题目中需要的变量。

【例】小张和小赵从事同样的工作，小张的效率是小赵的1.5倍。某日小张工作几小时后小赵开始工作，小赵工作了1小时之后，小张已完成的工作量正好是小赵的9倍。再过几个小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍？（　　）

A．1

B．1.5

C．2

D．3

【答案】C

【解析】令小张每小时的工作量为3，则小赵每小时的工作量为2，设再过x小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍，则2×9＋3x＝4×（2＋2x），得x＝2小时。

二、典型题（含历年真题）详解

1．某单位组织职工参加周末培训，其中英语培训和财务培训均在周六，公文写作培训和法律培训均在周日。同一天举办的两场培训每人只能报名参加一场，但不在同一天的培训可以都参加。则职工小刘有多少种不同的报名方式？（　　）[2016年真题]

A．4

B．8

C．9

D．16

【答案】B

【解析】由题意知，报名方式有；①报名一种培训，报名方式＝4种；②报名两种培训，由于同一天举办的两场培训每人只能报名一场，所以周六选择一场，周天选择一场，报名方式＝2×2＝4种。因此，总的报名方式＝4＋4＝8种。

2．甲乙两个办公室的员工都不到20人，如果从甲办公室调到乙办公室若干人，则甲的人数是乙的人数的2倍；如果乙调到甲办公室相同的人数，则甲的人数就是乙的3倍，则原来甲办公室有多少人？（　  ）[2015年真题]

A．16

B．17

C．18

D．19

【答案】B

【解析】设甲为x，乙为y，甲调到乙人数为z。依题意有方程组：x－z＝2（y＋z），x＋z＝3（y－z），消去z整理得：7x＝17y，则x:y＝17:7，由于人数不到20人，则甲为17人。

3．甲乙两个水池大小形状完全相同但排水口径不同，将两个装满水的水池内的水匀速排空分别需要2小时和3小时，早晨5点半两个装满水的水池同时开始排水，到什么时候乙水池中剩余的水量正好是甲水池剩余水量的2倍？（　  ）[2014年真题]

A．6点半

B．7点半

C．8点

D．7点

【答案】D

【解析】赋值甲乙两个水池的容量为6，则甲乙每小时的排水量分别为3和2。设经过x小时后，乙水池中是甲水池剩余水的2倍，则可列式为6－2x＝2 （6－3x），解得x＝1.5，此时时间为5.5＋1.5＝7点。

4．A、B两桶中共装有108公斤水。从A桶中取出的水倒入B桶，再从B桶中取出的水倒入A桶，此时两桶中水的重量刚好相等。B桶中原来有多少公斤水？（　　）[2013年真题]

A．42

B．48

C．50

D．60

【答案】D

【解析】最后两桶水中各有54公斤水，代入60，则A桶原有水量为48公斤，48×＝12，12＋60＝72，72×＝18，72－18＝54，满足题意。因此答案选D。

5．有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。问至少有多少人参加了不止一个项目？（　　）[2013年真题]

A．7

B．10

C．15

D．20

【答案】B

【解析】由题意可知，参加跳远的人数为50人，参加跳高的为40人，参加赛跑的为30人；即参加项目的人次为120人次；故欲使参加不止一项的人数最少，则需要使只参加一项的人数最多为x，参加3项的人数为y，参加2项的人数为0。故x＋3y＝120，x＋y＝100，得参加了不止一个项目，即参加3项的为y＝10人。

6．某小区物业征集业主意见，计划从100户业主中抽取20户进行调查。100户业主中有b户户主年龄超过60岁，a户户主年龄不满35岁，户主年龄在36岁到59岁的有25户。为了使意见更具代表性，物业采取分层抽样的办法，从b户中抽取了4户。则a的值可能是（　　）。[2012年真题]

A．55

B．66

C．44

D．50

【答案】A

【解析】由100户中抽取20户可知，比例为5:1，依题意列方程：4:b＝20:100，a＋b＝75，解得a＝55，b＝20。

7．某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？（　　）[2011年真题]

A．9

B．12

C．15

D．18

【答案】B

【解析】方法一：10个人的工号为连续的自然数，且能被他们的成绩排名整除，则排名第十的工号尾数肯定为0，则10个人的工号尾数分别为1、2、3、…、9、0。排名第三的人的工号能被3整除，则他的工号数字之和能被3整除；排名第九的人工号数字之和能被9整除，即排名第三的人工号各数字之和加上6能被9整除。代入B项，（12＋6）÷9＝2，符合要求。

方法二：设10个人的工号分别为A＋1，A＋2，…，A＋10，因为每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，则A是1，2，3，…，10的公倍数，因为1，2，…，10的最小公倍数为2520，且工号都是4位数，则A的取值可能为2520、5040、7560。则排名第三的员工工号可能为2523、5043、7563，则工号所有数字之和可能为12和21，因此答案选B。

8．甲乙两个乡村阅览室，甲阅览室科技类书籍数量的相当于乙阅览室该类书籍的，甲阅览室文化类书籍数量的相当于乙阅览室该类书籍的，甲阅览室科技类和文化类书籍的总量比乙阅览室两类书籍的总量多1000本，甲阅览室科技类书籍和文化类书籍的比例为20:1，问甲阅览室有多少本科技类书籍？（　　）

A．15000

B．16000

C．18000

D．20000

【答案】D

【解析】设甲阅览室科技类书籍数量为20x本，则文化类书籍数量为x本，乙阅览室科技类书籍数量为16x本，文化类书籍数量为4x本。由题意可知：（20x＋x）－（16x＋4x）＝1000，得x＝1000，则20x＝20000，甲阅览室有20000本科技类书籍。

9．如果售货员将一袋袋的水饺摆成10堆，其中9堆是合格的，每袋500克；一堆是分量不足的，每袋450克，从外形上看，分不出哪一堆是450克的，执法人员最少称几次就可发现分量不足的那一堆？（　　）

A．1次

B．2次

C．3次

D．4次

【答案】A

【解析】根据题意，从第一堆中拿一包，从第2堆中拿2包……从第10堆中拿10包，放在一起进行称量。将称出的量与55×500＝27500克比较，如果少50克，即第一堆不合格；如果少100克，即第2堆不合格；如果少500克，即第10堆不合格。即执法人员最少称1次就可发现分量不足的那一堆，因此答案选A。

10．一个产品生产线分为a、b、c三段，每个人每小时分别完成10，5，6件，现在总人数为71人，要使得完成的件数最大，71人的安排分别是（　　）。

A．14:28:29

B．15:31:25

C．16:32:23

D．17:33:21

【答案】B

【解析】方法一：A项错误，效率越低，人应越多，故14:28:29不符合。71人的安排为15:31:25时，三条生产线的量分别为150，155，150，可生产件数150；71人的安排为16:32:23时，三条生产线的量分别为160，160，138，可生产件数138；71人的安排为17:33:21时，三条生产线的量分别为170，165，126，可生产件数126。即生产件数最多为150，因此答案选B。

方法二：一个产品生产线分为abc三段，abc三段加一起才算一件，要使得完成的件数最大，就需要abc每段在每小时内完成的件数相等，设最后生产了x件产品，生产a、b、c部件需要的人数比为::＝3:6:5，则71人按照这个比例分配，71÷（3＋5＋6）＝5…1，因此隔断人数为3×5＝15，5×5＝25，6×5＝30，剩下一人任意分配，其工作不影响最终的产品数量。

11．超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？（　　）

A．3

B．4

C．7

D．13

【答案】D

【解析】方法一：设大盒、小盒分别为x、y个，则12x＋5y＝99。A项错误，y－x＝3，联立两个方程，不存在整数解。同理，BC两项错误。y－x＝13，联立两个方程，得x＝2，y＝15。

方法二：设大盒、小盒分别为x、y个，则可知12x＋5y＝99。根据题意有x＋y＞10，则7x＝99－5（x＋y）＜99－50＝49，x＜7。仅x取值为2时，y有整数解y＝15。故y－x＝13。

12．甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少非专业书？（　　）

A．75

B．87

C．174

D．67

【答案】B

【解析】甲的书中，专业书占13%＝；乙的书中，专业书占12.5%＝。甲的书的总数是100的倍数，即100或者200，而乙的书的总数能够被8整除。若甲有200本书，则乙有60本，不能被8整除。即甲有100本书，其非专业书为100×（1－13%）＝87本。

13．受原材料涨价影响，某产品的总成本比之前上涨了，而原材料成本在总成本中的比重提高了2.5个百分点。问原材料的价格上涨了多少？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】设产品原来的总成本为15，则现在的总成本为16，故原材料的成本上涨了1。设之前的原材料成本为x，由题意可知－＝2.5%，得x＝9，因此原材料的价格上涨了。

14．张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元。张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，如果减价5%，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润。则这种商品每件的成本是多少元？（　　）

A．75元

B．80元

C．85元

D．90元

【答案】A

【解析】由题意可知，降价之前，张先生订购该商品需要支付80×100＝8000元；降价之后，张先生订购该商品需要支付100×95＝9500元。张先生两次支付的钱存在1500元的差异，又因为两次获得利润一样，则第二次多支付的1500元全是多订购商品的成本，而减价5元后张先生多订购了5×4＝20件，因此每件成本为1500÷20＝75元。

15．公司实行计件工资报酬，加工一件合格产品得4元，不合格的不计报酬，而且每件扣除12元，某员工一个月加工1000件，得3600元报酬，该员工这个月加工产品合格率是多少？（　　）

A．96%

B．96.5%

C．97.5%

D．98%

【答案】C

【解析】若产品全部合格，则应得报酬为4000元，实际得3600元报酬，产生的400元差异源于其中存在不合格的产品。每有一件不合格的产品，就会从4000元上减少4＋12＝16元，因此不合格的产品有400÷16＝25件，合格产品有1000－25＝975件，合格率为975÷1000×100%＝97.5%。

16．有大小两种瓶，大瓶可以装水5千克，小瓶可以装水1千克，现在有100千克水，共装了52瓶。问大瓶和小瓶相差多少个？（　　）

A．26个

B．28个

C．30个

D．32个

【答案】B

【解析】若52瓶全部是小瓶，则可装水52千克，而实际装水100千克，两者相差100－52＝48千克，差值源于每个大瓶还可多装4千克，因此共有大瓶48÷4＝12个，小瓶有52－12＝40个，二者相差40－12＝28个。

17．某街道常住人口与外来人口之比为1:2，已知该街道下辖的甲、乙、丙三个社区人口比为12:8:7。其中，甲社区常住人口与外来人口比为1:3，乙社区为3:5，则丙社区常住人口与外来人比为（　　）。

A．2:3

B．1:2

C．1:3

D．3:4

【答案】D

【解析】设甲、乙、丙社区分别有12、8、7人，则街道总人数为27人，常住人口与外来人口分别有9人和18人，甲社区常住人口与外来人口分别有3人和9人，乙社区常住人口与外来人口分别有3人和5人，则丙社区常住人口与外来人口分别有9－3－3＝3人和18－9－5＝4人，比例为3:4。

18．将大米300袋、面粉210袋和食用盐163袋按户分给某受灾村庄的村民，每户分得的各种物资均为整数袋，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1:3:2，则该村有多少户村民？（　　）

A．7

B．9

C．13

D．23

【答案】D

【解析】设每户分了a袋大米、b袋面粉和c袋食用盐，剩余的大米、面粉、食用盐的袋数分别是k、3k、2k，则有（300－k）÷a＝（210－3k）÷b＝（163－2k）÷c；一个村庄里的村民一般至少为几十家，先将23代入等式，即验证300－k，210－3k，163－2k是否均为23的整数倍，k＝1时，满足要求。因此答案选D。

19．十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地循环报数，如果报1和100的是同一人，那么共有多少个小朋友？（　　）

A．10

B．11

C．13

D．15

【答案】B

【解析】由题意可知，若1和100为同一人，则小孩的人数必能将（100－1）即99整除。因此答案选B。

20．一个图书馆里有科技书和文学书两种类型，首先拿走25本科技书，剩下的文学书占剩下书的，又拿走42本文学书，剩下的科技书占所剩书的，问：最开始文学书占总共书的几分之几？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】设最开始有x本书籍，由题意可知（x－25）×＝（x－25－42）×，得x＝130，则其中文学书有（130－25）×＝60，占总书的比重为＝。

21．某超市用2500元购进一批鸡蛋，销售过程中损耗鸡蛋10千克。已知超市每千克鸡蛋的售价比进价高1元，全部售完后共赚440元，则共购进这批鸡蛋（　　）千克。

A．460

B．500

C．590

D．610

【答案】B

【解析】设每千克鸡蛋的进价为x元，而全部售完共赚440元，因此实际售出鸡蛋（440＋10x）千克，加上损耗的10千克，共计（450＋10x）千克。由题意可知（450＋10x）x＝2500，得x＝5。因此共购进鸡蛋2500÷5＝500千克。

22．小张到文具店采购办公用品，买了红、黑两种笔共66支。红笔定价为5元，黑笔的定价为9元，由于买的数量较多，商店给予优惠，红笔打八五折，黑笔打八折，最后支付的金额比核定价少18%，那么他买了红笔（　　）。

A．36支

B．34支

C．32支

D．30支

【答案】A

【解析】设购买红笔、黑笔的数量分别为x、y，由题意可知x＋y＝66，0.85×5x＋0.8×9y＝（5x＋9y）×（1－18%），得x＝36，y＝30，即购买了红笔36支。